1
00:00:06,289 --> 00:00:08,016
W latach 20. XX wieku

2
00:00:08,016 --> 00:00:10,198
niemiecki matematyk, David Hilbert,

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
opracował słynny eksperyment myślowy,

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
w którym pokazał, jak trudno jest

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
ogarnąć rozumem nieskończoność.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Wyobraźcie sobie hotel
z nieskończoną liczbą pokoi

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
oraz bardzo pracowitego 
kierownika nocnej zmiany.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Pewnej nocy wszystkie pokoje 
nieskończonego hotelu są zajęte

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
przez nieskończoną liczbę gości.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,419
Do hotelu wchodzi człowiek,

11
00:00:32,419 --> 00:00:33,934
pytając o wolny pokój.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
Zamiast mu odmówić,

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
kierownik postanawia 
znaleźć dla niego miejsce.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
Jak?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
To proste: prosi gościa z pokoju numer 1,

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,655
żeby przeniósł się do pokoju numer 2,

17
00:00:43,655 --> 00:00:46,080
gościa z dwójki przenosi do trójki

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
i tak dalej.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Każdy gość przenosi się 
z pokoju o numerze "n"

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
do pokoju o numerze "n+1".

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
Ponieważ liczba pokoi jest nieskończona,

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
dla każdego gościa znajdzie się miejsce.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,804
W ten sposób pokój numer 1 
będzie wolny dla nowego gościa.

24
00:00:59,804 --> 00:01:01,029
Proces można powtórzyć

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
dla dowolnej, skończonej liczby gości.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,389
Jeżeli z autobusu wysiądzie

27
00:01:05,389 --> 00:01:07,553
40 osób szukających wolnego pokoju,

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
wtedy każdy zameldowany gość

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
przeniesie się z pokoju "n"

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
do pokoju "n+40",

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
zwalniając w ten sposób pierwsze 40 pokoi.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Następnie pod hotel podjeżdża

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
nieskończenie długi autobus

34
00:01:21,768 --> 00:01:24,007
z przeliczalnie nieskończoną 
liczbą pasażerów.

35
00:01:24,007 --> 00:01:26,050
Przeliczalna nieskończoność jest tu ważna.

36
00:01:26,050 --> 00:01:28,525
Nieskończony autobus
z nieskończoną ilością pasażerów

37
00:01:28,525 --> 00:01:30,542
początkowo zaskakuje menedżera,

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
ale szybko znajduje on sposób

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,473
na pomieszczenie nowych gości.

40
00:01:33,473 --> 00:01:34,994
Gościa z pokoju 1

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
przenosi do pokoju 2,

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
gościa z pokoju 2,

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
do pokoju 4,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
a tego z pokoju 3,

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
do pokoju 6,

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
i tak dalej.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Każdy zameldowany gość
przenosi się z pokoju "n"

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,363
do pokoju "2n",

49
00:01:50,363 --> 00:01:53,004
zapełniając tylko parzyste numery pokoi.

50
00:01:53,014 --> 00:01:55,953
W ten sposób kierownik opróżnił 
nieskończenie wiele pokoi

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,531
o numerach nieparzystych,

52
00:01:58,531 --> 00:02:00,309
które teraz może przydzielić gościom

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
wysypującym się 
z nieskończenie długiego autobusu.

54
00:02:02,828 --> 00:02:06,921
Wszyscy są zadowoleni, 
a biznes kręci się w najlepsze.

55
00:02:06,921 --> 00:02:10,453
W zasadzie kręci się tak samo jak zwykle,

56
00:02:10,453 --> 00:02:13,123
przynosząc co noc nieskończony dochód.

57
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
Hotel staje się sławny.

58
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
Zewsząd zjeżdżają się goście.

59
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
Pewnej nocy wydarza się 
coś niewyobrażalnego.

60
00:02:20,866 --> 00:02:23,211
Kierownik wygląda przez okno

61
00:02:23,211 --> 00:02:25,061
i widzi nieskończenie długą kolejkę

62
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
nieskończenie długich autobusów,

63
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
z nieskończenie dużą liczbą pasażerów.

64
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
Co ma zrobić?

65
00:02:31,410 --> 00:02:33,273
Jeśli nie znajdzie dla nich pokoi,

66
00:02:33,273 --> 00:02:34,231
hotel straci

67
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
nieskończenie wiele pieniędzy,

68
00:02:35,982 --> 00:02:37,879
a on może stracić pracę.

69
00:02:37,879 --> 00:02:39,363
Kierownik pamięta jednak,

70
00:02:39,363 --> 00:02:41,814
że około 300 roku p.n.e.

71
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
Euklides udowodnił istnienie

72
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
nieskończonej ilości liczb pierwszych.

73
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
Żeby znaleźć nieskończoną liczbę łóżek

74
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
dla nieskończonej liczby

75
00:02:51,005 --> 00:02:54,319
zmęczonych pasażerów wszystkich autobusów,

76
00:02:54,319 --> 00:02:58,967
kierownik przenosi każdego
obecnego gościa do pokoju o numerze

77
00:02:58,967 --> 00:03:01,916
2 do potęgi równej numerowi 
ich obecnego pokoju.

78
00:03:01,916 --> 00:03:04,559
Obecny mieszkaniec pokoju 7

79
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
przeniesie się do pokoju 2^7,

80
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
czyli 128.

81
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
Następnie kierownik zaprasza gości

82
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
z pierwszego autobusu

83
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
i przydziela im pokoje o numerze

84
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
równym kolejnej liczbie pierwszej,

85
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
3 do potęgi równej numerowi
ich fotela w autobusie.

86
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
Osoba z fotela 7

87
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
zamieszka w pokoju 3^7,

88
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
czyli 2187.

89
00:03:31,634 --> 00:03:34,783
W ten sposób rozmieszcza wszystkich 
pasażerów pierwszego autobusu.

90
00:03:34,783 --> 00:03:36,555
Ci z drugiego autobusu zajmą pokoje

91
00:03:36,555 --> 00:03:39,434
oznaczone potęgami 
kolejnej liczby pierwszej, 5.

92
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
Pasażerowie następnego - liczby 7,

93
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
a kolejnych autobusów 


94
00:03:42,945 --> 00:03:44,777
liczby 11, liczby 13,

95
00:03:44,777 --> 00:03:47,190
liczby 17 i tak dalej

96
00:03:47,190 --> 00:03:48,738
Ponieważ potęgowane są liczby

97
00:03:48,738 --> 00:03:50,992
o takiej samej podstawie potęgi,

98
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
a wykładnikami są 
kolejne liczby naturalne,

99
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
numery pokoi się nie powtarzają.

100
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
Pasażerowie autobusów zajmują pokoje

101
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
przydzielone według unikatowego schematu

102
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
opartego na niepowtarzalnych 
liczbach pierwszych.

103
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
W ten sposób kierownik może pomieścić

104
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
pasażerów wszystkich autobusów.

105
00:04:07,870 --> 00:04:10,506
Wiele pokoi pozostanie pustych,

106
00:04:10,506 --> 00:04:11,897
na przykład pokój 6,

107
00:04:11,897 --> 00:04:14,829
ponieważ 6 nie jest potęgą 
żadnej liczby pierwszej.

108
00:04:14,829 --> 00:04:17,537
Na szczęście szefowie kierownika 
są słabi z matematyki,

109
00:04:17,537 --> 00:04:19,448
więc jego posada jest bezpieczna.

110
00:04:19,448 --> 00:04:22,451
Strategię kierownika 
można zastosować tylko dlatego,

111
00:04:22,451 --> 00:04:23,983
że Nieskończony Hotel,

112
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
choć trudny w zarządzaniu,

113
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
opiera się jedynie na najprostszym 
rodzaju nieskończoności,

114
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
czyli nieskończoności policzalnej

115
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
liczb naturalnych

116
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1, 2, 3, 4, i tak dalej.

117
00:04:36,618 --> 00:04:41,007
Georg Cantor nazwał 
ten poziom nieskończoności alef-zero.

118
00:04:41,007 --> 00:04:43,575
Do oznaczenia numerów pokoi 
oraz siedzeń w autobusie

119
00:04:43,575 --> 00:04:45,543
używamy liczb naturalnych.

120
00:04:45,543 --> 00:04:48,546
Gdybyśmy mieli do czynienia 
z nieskończonością wyższego rzędu,

121
00:04:48,546 --> 00:04:50,777
na przykład związaną 
z liczbami rzeczywistymi,

122
00:04:50,777 --> 00:04:53,277
taka strategia na nic by się nie zdała,

123
00:04:53,277 --> 00:04:56,800
bo nie da się uwzględnić wszystkich liczb.

124
00:04:56,800 --> 00:04:58,692
Nieskończony Hotel Liczb Rzeczywistych

125
00:04:58,692 --> 00:05:00,929
ma w piwnicy pokoje o numeracji ujemnej,

126
00:05:00,929 --> 00:05:02,148
a także ułamkowej,

127
00:05:02,148 --> 00:05:04,508
więc mieszkaniec pokoju 1/2 podejrzewa,

128
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
że ma mniej miejsca 
niż mieszkaniec pokoju 1.

129
00:05:07,205 --> 00:05:10,432
Są pokoje pierwiastków kwadratowych,
jak pierwiastek z 2

130
00:05:10,432 --> 00:05:11,692
oraz pokój o numerze Pi,

131
00:05:11,692 --> 00:05:14,349
którego mieszkańcy dostają darmowy deser.

132
00:05:14,349 --> 00:05:16,079
Jaki szanujący się kierownik

133
00:05:16,079 --> 00:05:17,412
chciałby tam pracować,

134
00:05:17,412 --> 00:05:19,320
nawet za nieskończenie wysoką pensję?

135
00:05:19,320 --> 00:05:21,087
Ale w Nieskończonym Hotelu Hilberta,

136
00:05:21,087 --> 00:05:22,651
gdzie nigdy nie ma wolnych pokoi

137
00:05:22,651 --> 00:05:24,761
lecz zawsze znajdzie się 
miejsce dla gości,

138
00:05:24,761 --> 00:05:26,700
sytuacje, którym musi sprostać

139
00:05:26,700 --> 00:05:28,720
nasz pracowity i zbyt gościnny kierownik,

140
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
przypominają o tym,

141
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
jak ciężko jest objąć

142
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
naszym skończonym umysłem

143
00:05:33,320 --> 00:05:37,132
tak rozległą koncepcję, 
jaką jest nieskończoność.

144
00:05:37,132 --> 00:05:38,915
Może łatwiej będzie ci to ogarnąć,

145
00:05:38,915 --> 00:05:40,327
kiedy porządnie się wyśpisz.

146
00:05:40,327 --> 00:05:42,920
Ale uważaj - być może będziesz musiał

147
00:05:42,920 --> 00:05:45,001
zmienić pokój o 2 nad ranem.