0:00:06.531,0:00:07.715
Tijdens de jaren twintig

0:00:07.715,0:00:10.208
bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert

0:00:10.208,0:00:12.461
een beroemd gedachte-experiment

0:00:12.461,0:00:14.215
om ons te laten zien hoe moeilijk het is

0:00:14.215,0:00:18.170
om grip te krijgen [br]op het concept van oneindigheid.

0:00:18.170,0:00:21.683
Stel je een hotel voor [br]met een oneindig aantal kamers

0:00:21.683,0:00:24.291
en een hardwerkende nachtportier.

0:00:24.291,0:00:27.547
Op een nacht is het Oneindige Hotel [br]helemaal vol,

0:00:27.547,0:00:31.110
geheel volgeboekt [br]door een oneindig aantal gasten.

0:00:31.110,0:00:32.419
Een man loopt het hotel in

0:00:32.419,0:00:33.934
en vraagt naar een kamer.

0:00:33.934,0:00:35.468
In plaats van de man weg te sturen,

0:00:35.468,0:00:37.910
besluit de nachtportier [br]plek voor hem te maken.

0:00:37.910,0:00:38.689
Hoe?

0:00:38.689,0:00:41.659
Makkelijk. [br]Hij vraagt de gast in kamer 1

0:00:41.659,0:00:43.325
te verhuizen naar kamer 2,

0:00:43.325,0:00:46.080
de gast in kamer 2 [br]te verhuizen naar kamer 3,

0:00:46.080,0:00:47.162
enzovoort.

0:00:47.162,0:00:49.862
Elke gast verhuist van kamer 'n'

0:00:49.862,0:00:52.203
naar kamer 'n+1'.

0:00:52.203,0:00:54.412
Aangezien er een oneindig aantal kamers is,

0:00:54.412,0:00:57.033
is er een nieuwe kamer [br]voor elke bestaande gast.

0:00:57.033,0:00:59.784
Zo is er in kamer 1 [br]ruimte voor de nieuwe gast.

0:00:59.784,0:01:01.029
Dit proces kan herhaald worden

0:01:01.029,0:01:03.535
voor elk eindig aantal nieuwe gasten.

0:01:03.535,0:01:05.389
Stel dat een tourbus aan komt rijden

0:01:05.389,0:01:07.553
met 40 nieuwe mensen [br]die een kamer zoeken,

0:01:07.553,0:01:09.666
dan kan elke bestaande gast

0:01:09.666,0:01:11.004
van kamer 'n'

0:01:11.004,0:01:13.662
naar kamer 'n+40' verhuizen.

0:01:13.662,0:01:16.790
waardoor de eerste 40 kamers [br]vrij worden gemaakt.

0:01:16.790,0:01:19.195
Maar nu komt [br]een oneindig grote bus aan

0:01:19.195,0:01:21.768
met een aftelbaar oneindig [br]aantal passagiers

0:01:21.768,0:01:23.697
die kamers willen huren.

0:01:23.697,0:01:25.920
'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.

0:01:25.920,0:01:28.225
In eerste instantie [br]staat de nachtportier perplex

0:01:28.225,0:01:30.542
van het oneindige aantal passagiers,

0:01:30.542,0:01:32.034
maar hij realiseert zich [br]dat er een manier is

0:01:32.034,0:01:33.373
elke gast een kamer te geven.

0:01:33.373,0:01:34.994
Hij vraagt de gast in kamer 1

0:01:34.994,0:01:36.415
naar kamer 2 te verhuizen.

0:01:36.415,0:01:38.551
Daarna vraagt hij de gast in kamer 2

0:01:38.551,0:01:40.459
naar kamer 4 te verhuizen,

0:01:40.459,0:01:41.540
de gast in kamer 3

0:01:41.540,0:01:42.833
te verhuizen naar kamer 6,

0:01:42.833,0:01:44.129
enzovoort.

0:01:44.129,0:01:47.337
Elke huidige gast verhuist van kamer 'n'

0:01:47.337,0:01:50.533
naar kamer '2n',

0:01:50.533,0:01:54.084
waardoor alleen de oneindig vele kamers [br]met even nummers gevuld worden.

0:01:54.084,0:01:55.953
Zo maakt hij de oneindig vele kamers

0:01:55.953,0:01:58.891
met oneven nummers vrij,

0:01:58.891,0:02:00.309
waar vervolgens de mensen in kunnen

0:02:00.309,0:02:02.828
die uit de oneindige bus komen.

0:02:02.828,0:02:05.111
Iedereen is blij en het hotel

0:02:05.111,0:02:06.899
heeft nog nooit zo goed zaken gedaan.

0:02:06.899,0:02:08.403
Nou, eigenlijk staan de zaken

0:02:08.403,0:02:10.440
er precies zo goed voor als altijd

0:02:10.440,0:02:12.923
met elke nacht oneindig veel [br]dollars aan inkomsten.

0:02:13.723,0:02:16.379
Het nieuws van dit ongelooflijke hotel [br]verspreidt zich snel.

0:02:16.379,0:02:18.568
Mensen komen vanuit alle windstreken.

0:02:18.568,0:02:20.866
Op een nacht gebeurt het ondenkbare.

0:02:20.866,0:02:23.431
De nachtportier kijkt naar buiten

0:02:23.431,0:02:25.061
en ziet een oneindige rij

0:02:25.061,0:02:27.541
van oneindig lange bussen,

0:02:27.541,0:02:30.353
elk met een telbaar oneindig aantal passagier.

0:02:30.353,0:02:31.410
Wat kan hij doen?

0:02:31.410,0:02:32.913
Als hij geen kamers voor ze kan vinden,

0:02:32.913,0:02:34.231
zal het hotel

0:02:34.231,0:02:35.982
een oneindige hoeveelheid geld mislopen,

0:02:35.982,0:02:37.979
en zal hij zeker ontslagen worden.

0:02:37.979,0:02:39.083
Gelukkig herinnert hij zich

0:02:39.083,0:02:41.814
dat rond het jaar 300 voor Christus

0:02:41.814,0:02:44.750
Euclides bewees dat er [br]een oneindige hoeveelheid

0:02:44.750,0:02:47.215
priemgetallen bestaat.

0:02:47.215,0:02:49.344
Voor deze schijnbaar onmogelijke taak

0:02:49.344,0:02:51.005
om oneindig veel bedden te vinden

0:02:51.005,0:02:52.309
voor oneindig veel bussen

0:02:52.309,0:02:54.315
gevuld met oneindig veel [br]vermoeide reizigers

0:02:54.315,0:02:56.607
wijst de nachtportier elke huidige gast

0:02:56.607,0:02:59.066
toe aan het eerste priemgetal, 2,

0:02:59.066,0:03:01.891
verheven tot de macht [br]van hun huidige kamernummer.

0:03:01.891,0:03:04.559
De huidige bewoner van kamer 7

0:03:04.559,0:03:07.565
gaat dus naar kamer 2^7,

0:03:07.565,0:03:09.930
namelijk kamer 128.

0:03:09.930,0:03:11.643
De nachtportier wijst dan alle mensen

0:03:11.643,0:03:13.781
in de eerste oneindige bus toe

0:03:13.781,0:03:15.830
aan de kamer met

0:03:15.830,0:03:18.315
het volgende priemgetal, 3,

0:03:18.315,0:03:21.752
verheven tot de macht [br]van hun stoelnummer in de bus.

0:03:21.752,0:03:25.283
De passagier van stoelnummer 7 [br]in de eerste bus

0:03:25.283,0:03:28.384
gaat dus naar kamer 3^7

0:03:28.384,0:03:31.634
oftewel kamer 2.187.

0:03:31.634,0:03:34.093
Dat gaat zo door voor alle passagiers [br]in de eerste bus.

0:03:34.093,0:03:35.765
De passagiers in de tweede bus

0:03:35.765,0:03:39.434
verheffen het volgende priemgetal, 5, [br]tot een bepaalde macht.

0:03:39.434,0:03:41.517
De volgende bus doet hetzelfde met 7.

0:03:41.517,0:03:42.945
Elke bus volgt:

0:03:42.945,0:03:43.767
machten van 11,

0:03:43.767,0:03:44.770
machten van 13,

0:03:44.770,0:03:47.190
machten 17, etc.

0:03:47.190,0:03:48.318
aangezien al deze nummers

0:03:48.318,0:03:50.992
alleen 1 en de natuurlijke machten

0:03:50.992,0:03:53.237
van hun priemgetalbasis [br]als factor hebben,

0:03:53.237,0:03:55.410
zijn er geen overlappende kamernummers.

0:03:55.410,0:03:58.363
Alle passagiers van alle bussen [br]krijgen op deze manier

0:03:58.363,0:04:00.870
een kamer toegewezen

0:04:00.870,0:04:03.510
op basis van unieke priemgetallen.

0:04:03.510,0:04:05.578
Zo kan de nachtportier [br]elke passagier in elke bus

0:04:05.578,0:04:07.870
van een kamer voorzien.

0:04:07.870,0:04:10.806
Wel zullen er nu veel lege kamers zijn,

0:04:10.806,0:04:11.897
zoals kamer 6

0:04:11.897,0:04:15.119
aangezien 6 geen [br]macht van een priemgetal is.

0:04:15.119,0:04:17.537
Gelukkig waren zijn bazen [br]niet zo goed in wiskunde,

0:04:17.537,0:04:19.178
dus is zijn baan veilig.

0:04:19.178,0:04:22.031
De strategieën van de nachtportier [br]zijn alleen mogelijk

0:04:22.031,0:04:23.983
omdat er in het Oneindige Hotel,

0:04:23.983,0:04:26.204
hoewel het een logistieke nachtmerrie is,

0:04:26.204,0:04:29.981
alleen sprake is van het laagste [br]niveau van oneindigheid,

0:04:29.981,0:04:31.746
namelijk de aftelbare oneindigheid

0:04:31.746,0:04:33.537
van de natuurlijke getallen

0:04:33.537,0:04:36.618
1, 2, 3, 4, enzovoort.

0:04:36.618,0:04:40.537
Georg Cantor noemde dit niveau [br]van oneindigheid alef-nul.

0:04:40.537,0:04:42.665
Zowel de kamernummers

0:04:42.665,0:04:45.607
als de stoelnummers in de bussen[br]zijn natuurlijke getallen.

0:04:45.633,0:04:48.176
Bij een hogere orde van oneindigheid,

0:04:48.176,0:04:49.727
zoals die van reële getallen,

0:04:49.727,0:04:51.097
zouden deze gestructureerde strategieën

0:04:51.097,0:04:52.564
niet mogelijk zijn

0:04:52.564,0:04:53.850
aangezien er geen manier is

0:04:53.850,0:04:56.570
om op systematische wijze [br]elk getal mee te tellen.

0:04:56.570,0:04:58.922
Het Oneindige Hotel [br]van de Reële Getallen

0:04:58.922,0:05:00.929
heeft kamers met negatieve getallen [br]in de kelder,

0:05:00.929,0:05:02.388
breukkamers,

0:05:02.388,0:05:04.508
waardoor degene in kamer 1/2 [br]altijd vermoedt

0:05:04.508,0:05:07.205
dat hij minder ruimte heeft [br]dan degene in kamer 1,

0:05:07.205,0:05:10.332
vierkantswortelkamers, [br]zoals kamer √ 2,

0:05:10.332,0:05:11.462
en kamer pi,

0:05:11.462,0:05:14.349
waar de gasten gratis 'pie' [br](taart) verwachten.

0:05:14.349,0:05:15.869
Welke nachtportier met zelfrespect

0:05:15.869,0:05:17.172
zou daar ooit willen werken

0:05:17.172,0:05:19.490
al is het voor een oneindig salaris?

0:05:19.490,0:05:20.797
Maar in Hilberts Oneindige Hotel,

0:05:20.797,0:05:22.261
waar nooit een kamer vrij is

0:05:22.261,0:05:23.881
en er altijd ruimte is voor meer gasten,

0:05:23.881,0:05:26.950
herinneren de perikelen [br]van de steeds ijverige

0:05:26.950,0:05:28.720
en misschien te gastvrije nachtportier

0:05:28.720,0:05:29.804
ons eraan

0:05:29.804,0:05:31.150
hoe moeilijk het is

0:05:31.150,0:05:33.320
voor onze relatief eindige geest

0:05:33.320,0:05:37.092
om grip te krijgen op een concept [br]zo groot als oneindigheid.

0:05:37.092,0:05:40.427
Misschien kun jij dit aanpakken[br]na een goede nachtrust.

0:05:40.427,0:05:42.300
Maar misschien moet je wel

0:05:42.300,0:05:44.701
om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.