WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
Tijdens de jaren twintig

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
een beroemd gedachte-experiment

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
om ons te laten zien hoe moeilijk het is

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
om grip te krijgen 
op het concept van oneindigheid.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
Stel je een hotel voor 
met een oneindig aantal kamers

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
en een hardwerkende nachtportier.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
Op een nacht is het Oneindige Hotel 
helemaal vol,

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
geheel volgeboekt 
door een oneindig aantal gasten.

00:00:31.110 --> 00:00:32.419
Een man loopt het hotel in

00:00:32.419 --> 00:00:33.934
en vraagt naar een kamer.

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
In plaats van de man weg te sturen,

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
besluit de nachtportier 
plek voor hem te maken.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
Hoe?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
Makkelijk. 
Hij vraagt de gast in kamer 1

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
te verhuizen naar kamer 2,

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
de gast in kamer 2 
te verhuizen naar kamer 3,

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
enzovoort.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
Elke gast verhuist van kamer 'n'

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
naar kamer 'n+1'.

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
Aangezien er een oneindig aantal kamers is,

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
is er een nieuwe kamer 
voor elke bestaande gast.

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
Zo is er in kamer 1 
ruimte voor de nieuwe gast.

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
Dit proces kan herhaald worden

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
voor elk eindig aantal nieuwe gasten.

00:01:03.535 --> 00:01:05.389
Stel dat een tourbus aan komt rijden

00:01:05.389 --> 00:01:07.553
met 40 nieuwe mensen 
die een kamer zoeken,

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
dan kan elke bestaande gast

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
van kamer 'n'

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
naar kamer 'n+40' verhuizen.

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
waardoor de eerste 40 kamers 
vrij worden gemaakt.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
Maar nu komt 
een oneindig grote bus aan

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
met een aftelbaar oneindig 
aantal passagiers

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
die kamers willen huren.

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
In eerste instantie 
staat de nachtportier perplex

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
van het oneindige aantal passagiers,

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
maar hij realiseert zich 
dat er een manier is

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
elke gast een kamer te geven.

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
Hij vraagt de gast in kamer 1

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
naar kamer 2 te verhuizen.

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
Daarna vraagt hij de gast in kamer 2

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
naar kamer 4 te verhuizen,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
de gast in kamer 3

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
te verhuizen naar kamer 6,

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
enzovoort.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
Elke huidige gast verhuist van kamer 'n'

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
naar kamer '2n',

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
waardoor alleen de oneindig vele kamers 
met even nummers gevuld worden.

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
Zo maakt hij de oneindig vele kamers

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
met oneven nummers vrij,

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
waar vervolgens de mensen in kunnen

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
die uit de oneindige bus komen.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
Iedereen is blij en het hotel

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
heeft nog nooit zo goed zaken gedaan.

00:02:06.899 --> 00:02:08.403
Nou, eigenlijk staan de zaken

00:02:08.403 --> 00:02:10.440
er precies zo goed voor als altijd

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
met elke nacht oneindig veel 
dollars aan inkomsten.

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
Het nieuws van dit ongelooflijke hotel 
verspreidt zich snel.

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
Mensen komen vanuit alle windstreken.

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
Op een nacht gebeurt het ondenkbare.

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
De nachtportier kijkt naar buiten

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
en ziet een oneindige rij

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
van oneindig lange bussen,

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
elk met een telbaar oneindig aantal passagier.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
Wat kan hij doen?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
Als hij geen kamers voor ze kan vinden,

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
zal het hotel

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
een oneindige hoeveelheid geld mislopen,

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
en zal hij zeker ontslagen worden.

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
Gelukkig herinnert hij zich

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
dat rond het jaar 300 voor Christus

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
Euclides bewees dat er 
een oneindige hoeveelheid

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
priemgetallen bestaat.

00:02:47.215 --> 00:02:49.344
Voor deze schijnbaar onmogelijke taak

00:02:49.344 --> 00:02:51.005
om oneindig veel bedden te vinden

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
voor oneindig veel bussen

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
gevuld met oneindig veel 
vermoeide reizigers

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
wijst de nachtportier elke huidige gast

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
toe aan het eerste priemgetal, 2,

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
verheven tot de macht 
van hun huidige kamernummer.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
De huidige bewoner van kamer 7

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
gaat dus naar kamer 2^7,

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
namelijk kamer 128.

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
De nachtportier wijst dan alle mensen

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
in de eerste oneindige bus toe

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
aan de kamer met

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
het volgende priemgetal, 3,

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
verheven tot de macht 
van hun stoelnummer in de bus.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
De passagier van stoelnummer 7 
in de eerste bus

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
gaat dus naar kamer 3^7

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
oftewel kamer 2.187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
Dat gaat zo door voor alle passagiers 
in de eerste bus.

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
De passagiers in de tweede bus

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
verheffen het volgende priemgetal, 5, 
tot een bepaalde macht.

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
De volgende bus doet hetzelfde met 7.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
Elke bus volgt:

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
machten van 11,

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
machten van 13,

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
machten 17, etc.

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
aangezien al deze nummers

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
alleen 1 en de natuurlijke machten

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
van hun priemgetalbasis 
als factor hebben,

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
zijn er geen overlappende kamernummers.

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
Alle passagiers van alle bussen 
krijgen op deze manier

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
een kamer toegewezen

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
op basis van unieke priemgetallen.

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
Zo kan de nachtportier 
elke passagier in elke bus

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
van een kamer voorzien.

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
Wel zullen er nu veel lege kamers zijn,

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
zoals kamer 6

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
aangezien 6 geen 
macht van een priemgetal is.

00:04:15.119 --> 00:04:17.537
Gelukkig waren zijn bazen 
niet zo goed in wiskunde,

00:04:17.537 --> 00:04:19.178
dus is zijn baan veilig.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
De strategieën van de nachtportier 
zijn alleen mogelijk

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
omdat er in het Oneindige Hotel,

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
hoewel het een logistieke nachtmerrie is,

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
alleen sprake is van het laagste 
niveau van oneindigheid,

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
namelijk de aftelbare oneindigheid

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
van de natuurlijke getallen

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
1, 2, 3, 4, enzovoort.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
Georg Cantor noemde dit niveau 
van oneindigheid alef-nul.

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
Zowel de kamernummers

00:04:42.665 --> 00:04:45.607
als de stoelnummers in de bussen
zijn natuurlijke getallen.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
Bij een hogere orde van oneindigheid,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
zoals die van reële getallen,

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
zouden deze gestructureerde strategieën

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
niet mogelijk zijn

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
aangezien er geen manier is

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
om op systematische wijze 
elk getal mee te tellen.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
Het Oneindige Hotel 
van de Reële Getallen

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
heeft kamers met negatieve getallen 
in de kelder,

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
breukkamers,

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
waardoor degene in kamer 1/2 
altijd vermoedt

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
dat hij minder ruimte heeft 
dan degene in kamer 1,

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
vierkantswortelkamers, 
zoals kamer √ 2,

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
en kamer pi,

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
waar de gasten gratis 'pie' 
(taart) verwachten.

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
Welke nachtportier met zelfrespect

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
zou daar ooit willen werken

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
al is het voor een oneindig salaris?

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
Maar in Hilberts Oneindige Hotel,

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
waar nooit een kamer vrij is

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
en er altijd ruimte is voor meer gasten,

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
herinneren de perikelen 
van de steeds ijverige

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
en misschien te gastvrije nachtportier

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
ons eraan

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
hoe moeilijk het is

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
voor onze relatief eindige geest

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
om grip te krijgen op een concept 
zo groot als oneindigheid.

00:05:37.092 --> 00:05:40.427
Misschien kun jij dit aanpakken
na een goede nachtrust.

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
Maar misschien moet je wel

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.