Tijdens de jaren twintig
bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert
een beroemd gedachte-experiment
om ons te laten zien hoe moeilijk het is
om grip te krijgen op het concept van oneindigheid.
Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamers
en een hardwerkende nachtportier.
Op een nacht is het Oneindige Hotel helemaal vol,
geheel volgeboekt door een oneindig aantal gasten.
Een man loopt het hotel in
en vraagt naar een kamer.
In plaats van de man weg te sturen,
besluit de nachtportier plek voor hem te maken.
Hoe?
Makkelijk. Hij vraagt de gast in kamer 1
te verhuizen naar kamer 2,
de gast in kamer 2 te verhuizen naar kamer 3,
enzovoort.
Elke gast verhuist van kamer 'n'
naar kamer 'n+1'.
Aangezien er een oneindig aantal kamers is,
is er een nieuwe kamer voor elke bestaande gast.
Zo is er in kamer 1 ruimte voor de nieuwe gast.
Dit proces kan herhaald worden
voor elk eindig aantal nieuwe gasten.
Stel dat een tourbus aan komt rijden
met 40 nieuwe mensen die een kamer zoeken,
dan kan elke bestaande gast
van kamer 'n'
naar kamer 'n+40' verhuizen.
waardoor de eerste 40 kamers vrij worden gemaakt.
Maar nu komt een oneindig grote bus aan
met een aftelbaar oneindig aantal passagiers
die kamers willen huren.
'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.
In eerste instantie staat de nachtportier perplex
van het oneindige aantal passagiers,
maar hij realiseert zich dat er een manier is
elke gast een kamer te geven.
Hij vraagt de gast in kamer 1
naar kamer 2 te verhuizen.
Daarna vraagt hij de gast in kamer 2
naar kamer 4 te verhuizen,
de gast in kamer 3
te verhuizen naar kamer 6,
enzovoort.
Elke huidige gast verhuist van kamer 'n'
naar kamer '2n',
waardoor alleen de oneindig vele kamers met even nummers gevuld worden.
Zo maakt hij de oneindig vele kamers
met oneven nummers vrij,
waar vervolgens de mensen in kunnen
die uit de oneindige bus komen.
Iedereen is blij en het hotel
heeft nog nooit zo goed zaken gedaan.
Nou, eigenlijk staan de zaken
er precies zo goed voor als altijd
met elke nacht oneindig veel dollars aan inkomsten.
Het nieuws van dit ongelooflijke hotel verspreidt zich snel.
Mensen komen vanuit alle windstreken.
Op een nacht gebeurt het ondenkbare.
De nachtportier kijkt naar buiten
en ziet een oneindige rij
van oneindig lange bussen,
elk met een telbaar oneindig aantal passagier.
Wat kan hij doen?
Als hij geen kamers voor ze kan vinden,
zal het hotel
een oneindige hoeveelheid geld mislopen,
en zal hij zeker ontslagen worden.
Gelukkig herinnert hij zich
dat rond het jaar 300 voor Christus
Euclides bewees dat er een oneindige hoeveelheid
priemgetallen bestaat.
Voor deze schijnbaar onmogelijke taak
om oneindig veel bedden te vinden
voor oneindig veel bussen
gevuld met oneindig veel vermoeide reizigers
wijst de nachtportier elke huidige gast
toe aan het eerste priemgetal, 2,
verheven tot de macht van hun huidige kamernummer.
De huidige bewoner van kamer 7
gaat dus naar kamer 2^7,
namelijk kamer 128.
De nachtportier wijst dan alle mensen
in de eerste oneindige bus toe
aan de kamer met
het volgende priemgetal, 3,
verheven tot de macht van hun stoelnummer in de bus.
De passagier van stoelnummer 7 in de eerste bus
gaat dus naar kamer 3^7
oftewel kamer 2.187.
Dat gaat zo door voor alle passagiers in de eerste bus.
De passagiers in de tweede bus
verheffen het volgende priemgetal, 5, tot een bepaalde macht.
De volgende bus doet hetzelfde met 7.
Elke bus volgt:
machten van 11,
machten van 13,
machten 17, etc.
aangezien al deze nummers
alleen 1 en de natuurlijke machten
van hun priemgetalbasis als factor hebben,
zijn er geen overlappende kamernummers.
Alle passagiers van alle bussen krijgen op deze manier
een kamer toegewezen
op basis van unieke priemgetallen.
Zo kan de nachtportier elke passagier in elke bus
van een kamer voorzien.
Wel zullen er nu veel lege kamers zijn,
zoals kamer 6
aangezien 6 geen macht van een priemgetal is.
Gelukkig waren zijn bazen niet zo goed in wiskunde,
dus is zijn baan veilig.
De strategieën van de nachtportier zijn alleen mogelijk
omdat er in het Oneindige Hotel,
hoewel het een logistieke nachtmerrie is,
alleen sprake is van het laagste niveau van oneindigheid,
namelijk de aftelbare oneindigheid
van de natuurlijke getallen
1, 2, 3, 4, enzovoort.
Georg Cantor noemde dit niveau van oneindigheid alef-nul.
Zowel de kamernummers
als de stoelnummers in de bussen zijn natuurlijke getallen.
Bij een hogere orde van oneindigheid,
zoals die van reële getallen,
zouden deze gestructureerde strategieën
niet mogelijk zijn
aangezien er geen manier is
om op systematische wijze elk getal mee te tellen.
Het Oneindige Hotel van de Reële Getallen
heeft kamers met negatieve getallen in de kelder,
breukkamers,
waardoor degene in kamer 1/2 altijd vermoedt
dat hij minder ruimte heeft dan degene in kamer 1,
vierkantswortelkamers, zoals kamer √ 2,
en kamer pi,
waar de gasten gratis 'pie' (taart) verwachten.
Welke nachtportier met zelfrespect
zou daar ooit willen werken
al is het voor een oneindig salaris?
Maar in Hilberts Oneindige Hotel,
waar nooit een kamer vrij is
en er altijd ruimte is voor meer gasten,
herinneren de perikelen van de steeds ijverige
en misschien te gastvrije nachtportier
ons eraan
hoe moeilijk het is
voor onze relatief eindige geest
om grip te krijgen op een concept zo groot als oneindigheid.
Misschien kun jij dit aanpakken na een goede nachtrust.
Maar misschien moet je wel
om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.