0:00:06.531,0:00:07.691
ในทศวรรษ 1920

0:00:07.715,0:00:10.184
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันนาม เดวิด ฮิลเบิร์ต

0:00:10.208,0:00:12.437
ได้สร้างการทดลองด้วยความคิดอันโด่งดังขึ้น

0:00:12.461,0:00:14.191
เพื่อแสดงให้เห็นว่า ยากแค่ไหน

0:00:14.215,0:00:17.665
ที่เราจะทำความเข้าใจ[br]แนวคิดเกี่ยวกับค่าอนันต์

0:00:18.353,0:00:21.659
ลองจินตนาการว่ามีโรงแรม[br]ที่มีจำนวนห้องเป็นอนันต์

0:00:21.683,0:00:23.988
มีผู้จัดการกะกลางคืน ผู้ขยันขันแข็ง

0:00:24.528,0:00:27.523
คืนหนึ่ง โรงแรมอนันต์เต็มเสียแล้ว

0:00:27.547,0:00:31.003
ถูกจองไว้ทุกห้อง โดยแขกจำนวนเป็นอนันต์

0:00:31.027,0:00:34.161
แต่แล้วมีชายผู้หนึ่งแวะเข้ามาขอพัก

0:00:34.185,0:00:35.444
แทนที่จะปฏิเสธแขกรายนี้ไป

0:00:35.468,0:00:37.907
ผู้จัดการตัดสินใจหาห้องให้เขา

0:00:37.931,0:00:38.947
ทำยังไงล่ะ?

0:00:38.971,0:00:41.635
ง่ายมาก ผู้จัดการขอให้แขกห้อง 1

0:00:41.659,0:00:43.711
ย้ายไปพักห้อง 2

0:00:43.735,0:00:46.056
แขกห้อง 2 ย้ายไปห้อง 3

0:00:46.080,0:00:47.288
เช่นนี้ทุกห้อง

0:00:47.449,0:00:49.838
แขกทุกคนย้ายจากห้องหมายเลข "n"

0:00:49.862,0:00:52.179
ไปยังห้องหมายเลข "n+1"

0:00:52.721,0:00:54.812
เนื่องจากมีห้องอยู่เป็นอนันต์

0:00:54.836,0:00:57.169
จึงมีห้องใหม่ให้กับแขกที่พักอยู่เดิมทุกราย

0:00:57.413,0:00:59.760
ห้องหมายเลข 1 จึงว่าง ให้ลูกค้าใหม่เข้าพัก

0:00:59.784,0:01:01.070
สามารถใช้วิธีการนี้ซ้ำ

0:01:01.094,0:01:03.811
เมื่อมีแขกใหม่มาเพิ่มในจำนวนจำกัด[br]จะกี่คนก็ได้

0:01:03.971,0:01:07.529
สมมติถ้ามีรถทัวร์หอบนักท่องเที่ยวมา 40 คน

0:01:07.553,0:01:09.642
แขกที่พักอยู่เดิมก็แค่ย้าย

0:01:09.666,0:01:10.980
จากห้องหมายเลข "n"

0:01:11.004,0:01:13.638
ไปยังห้องหมายเลข "n+40"

0:01:13.662,0:01:16.200
40 ห้องแรกก็จะว่าง พร้อมให้เข้าพัก

0:01:17.157,0:01:19.171
แต่ถ้ามีรถทัวร์ใหญ่เป็นอนันต์

0:01:19.195,0:01:21.744
พร้อมด้วยผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

0:01:21.768,0:01:23.673
เข้ามาถามหาห้องพักล่ะ

0:01:23.697,0:01:25.686
ความเป็นอนันต์นับได้ เป็นประเด็นสำคัญ

0:01:26.164,0:01:28.530
รถทัวร์อนันต์ พร้อมผู้โดยสารจำนวนอนันต์

0:01:28.554,0:01:30.518
ทำให้ผู้จัดการโรงแรมถึงกับอึ้งไปในตอนแรก

0:01:30.542,0:01:32.010
แต่ผู้จัดการก็คิดออก

0:01:32.034,0:01:33.349
ว่าจะรับแขกใหม่ได้อย่างไร

0:01:33.373,0:01:36.391
เขาขอให้แขกห้อง 1 ย้ายไปห้อง 2

0:01:36.415,0:01:38.527
และให้แขกห้อง 2

0:01:38.551,0:01:40.435
ย้ายไปห้อง 4

0:01:40.459,0:01:42.809
แขกห้อง 3 ย้ายไปห้อง 6

0:01:42.833,0:01:44.105
เช่นนี้ทุกห้อง

0:01:44.129,0:01:47.313
แขกปัจจุบันแต่ละคน ย้ายจากห้อง "n"

0:01:47.337,0:01:49.029
ไปยังห้องหมายเลข "2n"

0:01:50.807,0:01:54.060
ห้องเลขคู่ จำนวนอนันต์ จึงถูกจับจองหมด

0:01:54.084,0:01:55.929
ซึ่งก็จะทำให้ห้องเลขคี่ทั้งหมด

0:01:55.953,0:01:58.867
จำนวนมากมายเป็นอนันต์ว่างลง

0:01:58.891,0:02:02.506
ให้แขกจากรถทัวร์อนันต์ได้เข้าพัก

0:02:03.242,0:02:06.875
ทุกคนมีความสุข[br]ธุรกิจโรงแรมก็คึกคักยิ่งขึ้นไปอีก

0:02:06.899,0:02:10.416
แต่ที่จริงแล้วยอดรายได้เท่ากันเป๊ะทุกคืน

0:02:10.440,0:02:12.923
มีเงินเข้าธนาคารจำนวนอนันต์ดอลล่าร์ทุกคืน

0:02:14.076,0:02:16.355
คนกล่าวขวัญถึงโรงแรมอันน่าเหลือเชื่อนี้

0:02:16.379,0:02:18.544
ผู้คนแห่กันมาพักจากทั่วสารทิศ

0:02:18.568,0:02:20.842
คืนหนึ่ง เรื่องไม่คาดฝันก็เกิดขึ้น

0:02:20.866,0:02:23.407
ผู้จัดการมองออกไปข้างนอก

0:02:23.431,0:02:27.517
เห็นแถวรถทัวร์ใหญ่อนันต์ เข้ามาอนันต์คัน

0:02:27.541,0:02:30.185
แต่ละคัน มีผู้โดยสารจำนวนอนันต์นับได้

0:02:30.255,0:02:31.386
เขาจะทำอย่างไรดีล่ะ?

0:02:31.410,0:02:34.207
ถ้าหาห้องให้แขกไม่ได้ ก็จะเสียลูกค้า

0:02:34.231,0:02:35.958
เสียรายได้เป็นปริมาณอนันต์

0:02:35.982,0:02:37.955
และผู้จัดการก็จะตกงานด้วย

0:02:37.979,0:02:41.790
โชคดีที่เขานึกขึ้นได้ว่า[br]ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

0:02:41.814,0:02:44.726
ยูคลิดได้พิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะ

0:02:44.750,0:02:46.634
มีปริมาณเป็นอนันต์

0:02:47.372,0:02:49.660
เพื่อจะทำในสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้

0:02:49.684,0:02:52.285
โดยหาเตียงจำนวนอนันต์[br]ให้นักท่องเที่ยวที่เหนื่อยล้า

0:02:52.309,0:02:54.291
จำนวนเป็นอนันต์ จากรถทัวร์อนันต์คัน

0:02:54.315,0:02:57.182
ผู้จัดการขอให้ผู้พักเดิมแต่ละคน

0:02:57.206,0:02:59.042
ย้ายไปห้องหมายเลข 2 (จำนวนเฉพาะตัวแรก)

0:02:59.066,0:03:01.867
ยกกำลังด้วยเลขห้องเดิม

0:03:01.891,0:03:04.535
เช่น ผู้ที่เดิมพักอยู่ห้องหมายเลข 7

0:03:04.559,0:03:07.541
ก็ย้ายไปห้อง 2 ยกกำลัง 7

0:03:07.565,0:03:09.261
หรือห้องหมายเลข 128 นั่นเอง

0:03:10.236,0:03:13.757
แล้วผู้จัดการก็ให้คนจากรถทัวร์อนันต์คันแรก

0:03:13.781,0:03:15.806
เข้าพักในห้องที่มีหมายเลขเท่ากับ

0:03:15.830,0:03:18.291
จำนวนเฉพาะถัดไป คือ 3

0:03:18.315,0:03:21.728
ยกกำลังด้วยเลขเบาะนั่งของรถทัวร์

0:03:21.752,0:03:25.259
เช่น คนที่นั่งเบาะหมายเลข 7 ของรถคันแรก

0:03:25.283,0:03:28.360
ก็เข้าพักห้องหมายเลข 3 ยกกำลัง 7

0:03:28.384,0:03:31.610
หรือห้อง 2,187 นั่นเอง

0:03:31.634,0:03:34.069
ทำเช่นนี้จนครบทุกคน ที่มากับรถคันแรก

0:03:34.093,0:03:35.741
สำหรับผู้โดยสารรถทัวร์คันที่สอง

0:03:35.765,0:03:39.410
ก็ให้เข้าพักห้องจำนวนเฉพาะถัดไป คือ 5

0:03:39.434,0:03:41.493
คันถัดไป ก็ใช้เลข 7 เป็นฐานยกกำลัง

0:03:41.517,0:03:42.921
คันถัด ๆ ไป ก็จะเข้าพักห้อง

0:03:42.945,0:03:44.746
กำลังของ 11 กำลังของ 13

0:03:44.770,0:03:46.799
กำลังของ 17 ไปเรื่อย ๆ

0:03:47.370,0:03:48.729
เนื่องจากเลขเหล่านี้แต่ละตัว

0:03:48.753,0:03:50.968
มีแค่ 1 และ เลขจำนวนเฉพาะแต่ละตัว

0:03:50.992,0:03:53.213
ยกกำลังด้วยจำนวนนับ เป็นตัวประกอบ

0:03:53.237,0:03:55.386
จึงไม่มีเลขห้องที่ซ้ำซ้อนกัน

0:03:55.410,0:03:58.482
ผู้โดยสารจากรถทุกคัน แยกย้ายกันเข้าห้อง

0:03:59.034,0:04:00.846
ตามกลวิธีจัดห้องพักที่ไม่เหมือนใคร

0:04:00.870,0:04:03.486
โดยอิงจากจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน

0:04:03.510,0:04:05.701
ด้วยวิธีนี้ ผู้จัดการก็สามารถหาที่พัก

0:04:05.725,0:04:07.846
ให้กับแขกทุกคน จากรถทุกคัน

0:04:07.870,0:04:11.064
ถึงแม้วิธีนี้จะทำให้มีหลายห้องไม่มีคนพัก

0:04:11.088,0:04:12.356
อย่างเช่น ห้องหมายเลข 6

0:04:12.380,0:04:15.095
เพราะ 6 ไม่ใช่เลขยกกำลัง[br]ของจำนวนเฉพาะ

0:04:15.119,0:04:17.512
แต่โชคยังดีที่เจ้านายของเขา[br]ไม่ค่อยเก่งเลขเท่าไหร่

0:04:17.536,0:04:18.875
อาชีพของเขาจึงยังมั่นคงอยู่

0:04:19.507,0:04:22.007
ผู้จัดการสามารถใช้กลยุทธ์ดังกล่าวได้

0:04:22.031,0:04:26.624
เพราะถึงแม้ว่าการจัดการโรงแรมอนันต์[br]จะยุ่งยากซับซ้อนสุด ๆ

0:04:26.648,0:04:29.957
แต่ก็เป็นการจัดการกับค่าอนันต์[br]ในระดับที่ต่ำที่สุด

0:04:29.981,0:04:33.513
หลัก ๆ คือความเป็นอนันต์นับได้[br]ของจำนวนนับ

0:04:33.537,0:04:36.594
1 2 3 4 เรื่อยไป

0:04:36.618,0:04:40.513
จอร์จ แคนเทอร์ เรียกระดับความเป็นอนันต์[br]นี้ว่า อาเลพ-ซีโร่ aleph-zero

0:04:40.945,0:04:43.042
เราใช้จำนวนนับกับหมายเลขห้อง

0:04:43.066,0:04:45.188
รวมถึงเลขเบาะที่นั่งบนรถทัวร์

0:04:45.913,0:04:48.252
หากเราจัดการกับ[br]ความเป็นอนันต์ระดับสูงกว่านี้

0:04:48.276,0:04:49.848
อย่างกรณีของจำนวนจริง

0:04:49.872,0:04:52.844
กลยุทธ์ดังกล่าวก็จะใช้ไม่ได้

0:04:52.868,0:04:56.405
เพราะไม่มีวิธีที่เป็นระบบระเบียบ[br]ที่จะนับเลขให้ครอบคลุมทุกตัว

0:04:57.002,0:04:58.803
โรงแรมอนันต์เลขจำนวนจริง

0:04:58.827,0:05:00.905
มีห้องเลขติดลบ อยู่ชั้นใต้ดิน

0:05:00.929,0:05:02.364
ห้องเลขเศษส่วน

0:05:02.388,0:05:04.484
คนที่อยู่ห้อง 1/2 จึงเฝ้าสงสัยว่า

0:05:04.508,0:05:07.181
ได้ห้องเล็กกว่าคนที่ห้องหมายเลข 1 รึเปล่า

0:05:07.205,0:05:10.308
ห้องเลขรากที่สอง เช่น ห้องรูทสอง

0:05:10.332,0:05:11.438
และห้องค่าพาย

0:05:11.462,0:05:14.325
ซึ่งผู้เข้าพักหวังจะได้ของหวานฟรี

0:05:14.349,0:05:17.374
จะมีผู้จัดการที่เชื่อมั่นในตัวเองคนไหน[br]อยากจะมาทำงานให้

0:05:17.398,0:05:19.005
ต่อให้เงินเดือนเป็นอนันต์ก็ตามที

0:05:19.029,0:05:20.918
แต่จากโรงแรมอนันต์ของฮิลเบิร์ต

0:05:20.942,0:05:22.420
ซึ่งไม่เคยมีห้องว่าง

0:05:22.444,0:05:24.004
และมีห้องให้ผู้มาใหม่ได้เสมอ

0:05:24.028,0:05:26.926
สถานการณ์ที่ผู้จัดการคนขยัน

0:05:26.950,0:05:28.760
แถมดูจะชอบต้อนรับแขกเกินไปสักหน่อย

0:05:28.784,0:05:31.490
เป็นสิ่งที่เตือนให้เรารู้ว่า ยากแค่ไหน

0:05:31.514,0:05:33.905
ที่กรอบความคิดที่ค่อนข้างจำกัดของเรา

0:05:33.929,0:05:36.767
จะเข้าใจแนวคิดอันมโหฬารอย่างค่าอนันต์ได้

0:05:37.132,0:05:39.083
ไม่แน่คุณอาจช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

0:05:39.107,0:05:40.403
หลังจากหลับเติมอิ่มสักคืน

0:05:40.427,0:05:42.276
แต่พูดตรง ๆ เราอาจจะต้องให้คุณ

0:05:42.300,0:05:44.701
ย้ายห้องตอนตีสองก็เป็นได้