1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
Tijdens de jaren twintig

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
een beroemd gedachte-experiment

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
om ons te laten zien hoe moeilijk het is

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
om grip te krijgen 
op het concept van oneindigheid.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Stel je een hotel voor 
met een oneindig aantal kamers

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
en een hardwerkende nachtportier.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Op een nacht is het Oneindige Hotel 
helemaal vol,

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
geheel volgeboekt 
door een oneindig aantal gasten.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,419
Een man loopt het hotel in

11
00:00:32,419 --> 00:00:33,934
en vraagt naar een kamer.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
In plaats van de man weg te sturen,

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
besluit de nachtportier 
plek voor hem te maken.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
Hoe?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
Makkelijk. 
Hij vraagt de gast in kamer 1

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
te verhuizen naar kamer 2,

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
de gast in kamer 2 
te verhuizen naar kamer 3,

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
enzovoort.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Elke gast verhuist van kamer 'n'

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
naar kamer 'n+1'.

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
Aangezien er een oneindig aantal kamers is,

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
is er een nieuwe kamer 
voor elke bestaande gast.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
Zo is er in kamer 1 
ruimte voor de nieuwe gast.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
Dit proces kan herhaald worden

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
voor elk eindig aantal nieuwe gasten.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,389
Stel dat een tourbus aan komt rijden

27
00:01:05,389 --> 00:01:07,553
met 40 nieuwe mensen 
die een kamer zoeken,

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
dan kan elke bestaande gast

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
van kamer 'n'

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
naar kamer 'n+40' verhuizen.

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
waardoor de eerste 40 kamers 
vrij worden gemaakt.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Maar nu komt 
een oneindig grote bus aan

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
met een aftelbaar oneindig 
aantal passagiers

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
die kamers willen huren.

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
In eerste instantie 
staat de nachtportier perplex

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
van het oneindige aantal passagiers,

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
maar hij realiseert zich 
dat er een manier is

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
elke gast een kamer te geven.

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
Hij vraagt de gast in kamer 1

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
naar kamer 2 te verhuizen.

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
Daarna vraagt hij de gast in kamer 2

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
naar kamer 4 te verhuizen,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
de gast in kamer 3

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
te verhuizen naar kamer 6,

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
enzovoort.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Elke huidige gast verhuist van kamer 'n'

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
naar kamer '2n',

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
waardoor alleen de oneindig vele kamers 
met even nummers gevuld worden.

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
Zo maakt hij de oneindig vele kamers

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
met oneven nummers vrij,

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
waar vervolgens de mensen in kunnen

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
die uit de oneindige bus komen.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
Iedereen is blij en het hotel

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
heeft nog nooit zo goed zaken gedaan.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,403
Nou, eigenlijk staan de zaken

57
00:02:08,403 --> 00:02:10,440
er precies zo goed voor als altijd

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
met elke nacht oneindig veel 
dollars aan inkomsten.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
Het nieuws van dit ongelooflijke hotel 
verspreidt zich snel.

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
Mensen komen vanuit alle windstreken.

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
Op een nacht gebeurt het ondenkbare.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
De nachtportier kijkt naar buiten

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
en ziet een oneindige rij

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
van oneindig lange bussen,

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
elk met een telbaar oneindig aantal passagier.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
Wat kan hij doen?

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
Als hij geen kamers voor ze kan vinden,

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
zal het hotel

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
een oneindige hoeveelheid geld mislopen,

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
en zal hij zeker ontslagen worden.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
Gelukkig herinnert hij zich

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
dat rond het jaar 300 voor Christus

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
Euclides bewees dat er 
een oneindige hoeveelheid

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
priemgetallen bestaat.

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,344
Voor deze schijnbaar onmogelijke taak

76
00:02:49,344 --> 00:02:51,005
om oneindig veel bedden te vinden

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
voor oneindig veel bussen

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
gevuld met oneindig veel 
vermoeide reizigers

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
wijst de nachtportier elke huidige gast

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
toe aan het eerste priemgetal, 2,

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
verheven tot de macht 
van hun huidige kamernummer.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
De huidige bewoner van kamer 7

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
gaat dus naar kamer 2^7,

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
namelijk kamer 128.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
De nachtportier wijst dan alle mensen

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
in de eerste oneindige bus toe

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
aan de kamer met

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
het volgende priemgetal, 3,

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
verheven tot de macht 
van hun stoelnummer in de bus.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
De passagier van stoelnummer 7 
in de eerste bus

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
gaat dus naar kamer 3^7

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
oftewel kamer 2.187.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
Dat gaat zo door voor alle passagiers 
in de eerste bus.

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
De passagiers in de tweede bus

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
verheffen het volgende priemgetal, 5, 
tot een bepaalde macht.

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
De volgende bus doet hetzelfde met 7.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
Elke bus volgt:

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
machten van 11,

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
machten van 13,

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
machten 17, etc.

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
aangezien al deze nummers

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
alleen 1 en de natuurlijke machten

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
van hun priemgetalbasis 
als factor hebben,

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
zijn er geen overlappende kamernummers.

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
Alle passagiers van alle bussen 
krijgen op deze manier

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
een kamer toegewezen

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
op basis van unieke priemgetallen.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
Zo kan de nachtportier 
elke passagier in elke bus

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
van een kamer voorzien.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
Wel zullen er nu veel lege kamers zijn,

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
zoals kamer 6

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
aangezien 6 geen 
macht van een priemgetal is.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,537
Gelukkig waren zijn bazen 
niet zo goed in wiskunde,

114
00:04:17,537 --> 00:04:19,178
dus is zijn baan veilig.

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
De strategieën van de nachtportier 
zijn alleen mogelijk

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
omdat er in het Oneindige Hotel,

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
hoewel het een logistieke nachtmerrie is,

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
alleen sprake is van het laagste 
niveau van oneindigheid,

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
namelijk de aftelbare oneindigheid

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
van de natuurlijke getallen

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1, 2, 3, 4, enzovoort.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
Georg Cantor noemde dit niveau 
van oneindigheid alef-nul.

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
Zowel de kamernummers

124
00:04:42,665 --> 00:04:45,607
als de stoelnummers in de bussen
zijn natuurlijke getallen.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
Bij een hogere orde van oneindigheid,

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
zoals die van reële getallen,

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
zouden deze gestructureerde strategieën

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
niet mogelijk zijn

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
aangezien er geen manier is

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
om op systematische wijze 
elk getal mee te tellen.

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
Het Oneindige Hotel 
van de Reële Getallen

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
heeft kamers met negatieve getallen 
in de kelder,

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
breukkamers,

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
waardoor degene in kamer 1/2 
altijd vermoedt

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
dat hij minder ruimte heeft 
dan degene in kamer 1,

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
vierkantswortelkamers, 
zoals kamer √ 2,

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
en kamer pi,

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
waar de gasten gratis 'pie' 
(taart) verwachten.

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
Welke nachtportier met zelfrespect

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
zou daar ooit willen werken

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
al is het voor een oneindig salaris?

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
Maar in Hilberts Oneindige Hotel,

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
waar nooit een kamer vrij is

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
en er altijd ruimte is voor meer gasten,

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
herinneren de perikelen 
van de steeds ijverige

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
en misschien te gastvrije nachtportier

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
ons eraan

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
hoe moeilijk het is

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
voor onze relatief eindige geest

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
om grip te krijgen op een concept 
zo groot als oneindigheid.

151
00:05:37,092 --> 00:05:40,427
Misschien kun jij dit aanpakken
na een goede nachtrust.

152
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
Maar misschien moet je wel

153
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.