1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
Negli anni '20,

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
il matematico tedesco David Hilbert

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
ideò un famoso esperimento

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
per mostrarci quanto sia difficile

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
capire a pieno il concetto di infinito.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
e un direttore notturno che si dà molto da fare.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,418
Un uomo entra nell'hotel

11
00:00:32,418 --> 00:00:33,934
e chiede una stanza.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
Invece di mandarlo via,

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
il direttore decide di trovargli un posto.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
Come?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
di spostarsi nella stanza n°2,

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
e così via.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
alla "n+1".

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
Poiché c'è un numero infinito di stanze,

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
Il processo può essere ripetuto

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
per ogni numero finito di nuovi ospiti.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,388
Se, per esempio, un autobus turistico scarica

27
00:01:05,388 --> 00:01:07,553
40 nuove persone in cerca di stanze,

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
allora ogni ospite presente, 
si sposta semplicemente

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
dalla stanza numero "n"

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
alla numero "n+40",

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
lasciando così libere le prime 40 stanze.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Ma ora un bus inifinitamente grande

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
con un numero di passeggeri infinito numerabile

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
si ferma per affittare stanze.

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
Infinito numerabile è il punto.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
all'inizio lascia il direttore perplesso,

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
ma poi si rende conto che c'è un modo

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
per sistemare ogni persona nuova.

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
Chiede all'ospite della stanza n°1

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
di spostarsi nella n°2

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
Poi chede all'ospite della n°2

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
di spostarsi nella n°4,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
all'ospite della n°3

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
di spostarsi nella n°6

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
e così via.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Ogni ospite attuale si sposta 
dalla stanza numero "n"

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
a quella numero "2n",

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
riempiendo solo le stanze di numero pari.

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
Facendo così, gli restano vuote

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
tutte le stanze di numero dispari infinito,

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
che vengono quindi occupate dalle persone

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
che scendono dal bus infinito.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
Tutti sono felici e il business dell'hotel

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
cresce pù che mai.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,402
Beh, in realtà, cresce

57
00:02:08,402 --> 00:02:10,440
esattamente come sempre,

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
incassando un numero infinito 
di dollari a notte.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
Le voci su questo hotel incredibile si spargono.

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
Le persone si riversano da ogni dove.

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
Una notte, accade l'impensabile.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
Il direttore notturno guarda fuori

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
e vede una fila infinita

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
di bus infinitamente grandi,

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
Cosa può fare?

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
Se non può trovare stanze per loro,

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
l'hotel perderà

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
una cifra infinita di soldi,

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
e lui perderà sicuramente il lavoro.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
Fortunatamente, si ricorda

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
che intorno al 300 a.C.,

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
Euclide provò che esiste una quantità infinita

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
di numeri primi.

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
Dunque, per svolgere questo compito
apparentemente impossibile

76
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
di trovare letti infiniti

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
per bus infiniti

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
di infiniti viaggiatori esausti,

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
il direttore notturno assegna ogni ospite attuale

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
al primo numero primo, 2,

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
va alla numero 2^7,

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
che è la stanza 128.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
Il direttore notturno poi porta le persone

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
del primo dei bus infiniti

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
e li assegna al numero di stanza

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
del numero primo successivo, 3,

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
va nella stanza n° 3^7

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
o stanza 2187.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
Ciò continua per tutto il primo bus.

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
Ai passeggeri del secondo bus

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
vengono assegnate le potenze del
numero primo successivo, 5.

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
Al bus successivo, le potenze del 7.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
Ogni bus come segue:

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
potenze dell'11,

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
potenze del 13,

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
potenze del 17, ecc.

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
Poiché ognuno di questi numeri

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
è in base uno elevato

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
alla potenza di un numero naturale,

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
tramite uno schema d'assegnazione unico

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
basato su numeri primi unici.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
In questo modo, il direttore può sistemare

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
ogni passeggero di ogni bus.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
come la n°6

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,536
Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi
in matematica,

114
00:04:17,536 --> 00:04:19,178
quindi il suo lavoro è salvo.

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
Le strategie del direttore notturno 
sono possibili solo

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
perché mentre l'Hotel Infinito

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
è sicuramente un incubo logistico,

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
si occupa solo del livello iniziale d'infinito,

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
cioè l'infinito numerabile

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
dei numeri naturali,

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1, 2, 3, 4, e così via.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
Georg Cantor ha chiamato 
questo livello di infinito aleph-zero.

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze

124
00:04:42,665 --> 00:04:44,787
così come i numeri di sedile sui bus.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
Se avessimo a che fare 
con ordini d'infinito superiori,

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
come quello dei numeri reali,

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
queste strategie articolate

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
non sarebbero più possibili

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
poiché non c'è modo

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
di includere sistematicamente ogni numero.

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
stanze dai numeri negativi in cantina,

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
stanze frazionali,

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
di avere meno spazio di quello della stanza 1.

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
e stanza pi greco,

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
Quale direttore che si rispetti

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
vorrebbe mai lavorare lì

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
anche con uno stipendio infinito?

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
dove non c'è mai posto

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
ma sempre spazio per altri,

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
gli scenari affrontati dal sempre diligente

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
e forse troppo ospitale direttore notturno

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
servono a ricordarci

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
quanto sia difficile

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
per le nostre menti relativamente finite

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.

151
00:05:37,092 --> 00:05:38,695
Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi

152
00:05:38,695 --> 00:05:40,427
dopo una buona notte di sonno.

153
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
Ma onestamente, potresti dover

154
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
cambiare le stanze alle 2 di notte.