ในทศวรรษ 1920
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนาม เดวิด ฮิลเบิร์ต
ได้สร้างการทดลองด้วยความคิดอันโด่งดังขึ้น
เพื่อแสดงให้เห็นว่า ยากแค่ไหน
ที่เราจะทำความเข้าใจ แนวคิดเกี่ยวกับค่าอนันต์
ลองจินตนาการว่ามีโรงแรม ที่มีจำนวนห้องเป็นอนันต์
มีผู้จัดการกะกลางคืน ผู้ขยันขันแข็ง
คืนหนึ่ง โรงแรมอนันต์เต็มเสียแล้ว
ถูกจองไว้ทุกห้อง โดยแขกจำนวนเป็นอนันต์
แต่แล้วมีชายผู้หนึ่งแวะเข้ามาขอพัก
แทนที่จะปฏิเสธแขกรายนี้ไป
ผู้จัดการตัดสินใจหาห้องให้เขา
ทำยังไงล่ะ?
ง่ายมาก ผู้จัดการขอให้แขกห้อง 1
ย้ายไปพักห้อง 2
แขกห้อง 2 ย้ายไปห้อง 3
เช่นนี้ทุกห้อง
แขกทุกคนย้ายจากห้องหมายเลข "n"
ไปยังห้องหมายเลข "n+1"
เนื่องจากมีห้องอยู่เป็นอนันต์
จึงมีห้องใหม่ให้กับแขกที่พักอยู่เดิมทุกราย
ห้องหมายเลข 1 จึงว่าง ให้ลูกค้าใหม่เข้าพัก
สามารถใช้วิธีการนี้ซ้ำ
เมื่อมีแขกใหม่มาเพิ่มในจำนวนจำกัด จะกี่คนก็ได้
สมมติถ้ามีรถทัวร์หอบนักท่องเที่ยวมา 40 คน
แขกที่พักอยู่เดิมก็แค่ย้าย
จากห้องหมายเลข "n"
ไปยังห้องหมายเลข "n+40"
40 ห้องแรกก็จะว่าง พร้อมให้เข้าพัก
แต่ถ้ามีรถทัวร์ใหญ่เป็นอนันต์
พร้อมด้วยผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้
เข้ามาถามหาห้องพักล่ะ
ความเป็นอนันต์นับได้ เป็นประเด็นสำคัญ
รถทัวร์อนันต์ พร้อมผู้โดยสารจำนวนอนันต์
ทำให้ผู้จัดการโรงแรมถึงกับอึ้งไปในตอนแรก
แต่ผู้จัดการก็คิดออก
ว่าจะรับแขกใหม่ได้อย่างไร
เขาขอให้แขกห้อง 1 ย้ายไปห้อง 2
และให้แขกห้อง 2
ย้ายไปห้อง 4
แขกห้อง 3 ย้ายไปห้อง 6
เช่นนี้ทุกห้อง
แขกปัจจุบันแต่ละคน ย้ายจากห้อง "n"
ไปยังห้องหมายเลข "2n"
ห้องเลขคู่ จำนวนอนันต์ จึงถูกจับจองหมด
ซึ่งก็จะทำให้ห้องเลขคี่ทั้งหมด
จำนวนมากมายเป็นอนันต์ว่างลง
ให้แขกจากรถทัวร์อนันต์ได้เข้าพัก
ทุกคนมีความสุข ธุรกิจโรงแรมก็คึกคักยิ่งขึ้นไปอีก
แต่ที่จริงแล้วยอดรายได้เท่ากันเป๊ะทุกคืน
มีเงินเข้าธนาคารจำนวนอนันต์ดอลล่าร์ทุกคืน
คนกล่าวขวัญถึงโรงแรมอันน่าเหลือเชื่อนี้
ผู้คนแห่กันมาพักจากทั่วสารทิศ
คืนหนึ่ง เรื่องไม่คาดฝันก็เกิดขึ้น
ผู้จัดการมองออกไปข้างนอก
เห็นแถวรถทัวร์ใหญ่อนันต์ เข้ามาอนันต์คัน
แต่ละคัน มีผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้
เขาจะทำอย่างไรดีล่ะ?
ถ้าหาห้องให้แขกไม่ได้ ก็จะเสียลูกค้า
เสียรายได้เป็นปริมาณอนันต์
และผู้จัดการก็จะตกงานด้วย
โชคดีที่เขานึกขึ้นได้ว่า ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล
ยูคลิดได้พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะ
มีปริมาณเป็นอนันต์
เพื่อจะทำในสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้
โดยหาเตียงจำนวนอนันต์ ให้นักท่องเที่ยวที่เหนื่อยล้า
จำนวนเป็นอนันต์ จากรถทัวร์อนันต์คัน
ผู้จัดการขอให้ผู้พักเดิมแต่ละคน
ย้ายไปห้องหมายเลข 2 (จำนวนเฉพาะตัวแรก)
ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม
เช่น ผู้ที่เดิมพักอยู่ห้องหมายเลข 7
ก็ย้ายไปห้อง 2 ยกกำลัง 7
หรือห้องหมายเลข 128 นั่นเอง
แล้วผู้จัดการก็ให้คนจากรถทัวร์อนันต์คันแรก
เข้าพักในห้องที่มีหมายเลขเท่ากับ
จำนวนเฉพาะถัดไป คือ 3
ยกกำลังด้วยเลขเบาะนั่งของรถทัวร์
เช่น คนที่นั่งเบาะหมายเลข 7 ของรถคันแรก
ก็เข้าพักห้องหมายเลข 3 ยกกำลัง 7
หรือห้อง 2,187 นั่นเอง
ทำเช่นนี้จนครบทุกคน ที่มากับรถคันแรก
สำหรับผู้โดยสารรถทัวร์คันที่สอง
ก็ให้เข้าพักห้องจำนวนเฉพาะถัดไป คือ 5
คันถัดไป ก็ใช้เลข 7 เป็นฐานยกกำลัง
คันถัด ๆ ไป ก็จะเข้าพักห้อง
กำลังของ 11 กำลังของ 13
กำลังของ 17 ไปเรื่อย ๆ
เนื่องจากเลขเหล่านี้แต่ละตัว
มีแค่ 1 และ เลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัว
ยกกำลังด้วยจำนวนนับ เป็นตัวประกอบ
จึงไม่มีเลขห้องที่ซ้ำซ้อนกัน
ผู้โดยสารจากรถทุกคัน แยกย้ายกันเข้าห้อง
ตามกลวิธีจัดห้องพักที่ไม่เหมือนใคร
โดยอิงจากจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน
ด้วยวิธีนี้ ผู้จัดการก็สามารถหาที่พัก
ให้กับแขกทุกคน จากรถทุกคัน
ถึงแม้วิธีนี้จะทำให้มีหลายห้องไม่มีคนพัก
อย่างเช่น ห้องหมายเลข 6
เพราะ 6 ไม่ใช่เลขยกกำลัง ของจำนวนเฉพาะ
แต่โชคยังดีที่เจ้านายของเขา ไม่ค่อยเก่งเลขเท่าไหร่
อาชีพของเขาจึงยังมั่นคงอยู่
ผู้จัดการสามารถใช้กลยุทธ์ดังกล่าวได้
เพราะถึงแม้ว่าการจัดการโรงแรมอนันต์ จะยุ่งยากซับซ้อนสุด ๆ
แต่ก็เป็นการจัดการกับค่าอนันต์ ในระดับที่ต่ำที่สุด
หลัก ๆ คือความเป็นอนันต์นับได้ ของจำนวนนับ
1 2 3 4 เรื่อยไป
จอร์จ แคนเทอร์ เรียกระดับความเป็นอนันต์ นี้ว่า อาเลพ-ซีโร่ aleph-zero
เราใช้จำนวนนับกับหมายเลขห้อง
รวมถึงเลขเบาะที่นั่งบนรถทัวร์
หากเราจัดการกับ ความเป็นอนันต์ระดับสูงกว่านี้
อย่างกรณีของจำนวนจริง
กลยุทธ์ดังกล่าวก็จะใช้ไม่ได้
เพราะไม่มีวิธีที่เป็นระบบระเบียบ ที่จะนับเลขให้ครอบคลุมทุกตัว
โรงแรมอนันต์เลขจำนวนจริง
มีห้องเลขติดลบ อยู่ชั้นใต้ดิน
ห้องเลขเศษส่วน
คนที่อยู่ห้อง 1/2 จึงเฝ้าสงสัยว่า
ได้ห้องเล็กกว่าคนที่ห้องหมายเลข 1 รึเปล่า
ห้องเลขรากที่สอง เช่น ห้องรูทสอง
และห้องค่าพาย
ซึ่งผู้เข้าพักหวังจะได้ของหวานฟรี
จะมีผู้จัดการที่เชื่อมั่นในตัวเองคนไหน อยากจะมาทำงานให้
ต่อให้เงินเดือนเป็นอนันต์ก็ตามที
แต่จากโรงแรมอนันต์ของฮิลเบิร์ต
ซึ่งไม่เคยมีห้องว่าง
และมีห้องให้ผู้มาใหม่ได้เสมอ
สถานการณ์ที่ผู้จัดการคนขยัน
แถมดูจะชอบต้อนรับแขกเกินไปสักหน่อย
เป็นสิ่งที่เตือนให้เรารู้ว่า ยากแค่ไหน
ที่กรอบความคิดที่ค่อนข้างจำกัดของเรา
จะเข้าใจแนวคิดอันมโหฬารอย่างค่าอนันต์ได้
ไม่แน่คุณอาจช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้
หลังจากหลับเติมอิ่มสักคืน
แต่พูดตรง ๆ เราอาจจะต้องให้คุณ
ย้ายห้องตอนตีสองก็เป็นได้