W latach 20. XX wieku
niemiecki matematyk, David Hilbert,
opracował słynny eksperyment myślowy,
w którym pokazał, jak trudno jest
ogarnąć rozumem nieskończoność.
Wyobraźcie sobie hotel z nieskończoną liczbą pokoi
oraz bardzo pracowitego kierownika nocnej zmiany.
Pewnej nocy wszystkie pokoje nieskończonego hotelu są zajęte
przez nieskończoną liczbę gości.
Do hotelu wchodzi człowiek,
pytając o wolny pokój.
Zamiast mu odmówić,
kierownik postanawia znaleźć dla niego miejsce.
Jak?
To proste: prosi gościa z pokoju numer 1,
żeby przeniósł się do pokoju numer 2,
gościa z dwójki przenosi do trójki
i tak dalej.
Każdy gość przenosi się z pokoju o numerze "n"
do pokoju o numerze "n+1".
Ponieważ liczba pokoi jest nieskończona,
dla każdego gościa znajdzie się miejsce.
W ten sposób pokój numer 1 będzie wolny dla nowego gościa.
Proces można powtórzyć
dla dowolnej, skończonej liczby gości.
Jeżeli z autobusu wysiądzie
40 osób szukających wolnego pokoju,
wtedy każdy zameldowany gość
przeniesie się z pokoju "n"
do pokoju "n+40",
zwalniając w ten sposób pierwsze 40 pokoi.
Następnie pod hotel podjeżdża
nieskończenie długi autobus
z przeliczalnie nieskończoną liczbą pasażerów.
Przeliczalna nieskończoność jest tu ważna.
Nieskończony autobus z nieskończoną ilością pasażerów
początkowo zaskakuje menedżera,
ale szybko znajduje on sposób
na pomieszczenie nowych gości.
Gościa z pokoju 1
przenosi do pokoju 2,
gościa z pokoju 2,
do pokoju 4,
a tego z pokoju 3,
do pokoju 6,
i tak dalej.
Każdy zameldowany gość przenosi się z pokoju "n"
do pokoju "2n",
zapełniając tylko parzyste numery pokoi.
W ten sposób kierownik opróżnił nieskończenie wiele pokoi
o numerach nieparzystych,
które teraz może przydzielić gościom
wysypującym się z nieskończenie długiego autobusu.
Wszyscy są zadowoleni, a biznes kręci się w najlepsze.
W zasadzie kręci się tak samo jak zwykle,
przynosząc co noc nieskończony dochód.
Hotel staje się sławny.
Zewsząd zjeżdżają się goście.
Pewnej nocy wydarza się coś niewyobrażalnego.
Kierownik wygląda przez okno
i widzi nieskończenie długą kolejkę
nieskończenie długich autobusów,
z nieskończenie dużą liczbą pasażerów.
Co ma zrobić?
Jeśli nie znajdzie dla nich pokoi,
hotel straci
nieskończenie wiele pieniędzy,
a on może stracić pracę.
Kierownik pamięta jednak,
że około 300 roku p.n.e.
Euklides udowodnił istnienie
nieskończonej ilości liczb pierwszych.
Żeby znaleźć nieskończoną liczbę łóżek
dla nieskończonej liczby
zmęczonych pasażerów wszystkich autobusów,
kierownik przenosi każdego obecnego gościa do pokoju o numerze
2 do potęgi równej numerowi ich obecnego pokoju.
Obecny mieszkaniec pokoju 7
przeniesie się do pokoju 2^7,
czyli 128.
Następnie kierownik zaprasza gości
z pierwszego autobusu
i przydziela im pokoje o numerze
równym kolejnej liczbie pierwszej,
3 do potęgi równej numerowi ich fotela w autobusie.
Osoba z fotela 7
zamieszka w pokoju 3^7,
czyli 2187.
W ten sposób rozmieszcza wszystkich pasażerów pierwszego autobusu.
Ci z drugiego autobusu zajmą pokoje
oznaczone potęgami kolejnej liczby pierwszej, 5.
Pasażerowie następnego - liczby 7,
a kolejnych autobusów
liczby 11, liczby 13,
liczby 17 i tak dalej
Ponieważ potęgowane są liczby
o takiej samej podstawie potęgi,
a wykładnikami są kolejne liczby naturalne,
numery pokoi się nie powtarzają.
Pasażerowie autobusów zajmują pokoje
przydzielone według unikatowego schematu
opartego na niepowtarzalnych liczbach pierwszych.
W ten sposób kierownik może pomieścić
pasażerów wszystkich autobusów.
Wiele pokoi pozostanie pustych,
na przykład pokój 6,
ponieważ 6 nie jest potęgą żadnej liczby pierwszej.
Na szczęście szefowie kierownika są słabi z matematyki,
więc jego posada jest bezpieczna.
Strategię kierownika można zastosować tylko dlatego,
że Nieskończony Hotel,
choć trudny w zarządzaniu,
opiera się jedynie na najprostszym rodzaju nieskończoności,
czyli nieskończoności policzalnej
liczb naturalnych
1, 2, 3, 4, i tak dalej.
Georg Cantor nazwał ten poziom nieskończoności alef-zero.
Do oznaczenia numerów pokoi oraz siedzeń w autobusie
używamy liczb naturalnych.
Gdybyśmy mieli do czynienia z nieskończonością wyższego rzędu,
na przykład związaną z liczbami rzeczywistymi,
taka strategia na nic by się nie zdała,
bo nie da się uwzględnić wszystkich liczb.
Nieskończony Hotel Liczb Rzeczywistych
ma w piwnicy pokoje o numeracji ujemnej,
a także ułamkowej,
więc mieszkaniec pokoju 1/2 podejrzewa,
że ma mniej miejsca niż mieszkaniec pokoju 1.
Są pokoje pierwiastków kwadratowych, jak pierwiastek z 2
oraz pokój o numerze Pi,
którego mieszkańcy dostają darmowy deser.
Jaki szanujący się kierownik
chciałby tam pracować,
nawet za nieskończenie wysoką pensję?
Ale w Nieskończonym Hotelu Hilberta,
gdzie nigdy nie ma wolnych pokoi
lecz zawsze znajdzie się miejsce dla gości,
sytuacje, którym musi sprostać
nasz pracowity i zbyt gościnny kierownik,
przypominają o tym,
jak ciężko jest objąć
naszym skończonym umysłem
tak rozległą koncepcję, jaką jest nieskończoność.
Może łatwiej będzie ci to ogarnąć,
kiedy porządnie się wyśpisz.
Ale uważaj - być może będziesz musiał
zmienić pokój o 2 nad ranem.