1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
1920年代の事

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
有名な思考実験を行いました

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
無限の概念を理解することが

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
いかに 難しいことか
示そうとしたのです

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
無限の数の部屋があるホテルを
想像してみましょう

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
そこには とてもよく働く
夜勤のマネジャーがいます

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
ある夜 無限ホテルは
完全に満室になったとします

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
無限の数の予約で
いっぱいになりました

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,419
ある男性がホテルに入ってきて

11
00:00:32,419 --> 00:00:33,934
一部屋空いていないか 
と尋ねました

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
それを断ることもせず

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
夜勤のマネジャーは
一部屋 空きを作ることにしました

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
どうやって？

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
簡単です １号室の客に

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
２号室に移ってもらい

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
２号室の客には
３号室に移ってもらい

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
そんな感じです

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
ｎ号室の客が

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
ｎ+１号室に移るのです

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
無限の部屋があるので

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
それぞれの客に 
新たな部屋が用意されるのです

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
すると１号室が新しい客の部屋になります

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
これを続けていけば

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
いくらでも 有限の数の
新しい客を お迎えできます

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,389
たとえば ツアーバスが

27
00:01:05,389 --> 00:01:07,553
40人の客を連れてきて
部屋を探したとします

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
すでに部屋のある客たちが

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
n号室から

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
n+40号室に移ると

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
最初の40部屋が空きます

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
しかし 今度は無限に長いバスが

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
無限の数の客を連れてきて

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
泊まろうと
したらどうでしょう

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
無限でも数えられること
(可算無限)が鍵です

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
“無限バス”が無限の客を連れてきて

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
夜勤のマネジャーをちょっと困らせます

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
しかし彼は皆に部屋をあてがう

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
解決策を見出すのです

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
１号室の部屋の客に

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
２号室に移って欲しいと頼み

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
２号室の客は

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
４号室に移ってもらい

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
３号室の客は

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
６号室へ

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
そんな具合です

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
ｎ号室の客が

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
２ｎ号室に移ると

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
無限にある偶数番号の部屋が
いっぱいになります

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
でも こうやることによって

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
無限の奇数の部屋が空き

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
“無限バス”で連れてこられた

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
全ての客に
部屋が割り当てられます

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
皆がハッピーになって

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
ホテルも前代未聞の商売繁盛です

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,403
でも 実のところ

57
00:02:08,403 --> 00:02:10,440
いつもと全く変わらなく

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
一晩で 無限ドル稼ぐのです

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
このすごいホテルのうわさが
一気に広まり

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
人々が方々 遠方からも
なだれ込みます

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
ある夜 
想像も出来ないようなことが起きます

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
夜勤のマネジャーが外を見てみると

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
無限に並んだ“ 無限大のバス ”が

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
列をなして 各々が

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
可算無限の客を
連れてきています

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
どうすれば良いでしょう？

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
部屋を準備できなければ

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
ホテルは無限の収益を

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
見逃すことになります

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
そして彼は職を
失うこと間違いありません

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
幸いにも彼は

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
紀元前300年頃に

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
ユークリッドが証明したこと—

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
素数が無限に存在することを
思い出すのです

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
無限の数のバスに乗った

76
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
疲れた無限の旅行者のために

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
無限のベッドを準備するという

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
一見不可能な問題を
解決するために

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
夜勤のマネジャーは宿泊中の客に

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
最初の素数である２を

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
部屋番号の数で累乗した
番号の部屋に移ってもらいます

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
たとえば7号室の客は

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
２の７乗 つまり

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
128号室に移動します

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
次に夜勤のマネジャーは

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
最初の“ 無限バス ”の客を

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
このように案内します

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
２の次の素数である３を

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
バスの座席番号の数で
累乗するのです

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
たとえば 座席番号７に
座っていた客なら

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
３の７乗 つまり

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
2,187号室に移ります

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
１台目のバスは
このように やっていきます

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
２台目のバスについては

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
その次の素数である５を
次々と累乗していきます

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
その次のバスは７の累乗

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
さらに続くバスは

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
11の累乗

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
13の累乗

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
17の累乗　という具合です

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
こうやってできた数字は

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
１と素数の累乗しか

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
約数を持たないので

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
部屋が重なりません

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
全てのバスの客たちは

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
それぞれに割り当てられた
素数に基づいて

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
それぞれ異なった部屋へと
分かれていきます

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
このようにして 
夜勤のマネジャーは

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
全てのバスの全ての客に
部屋を用意できるのです

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
でも ６号室のように空き部屋が

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
たくさん残ります

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
６は素数の累乗ではないからです

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,537
幸いにも彼の上司は
数字に弱そうなので

114
00:04:17,537 --> 00:04:19,178
仕事を追われることもありません

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
“無限ホテル”での様々な準備が

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
悪夢であることに
間違いありませんが

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
夜勤マネジャーが
こんなことができたのは

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
最も低いレベルの無限だからです

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
基本的に可算無限個 つまり

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
１,２,３,４・・・というように

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
自然数で数え上げられることです

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
ゲオルク・カントールは このレベルの無限を
アレフゼロ(ℵ。)と命名しました

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
我々は部屋の番号や

124
00:04:42,665 --> 00:04:44,787
バスの座席番号に
自然数を用いています

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
もし実数と言ったより高いレベルの

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
無限を扱おうとすると

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
これまでに論じた方法では

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
上手く対応できません

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
というのも 全ての数字を

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
系統立てて組み入れることが
できないからです

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
“ 実数無限ホテル ”には

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
地下の負数番号の部屋とか

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
分数番号の部屋があって

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
1/2号室の客は

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
１号室よりも狭いんじゃないかと
疑っています

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
ルート２といった 平方根の部屋や

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
πの部屋などでは

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
客が無料サービスの
デザートを期待しています

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
自尊心の高い夜勤のマネジャーは

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
無限の給料だからと言って

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
そこで働きたがるでしょうか？

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
しかし 常に空室が無く

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
いつも もっと部屋が用意できる

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに
接客態度の良い

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
夜勤のマネジャーの話を聞くと

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
無限という概念を

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
理解することが

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
有限な知性しか持たない 我々にとって

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
いかに大変なことか
気づかされます

151
00:05:37,092 --> 00:05:38,695
あなたが一晩グッスリ眠ると

152
00:05:38,695 --> 00:05:40,427
よい解決案が 浮かぶかもしれません

153
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
でも 恐縮ですが

154
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
２時にお部屋の移動を
お願いするかもしれませんね