1
00:00:06,531 --> 00:00:07,691
ในทศวรรษ 1920

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,184
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนาม เดวิด ฮิลเบิร์ต

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,437
ได้สร้างการทดลองด้วยความคิดอันโด่งดังขึ้น

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,191
เพื่อแสดงให้เห็นว่า ยากแค่ไหน

5
00:00:14,215 --> 00:00:17,665
ที่เราจะทำความเข้าใจ
แนวคิดเกี่ยวกับค่าอนันต์

6
00:00:18,353 --> 00:00:21,659
ลองจินตนาการว่ามีโรงแรม
ที่มีจำนวนห้องเป็นอนันต์

7
00:00:21,683 --> 00:00:23,988
มีผู้จัดการกะกลางคืน ผู้ขยันขันแข็ง

8
00:00:24,528 --> 00:00:27,523
คืนหนึ่ง โรงแรมอนันต์เต็มเสียแล้ว

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,003
ถูกจองไว้ทุกห้อง โดยแขกจำนวนเป็นอนันต์

10
00:00:31,027 --> 00:00:34,161
แต่แล้วมีชายผู้หนึ่งแวะเข้ามาขอพัก

11
00:00:34,185 --> 00:00:35,444
แทนที่จะปฏิเสธแขกรายนี้ไป

12
00:00:35,468 --> 00:00:37,907
ผู้จัดการตัดสินใจหาห้องให้เขา

13
00:00:37,931 --> 00:00:38,947
ทำยังไงล่ะ?

14
00:00:38,971 --> 00:00:41,635
ง่ายมาก ผู้จัดการขอให้แขกห้อง 1

15
00:00:41,659 --> 00:00:43,711
ย้ายไปพักห้อง 2

16
00:00:43,735 --> 00:00:46,056
แขกห้อง 2 ย้ายไปห้อง 3

17
00:00:46,080 --> 00:00:47,288
เช่นนี้ทุกห้อง

18
00:00:47,449 --> 00:00:49,838
แขกทุกคนย้ายจากห้องหมายเลข "n"

19
00:00:49,862 --> 00:00:52,179
ไปยังห้องหมายเลข "n+1"

20
00:00:52,721 --> 00:00:54,812
เนื่องจากมีห้องอยู่เป็นอนันต์

21
00:00:54,836 --> 00:00:57,169
จึงมีห้องใหม่ให้กับแขกที่พักอยู่เดิมทุกราย

22
00:00:57,413 --> 00:00:59,760
ห้องหมายเลข 1 จึงว่าง ให้ลูกค้าใหม่เข้าพัก

23
00:00:59,784 --> 00:01:01,070
สามารถใช้วิธีการนี้ซ้ำ

24
00:01:01,094 --> 00:01:03,811
เมื่อมีแขกใหม่มาเพิ่มในจำนวนจำกัด
จะกี่คนก็ได้

25
00:01:03,971 --> 00:01:07,529
สมมติถ้ามีรถทัวร์หอบนักท่องเที่ยวมา 40 คน

26
00:01:07,553 --> 00:01:09,642
แขกที่พักอยู่เดิมก็แค่ย้าย

27
00:01:09,666 --> 00:01:10,980
จากห้องหมายเลข "n"

28
00:01:11,004 --> 00:01:13,638
ไปยังห้องหมายเลข "n+40"

29
00:01:13,662 --> 00:01:16,200
40 ห้องแรกก็จะว่าง พร้อมให้เข้าพัก

30
00:01:17,157 --> 00:01:19,171
แต่ถ้ามีรถทัวร์ใหญ่เป็นอนันต์

31
00:01:19,195 --> 00:01:21,744
พร้อมด้วยผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

32
00:01:21,768 --> 00:01:23,673
เข้ามาถามหาห้องพักล่ะ

33
00:01:23,697 --> 00:01:25,686
ความเป็นอนันต์นับได้ เป็นประเด็นสำคัญ

34
00:01:26,164 --> 00:01:28,530
รถทัวร์อนันต์ พร้อมผู้โดยสารจำนวนอนันต์

35
00:01:28,554 --> 00:01:30,518
ทำให้ผู้จัดการโรงแรมถึงกับอึ้งไปในตอนแรก

36
00:01:30,542 --> 00:01:32,010
แต่ผู้จัดการก็คิดออก

37
00:01:32,034 --> 00:01:33,349
ว่าจะรับแขกใหม่ได้อย่างไร

38
00:01:33,373 --> 00:01:36,391
เขาขอให้แขกห้อง 1 ย้ายไปห้อง 2

39
00:01:36,415 --> 00:01:38,527
และให้แขกห้อง 2

40
00:01:38,551 --> 00:01:40,435
ย้ายไปห้อง 4

41
00:01:40,459 --> 00:01:42,809
แขกห้อง 3 ย้ายไปห้อง 6

42
00:01:42,833 --> 00:01:44,105
เช่นนี้ทุกห้อง

43
00:01:44,129 --> 00:01:47,313
แขกปัจจุบันแต่ละคน ย้ายจากห้อง "n"

44
00:01:47,337 --> 00:01:49,029
ไปยังห้องหมายเลข "2n"

45
00:01:50,807 --> 00:01:54,060
ห้องเลขคู่ จำนวนอนันต์ จึงถูกจับจองหมด

46
00:01:54,084 --> 00:01:55,929
ซึ่งก็จะทำให้ห้องเลขคี่ทั้งหมด

47
00:01:55,953 --> 00:01:58,867
จำนวนมากมายเป็นอนันต์ว่างลง

48
00:01:58,891 --> 00:02:02,506
ให้แขกจากรถทัวร์อนันต์ได้เข้าพัก

49
00:02:03,242 --> 00:02:06,875
ทุกคนมีความสุข
ธุรกิจโรงแรมก็คึกคักยิ่งขึ้นไปอีก

50
00:02:06,899 --> 00:02:10,416
แต่ที่จริงแล้วยอดรายได้เท่ากันเป๊ะทุกคืน

51
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
มีเงินเข้าธนาคารจำนวนอนันต์ดอลล่าร์ทุกคืน

52
00:02:14,076 --> 00:02:16,355
คนกล่าวขวัญถึงโรงแรมอันน่าเหลือเชื่อนี้

53
00:02:16,379 --> 00:02:18,544
ผู้คนแห่กันมาพักจากทั่วสารทิศ

54
00:02:18,568 --> 00:02:20,842
คืนหนึ่ง เรื่องไม่คาดฝันก็เกิดขึ้น

55
00:02:20,866 --> 00:02:23,407
ผู้จัดการมองออกไปข้างนอก

56
00:02:23,431 --> 00:02:27,517
เห็นแถวรถทัวร์ใหญ่อนันต์ เข้ามาอนันต์คัน

57
00:02:27,541 --> 00:02:30,185
แต่ละคัน มีผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

58
00:02:30,255 --> 00:02:31,386
เขาจะทำอย่างไรดีล่ะ?

59
00:02:31,410 --> 00:02:34,207
ถ้าหาห้องให้แขกไม่ได้ ก็จะเสียลูกค้า

60
00:02:34,231 --> 00:02:35,958
เสียรายได้เป็นปริมาณอนันต์

61
00:02:35,982 --> 00:02:37,955
และผู้จัดการก็จะตกงานด้วย

62
00:02:37,979 --> 00:02:41,790
โชคดีที่เขานึกขึ้นได้ว่า
ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

63
00:02:41,814 --> 00:02:44,726
ยูคลิดได้พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะ

64
00:02:44,750 --> 00:02:46,634
มีปริมาณเป็นอนันต์

65
00:02:47,372 --> 00:02:49,660
เพื่อจะทำในสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้

66
00:02:49,684 --> 00:02:52,285
โดยหาเตียงจำนวนอนันต์
ให้นักท่องเที่ยวที่เหนื่อยล้า

67
00:02:52,309 --> 00:02:54,291
จำนวนเป็นอนันต์ จากรถทัวร์อนันต์คัน

68
00:02:54,315 --> 00:02:57,182
ผู้จัดการขอให้ผู้พักเดิมแต่ละคน

69
00:02:57,206 --> 00:02:59,042
ย้ายไปห้องหมายเลข 2 (จำนวนเฉพาะตัวแรก)

70
00:02:59,066 --> 00:03:01,867
ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม

71
00:03:01,891 --> 00:03:04,535
เช่น ผู้ที่เดิมพักอยู่ห้องหมายเลข 7

72
00:03:04,559 --> 00:03:07,541
ก็ย้ายไปห้อง 2 ยกกำลัง 7

73
00:03:07,565 --> 00:03:09,261
หรือห้องหมายเลข 128 นั่นเอง

74
00:03:10,236 --> 00:03:13,757
แล้วผู้จัดการก็ให้คนจากรถทัวร์อนันต์คันแรก

75
00:03:13,781 --> 00:03:15,806
เข้าพักในห้องที่มีหมายเลขเท่ากับ

76
00:03:15,830 --> 00:03:18,291
จำนวนเฉพาะถัดไป คือ 3

77
00:03:18,315 --> 00:03:21,728
ยกกำลังด้วยเลขเบาะนั่งของรถทัวร์

78
00:03:21,752 --> 00:03:25,259
เช่น คนที่นั่งเบาะหมายเลข 7 ของรถคันแรก

79
00:03:25,283 --> 00:03:28,360
ก็เข้าพักห้องหมายเลข 3 ยกกำลัง 7

80
00:03:28,384 --> 00:03:31,610
หรือห้อง 2,187 นั่นเอง

81
00:03:31,634 --> 00:03:34,069
ทำเช่นนี้จนครบทุกคน ที่มากับรถคันแรก

82
00:03:34,093 --> 00:03:35,741
สำหรับผู้โดยสารรถทัวร์คันที่สอง

83
00:03:35,765 --> 00:03:39,410
ก็ให้เข้าพักห้องจำนวนเฉพาะถัดไป คือ 5

84
00:03:39,434 --> 00:03:41,493
คันถัดไป ก็ใช้เลข 7 เป็นฐานยกกำลัง

85
00:03:41,517 --> 00:03:42,921
คันถัด ๆ ไป ก็จะเข้าพักห้อง

86
00:03:42,945 --> 00:03:44,746
กำลังของ 11 กำลังของ 13

87
00:03:44,770 --> 00:03:46,799
กำลังของ 17 ไปเรื่อย ๆ

88
00:03:47,370 --> 00:03:48,729
เนื่องจากเลขเหล่านี้แต่ละตัว

89
00:03:48,753 --> 00:03:50,968
มีแค่ 1 และ เลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัว

90
00:03:50,992 --> 00:03:53,213
ยกกำลังด้วยจำนวนนับ เป็นตัวประกอบ

91
00:03:53,237 --> 00:03:55,386
จึงไม่มีเลขห้องที่ซ้ำซ้อนกัน

92
00:03:55,410 --> 00:03:58,482
ผู้โดยสารจากรถทุกคัน แยกย้ายกันเข้าห้อง

93
00:03:59,034 --> 00:04:00,846
ตามกลวิธีจัดห้องพักที่ไม่เหมือนใคร

94
00:04:00,870 --> 00:04:03,486
โดยอิงจากจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน

95
00:04:03,510 --> 00:04:05,701
ด้วยวิธีนี้ ผู้จัดการก็สามารถหาที่พัก

96
00:04:05,725 --> 00:04:07,846
ให้กับแขกทุกคน จากรถทุกคัน

97
00:04:07,870 --> 00:04:11,064
ถึงแม้วิธีนี้จะทำให้มีหลายห้องไม่มีคนพัก

98
00:04:11,088 --> 00:04:12,356
อย่างเช่น ห้องหมายเลข 6

99
00:04:12,380 --> 00:04:15,095
เพราะ 6 ไม่ใช่เลขยกกำลัง
ของจำนวนเฉพาะ

100
00:04:15,119 --> 00:04:17,512
แต่โชคยังดีที่เจ้านายของเขา
ไม่ค่อยเก่งเลขเท่าไหร่

101
00:04:17,536 --> 00:04:18,875
อาชีพของเขาจึงยังมั่นคงอยู่

102
00:04:19,507 --> 00:04:22,007
ผู้จัดการสามารถใช้กลยุทธ์ดังกล่าวได้

103
00:04:22,031 --> 00:04:26,624
เพราะถึงแม้ว่าการจัดการโรงแรมอนันต์
จะยุ่งยากซับซ้อนสุด ๆ

104
00:04:26,648 --> 00:04:29,957
แต่ก็เป็นการจัดการกับค่าอนันต์
ในระดับที่ต่ำที่สุด

105
00:04:29,981 --> 00:04:33,513
หลัก ๆ คือความเป็นอนันต์นับได้
ของจำนวนนับ

106
00:04:33,537 --> 00:04:36,594
1 2 3 4 เรื่อยไป

107
00:04:36,618 --> 00:04:40,513
จอร์จ แคนเทอร์ เรียกระดับความเป็นอนันต์
นี้ว่า อาเลพ-ซีโร่ aleph-zero

108
00:04:40,945 --> 00:04:43,042
เราใช้จำนวนนับกับหมายเลขห้อง

109
00:04:43,066 --> 00:04:45,188
รวมถึงเลขเบาะที่นั่งบนรถทัวร์

110
00:04:45,913 --> 00:04:48,252
หากเราจัดการกับ
ความเป็นอนันต์ระดับสูงกว่านี้

111
00:04:48,276 --> 00:04:49,848
อย่างกรณีของจำนวนจริง

112
00:04:49,872 --> 00:04:52,844
กลยุทธ์ดังกล่าวก็จะใช้ไม่ได้

113
00:04:52,868 --> 00:04:56,405
เพราะไม่มีวิธีที่เป็นระบบระเบียบ
ที่จะนับเลขให้ครอบคลุมทุกตัว

114
00:04:57,002 --> 00:04:58,803
โรงแรมอนันต์เลขจำนวนจริง

115
00:04:58,827 --> 00:05:00,905
มีห้องเลขติดลบ อยู่ชั้นใต้ดิน

116
00:05:00,929 --> 00:05:02,364
ห้องเลขเศษส่วน

117
00:05:02,388 --> 00:05:04,484
คนที่อยู่ห้อง 1/2 จึงเฝ้าสงสัยว่า

118
00:05:04,508 --> 00:05:07,181
ได้ห้องเล็กกว่าคนที่ห้องหมายเลข 1 รึเปล่า

119
00:05:07,205 --> 00:05:10,308
ห้องเลขรากที่สอง เช่น ห้องรูทสอง

120
00:05:10,332 --> 00:05:11,438
และห้องค่าพาย

121
00:05:11,462 --> 00:05:14,325
ซึ่งผู้เข้าพักหวังจะได้ของหวานฟรี

122
00:05:14,349 --> 00:05:17,374
จะมีผู้จัดการที่เชื่อมั่นในตัวเองคนไหน
อยากจะมาทำงานให้

123
00:05:17,398 --> 00:05:19,005
ต่อให้เงินเดือนเป็นอนันต์ก็ตามที

124
00:05:19,029 --> 00:05:20,918
แต่จากโรงแรมอนันต์ของฮิลเบิร์ต

125
00:05:20,942 --> 00:05:22,420
ซึ่งไม่เคยมีห้องว่าง

126
00:05:22,444 --> 00:05:24,004
และมีห้องให้ผู้มาใหม่ได้เสมอ

127
00:05:24,028 --> 00:05:26,926
สถานการณ์ที่ผู้จัดการคนขยัน

128
00:05:26,950 --> 00:05:28,760
แถมดูจะชอบต้อนรับแขกเกินไปสักหน่อย

129
00:05:28,784 --> 00:05:31,490
เป็นสิ่งที่เตือนให้เรารู้ว่า ยากแค่ไหน

130
00:05:31,514 --> 00:05:33,905
ที่กรอบความคิดที่ค่อนข้างจำกัดของเรา

131
00:05:33,929 --> 00:05:36,767
จะเข้าใจแนวคิดอันมโหฬารอย่างค่าอนันต์ได้

132
00:05:37,132 --> 00:05:39,083
ไม่แน่คุณอาจช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

133
00:05:39,107 --> 00:05:40,403
หลังจากหลับเติมอิ่มสักคืน

134
00:05:40,427 --> 00:05:42,276
แต่พูดตรง ๆ เราอาจจะต้องให้คุณ

135
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
ย้ายห้องตอนตีสองก็เป็นได้