В 1920-е годы
немецкий математик Дэвид Гильберт
придумал известный мысленный эксперимент,
чтобы показать,
как сложно осознать концепцию бесконечности.
Представьте отель с бесконечным количеством комнат
и очень трудолюбивым ночным менеджером.
Как-то ночью Бесконечный отель оказался полностью заполнен —
всё было занято бесконечным количеством гостей.
В отель входит мужчина и просит комнату.
Вместо отказа
ночной менеджер решает освободить для него комнату.
Как?
Просто. Он просит гостя из комнаты №1
переместиться в комнату №2,
гостя из комнаты №2 — в комнату №3
и так далее.
Каждый гость переезжает из комнаты n
в комнату n+1.
Поскольку количество комнат бесконечно,
для каждого постояльца найдётся новая комната.
А первая комната освободится для нового клиента.
Действия могут повторяться
для любого конечного числа новых гостей.
Если, скажем, туристический автобус привезёт 40 человек для размещения,
тогда каждый постоялец просто переедет
из комнаты n
в комнату n+40,
таким образом освобождая первые 40 комнат.
Теперь приезжает бесконечно большой автобус
со счётным бесконечным количеством пассажиров,
желающих снять комнаты.
«Счётное бесконечное» — ключевое понятие.
Автобус с бесконечным количеством пассажиров
сначала сбивает с толку менеджера,
но он находит способ разместить новых гостей.
Он просит гостя из комнаты № 1 перейти во комнату № 2.
Потом он просит гостя из комнаты № 2
переместиться в комнату № 4,
гостя из комнаты № 3 — в комнату № 6
и так далее.
Каждый постоялец переезжает из комнаты n
в комнату 2n,
заполняя только бесконечное количество чётных комнат.
Таким образом он освободил бесконечное количество
нечётных номеров,
которые потом занимают пассажиры бесконечного автобуса.
Все счастливы и гостиничный бизнес процветает лучше, чем когда-либо.
Вообще, он процветает так же, как и всегда,
принося бесконечное количество долларов за ночь.
О потрясающем отеле разносятся слухи.
Люди съезжаются отовсюду.
Как-то ночью происходит невообразимое.
Ночной менеджер смотрит на улицу
и видит нескончаемую череду бесконечно больших автобусов
со счётным бесконечным количеством пассажиров.
Что же ему делать?
Если он не найдёт для них комнат,
отель понесёт бесконечные убытки,
и он точно лишится работы.
К счастью, он вспоминает, что примерно в 300 году до нашей эры
Евклид доказал существование бесконечного количества
простых чисел.
Чтобы выполнить, казалось бы, невозможное —
найти бесконечные кровати для бесконечных автобусов
с бесконечно усталыми путешественниками —
ночной менеджер определяет каждого постояльца в комнату
с номером первого простого числа — 2,
возведённым в степень, равную номеру их настоящей комнаты.
Так, постоялец из седьмой комнаты
переходит в комнату 2^7,
то есть в комнату № 128.
Ночной менеджер определяет пассажиров первого бесконечного автобуса
в комнату с номером
следующего простого числа — 3,
возведённым в степень, равную номеру их автобусного места.
Так, человек на месте с номером 7 в первом автобусе
перейдёт в комнату с номером 3^7,
то есть в комнату № 2 187.
Так происходит со всеми в первом автобусе.
Пассажиры второго автобуса
определяются в комнаты со степенями следующего простого числа — 5.
Следующий автобус — со степенями 7.
Каждый следующий автобус —
со степенями 11, степенями 13,
степенями 17 и так далее.
Так как в каждом таком числе
только единица и степень с натуральным показателем простого числа
могут быть множителями,
то номерá комнат не совпадают.
Все пассажиры автобусов распределяются по комнатам
с помощью уникальной схемы определения комнат,
основанной на уникальных простых числах.
Так ночной менеджер может расселить
каждого пассажира из каждого автобуса.
Хотя останется множество незанятых комнат,
таких как шестой номер,
поскольку 6 не является степенью простого числа.
К счастью, начальники не так хороши в математике,
поэтому его должность в безопасности.
Схемы ночного менеджера возможны только потому,
что хотя Бесконечный отель похож на логистический кошмар,
он сталкивается с наименьшим уровнем бесконечности,
главным образом со счётным бесконечным множеством натуральных чисел —
1, 2, 3, 4 и так далее.
Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности алеф-нуль.
Мы используем натуральные числа для комнат
и для номеров мест в автобусах.
Используя высшие порядки бесконечности,
такие как действительные числа,
эти упорядоченные схемы были бы невозможны,
потому что нельзя было бы всегда включать каждое число.
Бесконечный отель действительных чисел имеет «отрицательные» комнаты в подвале,
дробные комнаты,
поэтому мужчина в комнате № 1/2 подозревает,
что него комната меньше, чем у гостя в комнате № 1.
Комнаты квадратного корня, например, комната корня из двух,
и комната Пи,
где гости ожидают бесплатный пирог.
Какой уважающий себя ночной менеджер вообще захочет там работать,
даже за бесконечную зарплату?
Но в Бесконечном отеле Гильберта,
где никогда нет свободных мест,
но всегда есть ещё одно —
ситуации,
с которыми сталкивается добросовестный и, возможно, слишком радушный менеджер,
напоминают нам,
как сложно нашим относительно ограниченным умам
осознать такое огромное понятие, как бесконечность.
Может, вы поможете решить эти проблемы
после хорошего ночного сна.
Но, если честно, нам может понадобиться
поменять комнаты в 2 часа ночи.