Negli anni '20,
il matematico tedesco David Hilbert
ideò un famoso esperimento
per mostrarci quanto sia difficile
capire a pieno il concetto di infinito.
Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze
e un direttore notturno che si dà molto da fare.
Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,
prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.
Un uomo entra nell'hotel
e chiede una stanza.
Invece di mandarlo via,
il direttore decide di trovargli un posto.
Come?
Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1
di spostarsi nella stanza n°2,
all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,
e così via.
Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"
alla "n+1".
Poiché c'è un numero infinito di stanze,
c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.
Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.
Il processo può essere ripetuto
per ogni numero finito di nuovi ospiti.
Se, per esempio, un autobus turistico scarica
40 nuove persone in cerca di stanze,
allora ogni ospite presente, si sposta semplicemente
dalla stanza numero "n"
alla numero "n+40",
lasciando così libere le prime 40 stanze.
Ma ora un bus inifinitamente grande
con un numero di passeggeri infinito numerabile
si ferma per affittare stanze.
Infinito numerabile è il punto.
Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti
all'inizio lascia il direttore perplesso,
ma poi si rende conto che c'è un modo
per sistemare ogni persona nuova.
Chiede all'ospite della stanza n°1
di spostarsi nella n°2
Poi chede all'ospite della n°2
di spostarsi nella n°4,
all'ospite della n°3
di spostarsi nella n°6
e così via.
Ogni ospite attuale si sposta dalla stanza numero "n"
a quella numero "2n",
riempiendo solo le stanze di numero pari.
Facendo così, gli restano vuote
tutte le stanze di numero dispari infinito,
che vengono quindi occupate dalle persone
che scendono dal bus infinito.
Tutti sono felici e il business dell'hotel
cresce pù che mai.
Beh, in realtà, cresce
esattamente come sempre,
incassando un numero infinito di dollari a notte.
Le voci su questo hotel incredibile si spargono.
Le persone si riversano da ogni dove.
Una notte, accade l'impensabile.
Il direttore notturno guarda fuori
e vede una fila infinita
di bus infinitamente grandi,
ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.
Cosa può fare?
Se non può trovare stanze per loro,
l'hotel perderà
una cifra infinita di soldi,
e lui perderà sicuramente il lavoro.
Fortunatamente, si ricorda
che intorno al 300 a.C.,
Euclide provò che esiste una quantità infinita
di numeri primi.
Dunque, per svolgere questo compito apparentemente impossibile
di trovare letti infiniti
per bus infiniti
di infiniti viaggiatori esausti,
il direttore notturno assegna ogni ospite attuale
al primo numero primo, 2,
elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.
Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7
va alla numero 2^7,
che è la stanza 128.
Il direttore notturno poi porta le persone
del primo dei bus infiniti
e li assegna al numero di stanza
del numero primo successivo, 3,
elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.
Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus
va nella stanza n° 3^7
o stanza 2187.
Ciò continua per tutto il primo bus.
Ai passeggeri del secondo bus
vengono assegnate le potenze del numero primo successivo, 5.
Al bus successivo, le potenze del 7.
Ogni bus come segue:
potenze dell'11,
potenze del 13,
potenze del 17, ecc.
Poiché ognuno di questi numeri
è in base uno elevato
alla potenza di un numero naturale,
non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.
Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze
tramite uno schema d'assegnazione unico
basato su numeri primi unici.
In questo modo, il direttore può sistemare
ogni passeggero di ogni bus.
Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,
come la n°6
poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.
Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi in matematica,
quindi il suo lavoro è salvo.
Le strategie del direttore notturno sono possibili solo
perché mentre l'Hotel Infinito
è sicuramente un incubo logistico,
si occupa solo del livello iniziale d'infinito,
cioè l'infinito numerabile
dei numeri naturali,
1, 2, 3, 4, e così via.
Georg Cantor ha chiamato questo livello di infinito aleph-zero.
Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze
così come i numeri di sedile sui bus.
Se avessimo a che fare con ordini d'infinito superiori,
come quello dei numeri reali,
queste strategie articolate
non sarebbero più possibili
poiché non c'è modo
di includere sistematicamente ogni numero.
L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha
stanze dai numeri negativi in cantina,
stanze frazionali,
quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre
di avere meno spazio di quello della stanza 1.
Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2
e stanza pi greco,
dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.
Quale direttore che si rispetti
vorrebbe mai lavorare lì
anche con uno stipendio infinito?
Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,
dove non c'è mai posto
ma sempre spazio per altri,
gli scenari affrontati dal sempre diligente
e forse troppo ospitale direttore notturno
servono a ricordarci
quanto sia difficile
per le nostre menti relativamente finite
afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.
Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi
dopo una buona notte di sonno.
Ma onestamente, potresti dover
cambiare le stanze alle 2 di notte.