WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.691
ในทศวรรษ 1920

00:00:07.715 --> 00:00:10.184
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนาม เดวิด ฮิลเบิร์ต

00:00:10.208 --> 00:00:12.437
ได้สร้างการทดลองด้วยความคิดอันโด่งดังขึ้น

00:00:12.461 --> 00:00:14.191
เพื่อแสดงให้เห็นว่า ยากแค่ไหน

00:00:14.215 --> 00:00:17.665
ที่เราจะทำความเข้าใจ
แนวคิดเกี่ยวกับค่าอนันต์

00:00:18.353 --> 00:00:21.659
ลองจินตนาการว่ามีโรงแรม
ที่มีจำนวนห้องเป็นอนันต์

00:00:21.683 --> 00:00:23.988
มีผู้จัดการกะกลางคืน ผู้ขยันขันแข็ง

00:00:24.528 --> 00:00:27.523
คืนหนึ่ง โรงแรมอนันต์เต็มเสียแล้ว

00:00:27.547 --> 00:00:31.003
ถูกจองไว้ทุกห้อง โดยแขกจำนวนเป็นอนันต์

00:00:31.027 --> 00:00:34.161
แต่แล้วมีชายผู้หนึ่งแวะเข้ามาขอพัก

00:00:34.185 --> 00:00:35.444
แทนที่จะปฏิเสธแขกรายนี้ไป

00:00:35.468 --> 00:00:37.907
ผู้จัดการตัดสินใจหาห้องให้เขา

00:00:37.931 --> 00:00:38.947
ทำยังไงล่ะ?

00:00:38.971 --> 00:00:41.635
ง่ายมาก ผู้จัดการขอให้แขกห้อง 1

00:00:41.659 --> 00:00:43.711
ย้ายไปพักห้อง 2

00:00:43.735 --> 00:00:46.056
แขกห้อง 2 ย้ายไปห้อง 3

00:00:46.080 --> 00:00:47.288
เช่นนี้ทุกห้อง

00:00:47.449 --> 00:00:49.838
แขกทุกคนย้ายจากห้องหมายเลข "n"

00:00:49.862 --> 00:00:52.179
ไปยังห้องหมายเลข "n+1"

00:00:52.721 --> 00:00:54.812
เนื่องจากมีห้องอยู่เป็นอนันต์

00:00:54.836 --> 00:00:57.169
จึงมีห้องใหม่ให้กับแขกที่พักอยู่เดิมทุกราย

00:00:57.413 --> 00:00:59.760
ห้องหมายเลข 1 จึงว่าง ให้ลูกค้าใหม่เข้าพัก

00:00:59.784 --> 00:01:01.070
สามารถใช้วิธีการนี้ซ้ำ

00:01:01.094 --> 00:01:03.811
เมื่อมีแขกใหม่มาเพิ่มในจำนวนจำกัด
จะกี่คนก็ได้

00:01:03.971 --> 00:01:07.529
สมมติถ้ามีรถทัวร์หอบนักท่องเที่ยวมา 40 คน

00:01:07.553 --> 00:01:09.642
แขกที่พักอยู่เดิมก็แค่ย้าย

00:01:09.666 --> 00:01:10.980
จากห้องหมายเลข "n"

00:01:11.004 --> 00:01:13.638
ไปยังห้องหมายเลข "n+40"

00:01:13.662 --> 00:01:16.200
40 ห้องแรกก็จะว่าง พร้อมให้เข้าพัก

00:01:17.157 --> 00:01:19.171
แต่ถ้ามีรถทัวร์ใหญ่เป็นอนันต์

00:01:19.195 --> 00:01:21.744
พร้อมด้วยผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

00:01:21.768 --> 00:01:23.673
เข้ามาถามหาห้องพักล่ะ

00:01:23.697 --> 00:01:25.686
ความเป็นอนันต์นับได้ เป็นประเด็นสำคัญ

00:01:26.164 --> 00:01:28.530
รถทัวร์อนันต์ พร้อมผู้โดยสารจำนวนอนันต์

00:01:28.554 --> 00:01:30.518
ทำให้ผู้จัดการโรงแรมถึงกับอึ้งไปในตอนแรก

00:01:30.542 --> 00:01:32.010
แต่ผู้จัดการก็คิดออก

00:01:32.034 --> 00:01:33.349
ว่าจะรับแขกใหม่ได้อย่างไร

00:01:33.373 --> 00:01:36.391
เขาขอให้แขกห้อง 1 ย้ายไปห้อง 2

00:01:36.415 --> 00:01:38.527
และให้แขกห้อง 2

00:01:38.551 --> 00:01:40.435
ย้ายไปห้อง 4

00:01:40.459 --> 00:01:42.809
แขกห้อง 3 ย้ายไปห้อง 6

00:01:42.833 --> 00:01:44.105
เช่นนี้ทุกห้อง

00:01:44.129 --> 00:01:47.313
แขกปัจจุบันแต่ละคน ย้ายจากห้อง "n"

00:01:47.337 --> 00:01:49.029
ไปยังห้องหมายเลข "2n"

00:01:50.807 --> 00:01:54.060
ห้องเลขคู่ จำนวนอนันต์ จึงถูกจับจองหมด

00:01:54.084 --> 00:01:55.929
ซึ่งก็จะทำให้ห้องเลขคี่ทั้งหมด

00:01:55.953 --> 00:01:58.867
จำนวนมากมายเป็นอนันต์ว่างลง

00:01:58.891 --> 00:02:02.506
ให้แขกจากรถทัวร์อนันต์ได้เข้าพัก

00:02:03.242 --> 00:02:06.875
ทุกคนมีความสุข
ธุรกิจโรงแรมก็คึกคักยิ่งขึ้นไปอีก

00:02:06.899 --> 00:02:10.416
แต่ที่จริงแล้วยอดรายได้เท่ากันเป๊ะทุกคืน

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
มีเงินเข้าธนาคารจำนวนอนันต์ดอลล่าร์ทุกคืน

00:02:14.076 --> 00:02:16.355
คนกล่าวขวัญถึงโรงแรมอันน่าเหลือเชื่อนี้

00:02:16.379 --> 00:02:18.544
ผู้คนแห่กันมาพักจากทั่วสารทิศ

00:02:18.568 --> 00:02:20.842
คืนหนึ่ง เรื่องไม่คาดฝันก็เกิดขึ้น

00:02:20.866 --> 00:02:23.407
ผู้จัดการมองออกไปข้างนอก

00:02:23.431 --> 00:02:27.517
เห็นแถวรถทัวร์ใหญ่อนันต์ เข้ามาอนันต์คัน

00:02:27.541 --> 00:02:30.185
แต่ละคัน มีผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

00:02:30.255 --> 00:02:31.386
เขาจะทำอย่างไรดีล่ะ?

00:02:31.410 --> 00:02:34.207
ถ้าหาห้องให้แขกไม่ได้ ก็จะเสียลูกค้า

00:02:34.231 --> 00:02:35.958
เสียรายได้เป็นปริมาณอนันต์

00:02:35.982 --> 00:02:37.955
และผู้จัดการก็จะตกงานด้วย

00:02:37.979 --> 00:02:41.790
โชคดีที่เขานึกขึ้นได้ว่า
ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

00:02:41.814 --> 00:02:44.726
ยูคลิดได้พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะ

00:02:44.750 --> 00:02:46.634
มีปริมาณเป็นอนันต์

00:02:47.372 --> 00:02:49.660
เพื่อจะทำในสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้

00:02:49.684 --> 00:02:52.285
โดยหาเตียงจำนวนอนันต์
ให้นักท่องเที่ยวที่เหนื่อยล้า

00:02:52.309 --> 00:02:54.291
จำนวนเป็นอนันต์ จากรถทัวร์อนันต์คัน

00:02:54.315 --> 00:02:57.182
ผู้จัดการขอให้ผู้พักเดิมแต่ละคน

00:02:57.206 --> 00:02:59.042
ย้ายไปห้องหมายเลข 2 (จำนวนเฉพาะตัวแรก)

00:02:59.066 --> 00:03:01.867
ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม

00:03:01.891 --> 00:03:04.535
เช่น ผู้ที่เดิมพักอยู่ห้องหมายเลข 7

00:03:04.559 --> 00:03:07.541
ก็ย้ายไปห้อง 2 ยกกำลัง 7

00:03:07.565 --> 00:03:09.261
หรือห้องหมายเลข 128 นั่นเอง

00:03:10.236 --> 00:03:13.757
แล้วผู้จัดการก็ให้คนจากรถทัวร์อนันต์คันแรก

00:03:13.781 --> 00:03:15.806
เข้าพักในห้องที่มีหมายเลขเท่ากับ

00:03:15.830 --> 00:03:18.291
จำนวนเฉพาะถัดไป คือ 3

00:03:18.315 --> 00:03:21.728
ยกกำลังด้วยเลขเบาะนั่งของรถทัวร์

00:03:21.752 --> 00:03:25.259
เช่น คนที่นั่งเบาะหมายเลข 7 ของรถคันแรก

00:03:25.283 --> 00:03:28.360
ก็เข้าพักห้องหมายเลข 3 ยกกำลัง 7

00:03:28.384 --> 00:03:31.610
หรือห้อง 2,187 นั่นเอง

00:03:31.634 --> 00:03:34.069
ทำเช่นนี้จนครบทุกคน ที่มากับรถคันแรก

00:03:34.093 --> 00:03:35.741
สำหรับผู้โดยสารรถทัวร์คันที่สอง

00:03:35.765 --> 00:03:39.410
ก็ให้เข้าพักห้องจำนวนเฉพาะถัดไป คือ 5

00:03:39.434 --> 00:03:41.493
คันถัดไป ก็ใช้เลข 7 เป็นฐานยกกำลัง

00:03:41.517 --> 00:03:42.921
คันถัด ๆ ไป ก็จะเข้าพักห้อง

00:03:42.945 --> 00:03:44.746
กำลังของ 11 กำลังของ 13

00:03:44.770 --> 00:03:46.799
กำลังของ 17 ไปเรื่อย ๆ

00:03:47.370 --> 00:03:48.729
เนื่องจากเลขเหล่านี้แต่ละตัว

00:03:48.753 --> 00:03:50.968
มีแค่ 1 และ เลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัว

00:03:50.992 --> 00:03:53.213
ยกกำลังด้วยจำนวนนับ เป็นตัวประกอบ

00:03:53.237 --> 00:03:55.386
จึงไม่มีเลขห้องที่ซ้ำซ้อนกัน

00:03:55.410 --> 00:03:58.482
ผู้โดยสารจากรถทุกคัน แยกย้ายกันเข้าห้อง

00:03:59.034 --> 00:04:00.846
ตามกลวิธีจัดห้องพักที่ไม่เหมือนใคร

00:04:00.870 --> 00:04:03.486
โดยอิงจากจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน

00:04:03.510 --> 00:04:05.701
ด้วยวิธีนี้ ผู้จัดการก็สามารถหาที่พัก

00:04:05.725 --> 00:04:07.846
ให้กับแขกทุกคน จากรถทุกคัน

00:04:07.870 --> 00:04:11.064
ถึงแม้วิธีนี้จะทำให้มีหลายห้องไม่มีคนพัก

00:04:11.088 --> 00:04:12.356
อย่างเช่น ห้องหมายเลข 6

00:04:12.380 --> 00:04:15.095
เพราะ 6 ไม่ใช่เลขยกกำลัง
ของจำนวนเฉพาะ

00:04:15.119 --> 00:04:17.512
แต่โชคยังดีที่เจ้านายของเขา
ไม่ค่อยเก่งเลขเท่าไหร่

00:04:17.536 --> 00:04:18.875
อาชีพของเขาจึงยังมั่นคงอยู่

00:04:19.507 --> 00:04:22.007
ผู้จัดการสามารถใช้กลยุทธ์ดังกล่าวได้

00:04:22.031 --> 00:04:26.624
เพราะถึงแม้ว่าการจัดการโรงแรมอนันต์
จะยุ่งยากซับซ้อนสุด ๆ

00:04:26.648 --> 00:04:29.957
แต่ก็เป็นการจัดการกับค่าอนันต์
ในระดับที่ต่ำที่สุด

00:04:29.981 --> 00:04:33.513
หลัก ๆ คือความเป็นอนันต์นับได้
ของจำนวนนับ

00:04:33.537 --> 00:04:36.594
1 2 3 4 เรื่อยไป

00:04:36.618 --> 00:04:40.513
จอร์จ แคนเทอร์ เรียกระดับความเป็นอนันต์
นี้ว่า อาเลพ-ซีโร่ aleph-zero

00:04:40.945 --> 00:04:43.042
เราใช้จำนวนนับกับหมายเลขห้อง

00:04:43.066 --> 00:04:45.188
รวมถึงเลขเบาะที่นั่งบนรถทัวร์

00:04:45.913 --> 00:04:48.252
หากเราจัดการกับ
ความเป็นอนันต์ระดับสูงกว่านี้

00:04:48.276 --> 00:04:49.848
อย่างกรณีของจำนวนจริง

00:04:49.872 --> 00:04:52.844
กลยุทธ์ดังกล่าวก็จะใช้ไม่ได้

00:04:52.868 --> 00:04:56.405
เพราะไม่มีวิธีที่เป็นระบบระเบียบ
ที่จะนับเลขให้ครอบคลุมทุกตัว

00:04:57.002 --> 00:04:58.803
โรงแรมอนันต์เลขจำนวนจริง

00:04:58.827 --> 00:05:00.905
มีห้องเลขติดลบ อยู่ชั้นใต้ดิน

00:05:00.929 --> 00:05:02.364
ห้องเลขเศษส่วน

00:05:02.388 --> 00:05:04.484
คนที่อยู่ห้อง 1/2 จึงเฝ้าสงสัยว่า

00:05:04.508 --> 00:05:07.181
ได้ห้องเล็กกว่าคนที่ห้องหมายเลข 1 รึเปล่า

00:05:07.205 --> 00:05:10.308
ห้องเลขรากที่สอง เช่น ห้องรูทสอง

00:05:10.332 --> 00:05:11.438
และห้องค่าพาย

00:05:11.462 --> 00:05:14.325
ซึ่งผู้เข้าพักหวังจะได้ของหวานฟรี

00:05:14.349 --> 00:05:17.374
จะมีผู้จัดการที่เชื่อมั่นในตัวเองคนไหน
อยากจะมาทำงานให้

00:05:17.398 --> 00:05:19.005
ต่อให้เงินเดือนเป็นอนันต์ก็ตามที

00:05:19.029 --> 00:05:20.918
แต่จากโรงแรมอนันต์ของฮิลเบิร์ต

00:05:20.942 --> 00:05:22.420
ซึ่งไม่เคยมีห้องว่าง

00:05:22.444 --> 00:05:24.004
และมีห้องให้ผู้มาใหม่ได้เสมอ

00:05:24.028 --> 00:05:26.926
สถานการณ์ที่ผู้จัดการคนขยัน

00:05:26.950 --> 00:05:28.760
แถมดูจะชอบต้อนรับแขกเกินไปสักหน่อย

00:05:28.784 --> 00:05:31.490
เป็นสิ่งที่เตือนให้เรารู้ว่า ยากแค่ไหน

00:05:31.514 --> 00:05:33.905
ที่กรอบความคิดที่ค่อนข้างจำกัดของเรา

00:05:33.929 --> 00:05:36.767
จะเข้าใจแนวคิดอันมโหฬารอย่างค่าอนันต์ได้

00:05:37.132 --> 00:05:39.083
ไม่แน่คุณอาจช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

00:05:39.107 --> 00:05:40.403
หลังจากหลับเติมอิ่มสักคืน

00:05:40.427 --> 00:05:42.276
แต่พูดตรง ๆ เราอาจจะต้องให้คุณ

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
ย้ายห้องตอนตีสองก็เป็นได้