WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
Negli anni '20,

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
il matematico tedesco David Hilbert

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
ideò un famoso esperimento

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
per mostrarci quanto sia difficile

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
capire a pieno il concetto di infinito.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
e un direttore notturno che si dà molto da fare.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.

00:00:31.110 --> 00:00:32.418
Un uomo entra nell'hotel

00:00:32.418 --> 00:00:33.934
e chiede una stanza.

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
Invece di mandarlo via,

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
il direttore decide di trovargli un posto.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
Come?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
di spostarsi nella stanza n°2,

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
e così via.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
alla "n+1".

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
Poiché c'è un numero infinito di stanze,

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
Il processo può essere ripetuto

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
per ogni numero finito di nuovi ospiti.

00:01:03.535 --> 00:01:05.388
Se, per esempio, un autobus turistico scarica

00:01:05.388 --> 00:01:07.553
40 nuove persone in cerca di stanze,

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
allora ogni ospite presente, 
si sposta semplicemente

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
dalla stanza numero "n"

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
alla numero "n+40",

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
lasciando così libere le prime 40 stanze.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
Ma ora un bus inifinitamente grande

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
con un numero di passeggeri infinito numerabile

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
si ferma per affittare stanze.

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
Infinito numerabile è il punto.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
all'inizio lascia il direttore perplesso,

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
ma poi si rende conto che c'è un modo

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
per sistemare ogni persona nuova.

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
Chiede all'ospite della stanza n°1

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
di spostarsi nella n°2

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
Poi chede all'ospite della n°2

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
di spostarsi nella n°4,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
all'ospite della n°3

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
di spostarsi nella n°6

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
e così via.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
Ogni ospite attuale si sposta 
dalla stanza numero "n"

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
a quella numero "2n",

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
riempiendo solo le stanze di numero pari.

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
Facendo così, gli restano vuote

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
tutte le stanze di numero dispari infinito,

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
che vengono quindi occupate dalle persone

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
che scendono dal bus infinito.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
Tutti sono felici e il business dell'hotel

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
cresce pù che mai.

00:02:06.899 --> 00:02:08.402
Beh, in realtà, cresce

00:02:08.402 --> 00:02:10.440
esattamente come sempre,

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
incassando un numero infinito 
di dollari a notte.

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
Le voci su questo hotel incredibile si spargono.

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
Le persone si riversano da ogni dove.

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
Una notte, accade l'impensabile.

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
Il direttore notturno guarda fuori

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
e vede una fila infinita

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
di bus infinitamente grandi,

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
Cosa può fare?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
Se non può trovare stanze per loro,

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
l'hotel perderà

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
una cifra infinita di soldi,

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
e lui perderà sicuramente il lavoro.

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
Fortunatamente, si ricorda

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
che intorno al 300 a.C.,

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
Euclide provò che esiste una quantità infinita

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
di numeri primi.

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
Dunque, per svolgere questo compito
apparentemente impossibile

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
di trovare letti infiniti

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
per bus infiniti

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
di infiniti viaggiatori esausti,

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
il direttore notturno assegna ogni ospite attuale

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
al primo numero primo, 2,

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
va alla numero 2^7,

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
che è la stanza 128.

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
Il direttore notturno poi porta le persone

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
del primo dei bus infiniti

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
e li assegna al numero di stanza

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
del numero primo successivo, 3,

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
va nella stanza n° 3^7

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
o stanza 2187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
Ciò continua per tutto il primo bus.

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
Ai passeggeri del secondo bus

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
vengono assegnate le potenze del
numero primo successivo, 5.

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
Al bus successivo, le potenze del 7.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
Ogni bus come segue:

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
potenze dell'11,

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
potenze del 13,

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
potenze del 17, ecc.

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
Poiché ognuno di questi numeri

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
è in base uno elevato

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
alla potenza di un numero naturale,

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
tramite uno schema d'assegnazione unico

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
basato su numeri primi unici.

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
In questo modo, il direttore può sistemare

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
ogni passeggero di ogni bus.

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
come la n°6

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.

00:04:15.119 --> 00:04:17.536
Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi
in matematica,

00:04:17.536 --> 00:04:19.178
quindi il suo lavoro è salvo.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
Le strategie del direttore notturno 
sono possibili solo

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
perché mentre l'Hotel Infinito

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
è sicuramente un incubo logistico,

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
si occupa solo del livello iniziale d'infinito,

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
cioè l'infinito numerabile

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
dei numeri naturali,

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
1, 2, 3, 4, e così via.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
Georg Cantor ha chiamato 
questo livello di infinito aleph-zero.

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze

00:04:42.665 --> 00:04:44.787
così come i numeri di sedile sui bus.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
Se avessimo a che fare 
con ordini d'infinito superiori,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
come quello dei numeri reali,

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
queste strategie articolate

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
non sarebbero più possibili

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
poiché non c'è modo

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
di includere sistematicamente ogni numero.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
stanze dai numeri negativi in cantina,

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
stanze frazionali,

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
di avere meno spazio di quello della stanza 1.

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
e stanza pi greco,

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
Quale direttore che si rispetti

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
vorrebbe mai lavorare lì

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
anche con uno stipendio infinito?

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
dove non c'è mai posto

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
ma sempre spazio per altri,

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
gli scenari affrontati dal sempre diligente

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
e forse troppo ospitale direttore notturno

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
servono a ricordarci

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
quanto sia difficile

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
per le nostre menti relativamente finite

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi

00:05:38.695 --> 00:05:40.427
dopo una buona notte di sonno.

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
Ma onestamente, potresti dover

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
cambiare le stanze alle 2 di notte.