WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.691
В 1920-е годы

00:00:07.715 --> 00:00:10.184
немецкий математик Дэвид Гильберт

00:00:10.208 --> 00:00:12.437
придумал известный мысленный эксперимент,

00:00:12.461 --> 00:00:13.561
чтобы показать,

00:00:13.595 --> 00:00:17.665
как сложно осознать
концепцию бесконечности.

00:00:18.353 --> 00:00:21.659
Представьте отель
с бесконечным количеством комнат

00:00:21.683 --> 00:00:23.988
и очень трудолюбивым ночным менеджером.

00:00:24.528 --> 00:00:27.523
Как-то ночью Бесконечный отель
оказался полностью заполнен —

00:00:27.547 --> 00:00:31.003
всё было занято
бесконечным количеством гостей.

00:00:31.027 --> 00:00:34.161
В отель входит мужчина и просит комнату.

00:00:34.185 --> 00:00:35.444
Вместо отказа

00:00:35.468 --> 00:00:37.907
ночной менеджер решает
освободить для него комнату.

00:00:37.931 --> 00:00:38.947
Как?

00:00:38.971 --> 00:00:41.635
Просто. Он просит гостя из комнаты №1

00:00:41.659 --> 00:00:43.711
переместиться в комнату №2,

00:00:43.735 --> 00:00:46.056
гостя из комнаты №2 — в комнату №3

00:00:46.080 --> 00:00:47.138
и так далее.

00:00:47.449 --> 00:00:49.838
Каждый гость переезжает из комнаты n

00:00:49.862 --> 00:00:52.179
в комнату n+1.

00:00:52.721 --> 00:00:54.812
Поскольку количество комнат бесконечно,

00:00:54.836 --> 00:00:57.009
для каждого постояльца
найдётся новая комната.

00:00:57.413 --> 00:00:59.760
А первая комната
освободится для нового клиента.

00:00:59.784 --> 00:01:01.070
Действия могут повторяться

00:01:01.094 --> 00:01:03.511
для любого конечного числа новых гостей.

00:01:03.535 --> 00:01:07.529
Если, скажем, туристический автобус
привезёт 40 человек для размещения,

00:01:07.553 --> 00:01:09.642
тогда каждый постоялец просто переедет

00:01:09.666 --> 00:01:10.980
из комнаты n

00:01:11.004 --> 00:01:13.638
в комнату n+40,

00:01:13.662 --> 00:01:16.200
таким образом освобождая первые 40 комнат.

00:01:17.157 --> 00:01:19.171
Теперь приезжает
бесконечно большой автобус

00:01:19.195 --> 00:01:21.744
со счётным бесконечным
количеством пассажиров,

00:01:21.768 --> 00:01:23.673
желающих снять комнаты.

00:01:23.697 --> 00:01:25.806
«Счётное бесконечное» — ключевое понятие.

00:01:26.164 --> 00:01:28.530
Автобус с бесконечным
количеством пассажиров

00:01:28.554 --> 00:01:30.518
сначала сбивает с толку менеджера,

00:01:30.542 --> 00:01:33.350
но он находит способ
разместить новых гостей.

00:01:33.373 --> 00:01:36.391
Он просит гостя из комнаты № 1
перейти во комнату № 2.

00:01:36.415 --> 00:01:38.527
Потом он просит гостя из комнаты № 2

00:01:38.551 --> 00:01:40.435
переместиться в комнату № 4,

00:01:40.459 --> 00:01:42.809
гостя из комнаты № 3 — в комнату № 6

00:01:42.833 --> 00:01:44.105
и так далее.

00:01:44.129 --> 00:01:47.313
Каждый постоялец переезжает из комнаты n

00:01:47.337 --> 00:01:49.029
в комнату 2n,

00:01:50.807 --> 00:01:54.060
заполняя только бесконечное количество
чётных комнат.

00:01:54.084 --> 00:01:57.819
Таким образом он освободил
бесконечное количество

00:01:57.833 --> 00:01:58.867
нечётных номеров,

00:01:58.891 --> 00:02:02.506
которые потом занимают пассажиры
бесконечного автобуса.

00:02:03.242 --> 00:02:06.875
Все счастливы и гостиничный бизнес
процветает лучше, чем когда-либо.

00:02:06.899 --> 00:02:10.416
Вообще, он процветает так же,
как и всегда,

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
принося бесконечное количество
долларов за ночь.

00:02:14.076 --> 00:02:16.355
О потрясающем отеле разносятся слухи.

00:02:16.379 --> 00:02:18.544
Люди съезжаются отовсюду.

00:02:18.568 --> 00:02:20.842
Как-то ночью происходит невообразимое.

00:02:20.866 --> 00:02:23.407
Ночной менеджер смотрит на улицу

00:02:23.431 --> 00:02:27.517
и видит нескончаемую череду
бесконечно больших автобусов

00:02:27.541 --> 00:02:30.329
со счётным бесконечным
количеством пассажиров.

00:02:30.353 --> 00:02:31.386
Что же ему делать?

00:02:31.410 --> 00:02:34.207
Если он не найдёт для них комнат,

00:02:34.231 --> 00:02:35.958
отель понесёт бесконечные убытки,

00:02:35.982 --> 00:02:37.955
и он точно лишится работы.

00:02:37.979 --> 00:02:41.790
К счастью, он вспоминает,
что примерно в 300 году до нашей эры

00:02:41.814 --> 00:02:44.726
Евклид доказал существование
бесконечного количества

00:02:44.750 --> 00:02:46.634
простых чисел.

00:02:47.372 --> 00:02:49.660
Чтобы выполнить,
казалось бы, невозможное —

00:02:49.684 --> 00:02:52.285
найти бесконечные кровати
для бесконечных автобусов

00:02:52.309 --> 00:02:54.291
с бесконечно усталыми путешественниками —

00:02:54.315 --> 00:02:57.182
ночной менеджер определяет
каждого постояльца в комнату

00:02:57.206 --> 00:02:59.042
с номером первого простого числа — 2,

00:02:59.066 --> 00:03:01.867
возведённым в степень,
равную номеру их настоящей комнаты.

00:03:01.891 --> 00:03:04.535
Так, постоялец из седьмой комнаты

00:03:04.559 --> 00:03:07.541
переходит в комнату 2^7,

00:03:07.565 --> 00:03:09.261
то есть в комнату № 128.

00:03:10.236 --> 00:03:13.757
Ночной менеджер определяет пассажиров
первого бесконечного автобуса

00:03:13.781 --> 00:03:15.806
в комнату с номером

00:03:15.830 --> 00:03:18.291
следующего простого числа — 3,

00:03:18.315 --> 00:03:21.728
возведённым в степень,
равную номеру их автобусного места.

00:03:21.752 --> 00:03:25.259
Так, человек на месте с номером 7
в первом автобусе

00:03:25.283 --> 00:03:28.360
перейдёт в комнату с номером 3^7,

00:03:28.384 --> 00:03:31.610
то есть в комнату № 2 187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.069
Так происходит со всеми в первом автобусе.

00:03:34.093 --> 00:03:35.741
Пассажиры второго автобуса

00:03:35.765 --> 00:03:39.410
определяются в комнаты со степенями
следующего простого числа — 5.

00:03:39.434 --> 00:03:41.493
Следующий автобус — со степенями 7.

00:03:41.517 --> 00:03:42.921
Каждый следующий автобус —

00:03:42.945 --> 00:03:44.746
со степенями 11, степенями 13,

00:03:44.770 --> 00:03:46.799
степенями 17 и так далее.

00:03:47.370 --> 00:03:48.729
Так как в каждом таком числе

00:03:48.753 --> 00:03:52.078
только единица и степень
с натуральным показателем простого числа

00:03:52.092 --> 00:03:53.213
могут быть множителями,

00:03:53.237 --> 00:03:55.386
то номерá комнат не совпадают.

00:03:55.410 --> 00:03:58.339
Все пассажиры автобусов
распределяются по комнатам

00:03:58.363 --> 00:04:00.846
с помощью уникальной схемы
определения комнат,

00:04:00.870 --> 00:04:03.486
основанной на уникальных простых числах.

00:04:03.510 --> 00:04:05.701
Так ночной менеджер может расселить

00:04:05.725 --> 00:04:07.846
каждого пассажира из каждого автобуса.

00:04:07.870 --> 00:04:11.064
Хотя останется множество незанятых комнат,

00:04:11.088 --> 00:04:12.356
таких как шестой номер,

00:04:12.380 --> 00:04:15.095
поскольку 6 не является
степенью простого числа.

00:04:15.119 --> 00:04:17.512
К счастью,
начальники не так хороши в математике,

00:04:17.536 --> 00:04:19.315
поэтому его должность в безопасности.

00:04:19.507 --> 00:04:22.007
Схемы ночного менеджера
возможны только потому,

00:04:22.031 --> 00:04:26.624
что хотя Бесконечный отель похож
на логистический кошмар,

00:04:26.648 --> 00:04:29.957
он сталкивается
с наименьшим уровнем бесконечности,

00:04:29.981 --> 00:04:33.513
главным образом со счётным бесконечным
множеством натуральных чисел —

00:04:33.537 --> 00:04:36.594
1, 2, 3, 4 и так далее.

00:04:36.618 --> 00:04:40.513
Георг Кантор назвал
этот уровень бесконечности алеф-нуль.

00:04:40.945 --> 00:04:43.042
Мы используем натуральные числа для комнат

00:04:43.066 --> 00:04:45.188
и для номеров мест в автобусах.

00:04:45.913 --> 00:04:48.252
Используя высшие порядки бесконечности,

00:04:48.276 --> 00:04:49.848
такие как действительные числа,

00:04:49.872 --> 00:04:52.844
эти упорядоченные схемы
были бы невозможны,

00:04:52.868 --> 00:04:56.405
потому что нельзя было бы
всегда включать каждое число.

00:04:57.002 --> 00:05:00.913
Бесконечный отель действительных чисел
имеет «отрицательные» комнаты в подвале,

00:05:00.929 --> 00:05:02.364
дробные комнаты,

00:05:02.388 --> 00:05:04.484
поэтому мужчина в комнате № 1/2
подозревает,

00:05:04.508 --> 00:05:07.181
что него комната меньше,
чем у гостя в комнате № 1.

00:05:07.205 --> 00:05:10.308
Комнаты квадратного корня,
например, комната корня из двух,

00:05:10.332 --> 00:05:11.438
и комната Пи,


00:05:11.462 --> 00:05:14.325
где гости ожидают бесплатный пирог.

00:05:14.349 --> 00:05:17.404
Какой уважающий себя ночной менеджер
вообще захочет там работать,

00:05:17.404 --> 00:05:19.005
даже за бесконечную зарплату?

00:05:19.029 --> 00:05:20.918
Но в Бесконечном отеле Гильберта,

00:05:20.942 --> 00:05:22.440
где никогда нет свободных мест,

00:05:22.440 --> 00:05:24.004
но всегда есть ещё одно —

00:05:24.028 --> 00:05:25.066
ситуации,

00:05:25.070 --> 00:05:28.760
с которыми сталкивается добросовестный
и, возможно, слишком радушный менеджер,

00:05:28.784 --> 00:05:30.020
напоминают нам,

00:05:30.034 --> 00:05:33.905
как сложно нашим
относительно ограниченным умам

00:05:33.929 --> 00:05:36.767
осознать такое огромное понятие,
как бесконечность.

00:05:37.132 --> 00:05:39.083
Может, вы поможете решить эти проблемы

00:05:39.107 --> 00:05:40.403
после хорошего ночного сна.

00:05:40.427 --> 00:05:42.286
Но, если честно, нам может понадобиться

00:05:42.306 --> 00:05:44.701
поменять комнаты в 2 часа ночи.