0:00:06.531,0:00:07.715
Negli anni '20,

0:00:07.715,0:00:10.208
il matematico tedesco David Hilbert

0:00:10.208,0:00:12.461
ideò un famoso esperimento

0:00:12.461,0:00:14.215
per mostrarci quanto sia difficile

0:00:14.215,0:00:18.170
capire a pieno il concetto di infinito.

0:00:18.170,0:00:21.683
Immaginate un hotel con un infinito numero di stanze

0:00:21.683,0:00:24.291
e un direttore notturno che si dà molto da fare.

0:00:24.291,0:00:27.547
Una notte, l'Hotel Infinito è completamente pieno,

0:00:27.547,0:00:31.110
prenotazioni al completo, con un infinito numero di ospite.

0:00:31.110,0:00:32.418
Un uomo entra nell'hotel

0:00:32.418,0:00:33.934
e chiede una stanza.

0:00:33.934,0:00:35.468
Invece di mandarlo via,

0:00:35.468,0:00:37.910
il direttore decide di trovargli un posto.

0:00:37.910,0:00:38.689
Come?

0:00:38.689,0:00:41.659
Facile, chiede all'ospite della stanza n° 1

0:00:41.659,0:00:43.325
di spostarsi nella stanza n°2,

0:00:43.325,0:00:46.080
all'ospite della n°2 di spostarsi nella n°3,

0:00:46.080,0:00:47.162
e così via.

0:00:47.162,0:00:49.862
Ogni ospite si sposta dalla stanza numero "n"

0:00:49.862,0:00:52.203
alla "n+1".

0:00:52.203,0:00:54.412
Poiché c'è un numero infinito di stanze,

0:00:54.412,0:00:57.033
c'è una stanza nuova per ogni ospite che esiste.

0:00:57.033,0:00:59.784
Questo lascia la stanza n°1 libera per il nuovo cliente.

0:00:59.784,0:01:01.029
Il processo può essere ripetuto

0:01:01.029,0:01:03.535
per ogni numero finito di nuovi ospiti.

0:01:03.535,0:01:05.388
Se, per esempio, un autobus turistico scarica

0:01:05.388,0:01:07.553
40 nuove persone in cerca di stanze,

0:01:07.553,0:01:09.666
allora ogni ospite presente, [br]si sposta semplicemente

0:01:09.666,0:01:11.004
dalla stanza numero "n"

0:01:11.004,0:01:13.662
alla numero "n+40",

0:01:13.662,0:01:16.790
lasciando così libere le prime 40 stanze.

0:01:16.790,0:01:19.195
Ma ora un bus inifinitamente grande

0:01:19.195,0:01:21.768
con un numero di passeggeri infinito numerabile

0:01:21.768,0:01:23.697
si ferma per affittare stanze.

0:01:23.697,0:01:25.920
Infinito numerabile è il punto.

0:01:25.920,0:01:28.225
Ora, il bus infinito di passeggeri infiniti

0:01:28.225,0:01:30.542
all'inizio lascia il direttore perplesso,

0:01:30.542,0:01:32.034
ma poi si rende conto che c'è un modo

0:01:32.034,0:01:33.373
per sistemare ogni persona nuova.

0:01:33.373,0:01:34.994
Chiede all'ospite della stanza n°1

0:01:34.994,0:01:36.415
di spostarsi nella n°2

0:01:36.415,0:01:38.551
Poi chede all'ospite della n°2

0:01:38.551,0:01:40.459
di spostarsi nella n°4,

0:01:40.459,0:01:41.540
all'ospite della n°3

0:01:41.540,0:01:42.833
di spostarsi nella n°6

0:01:42.833,0:01:44.129
e così via.

0:01:44.129,0:01:47.337
Ogni ospite attuale si sposta [br]dalla stanza numero "n"

0:01:47.337,0:01:50.533
a quella numero "2n",

0:01:50.533,0:01:54.084
riempiendo solo le stanze di numero pari.

0:01:54.084,0:01:55.953
Facendo così, gli restano vuote

0:01:55.953,0:01:58.891
tutte le stanze di numero dispari infinito,

0:01:58.891,0:02:00.309
che vengono quindi occupate dalle persone

0:02:00.309,0:02:02.828
che scendono dal bus infinito.

0:02:02.828,0:02:05.111
Tutti sono felici e il business dell'hotel

0:02:05.111,0:02:06.899
cresce pù che mai.

0:02:06.899,0:02:08.402
Beh, in realtà, cresce

0:02:08.402,0:02:10.440
esattamente come sempre,

0:02:10.440,0:02:12.923
incassando un numero infinito [br]di dollari a notte.

0:02:13.723,0:02:16.379
Le voci su questo hotel incredibile si spargono.

0:02:16.379,0:02:18.568
Le persone si riversano da ogni dove.

0:02:18.568,0:02:20.866
Una notte, accade l'impensabile.

0:02:20.866,0:02:23.431
Il direttore notturno guarda fuori

0:02:23.431,0:02:25.061
e vede una fila infinita

0:02:25.061,0:02:27.541
di bus infinitamente grandi,

0:02:27.541,0:02:30.353
ognuno con un numero di passeggeri infiniti numerabili.

0:02:30.353,0:02:31.410
Cosa può fare?

0:02:31.410,0:02:32.913
Se non può trovare stanze per loro,

0:02:32.913,0:02:34.231
l'hotel perderà

0:02:34.231,0:02:35.982
una cifra infinita di soldi,

0:02:35.982,0:02:37.979
e lui perderà sicuramente il lavoro.

0:02:37.979,0:02:39.083
Fortunatamente, si ricorda

0:02:39.083,0:02:41.814
che intorno al 300 a.C.,

0:02:41.814,0:02:44.750
Euclide provò che esiste una quantità infinita

0:02:44.750,0:02:47.215
di numeri primi.

0:02:47.215,0:02:49.684
Dunque, per svolgere questo compito[br]apparentemente impossibile

0:02:49.684,0:02:51.005
di trovare letti infiniti

0:02:51.005,0:02:52.309
per bus infiniti

0:02:52.309,0:02:54.315
di infiniti viaggiatori esausti,

0:02:54.315,0:02:56.607
il direttore notturno assegna ogni ospite attuale

0:02:56.607,0:02:59.066
al primo numero primo, 2,

0:02:59.066,0:03:01.891
elevato alla potenza del loro numero di stanza attuale.

0:03:01.891,0:03:04.559
Quindi, l'attuale occupante della stanza n°7

0:03:04.559,0:03:07.565
va alla numero 2^7,

0:03:07.565,0:03:09.930
che è la stanza 128.

0:03:09.930,0:03:11.643
Il direttore notturno poi porta le persone

0:03:11.643,0:03:13.781
del primo dei bus infiniti

0:03:13.781,0:03:15.830
e li assegna al numero di stanza

0:03:15.830,0:03:18.315
del numero primo successivo, 3,

0:03:18.315,0:03:21.752
elevato alla potenza del loro numero di sedile sul bus.

0:03:21.752,0:03:25.283
Quindi, la persona del sedile n°7 del primo bus

0:03:25.283,0:03:28.384
va nella stanza n° 3^7

0:03:28.384,0:03:31.634
o stanza 2187.

0:03:31.634,0:03:34.093
Ciò continua per tutto il primo bus.

0:03:34.093,0:03:35.765
Ai passeggeri del secondo bus

0:03:35.765,0:03:39.434
vengono assegnate le potenze del[br]numero primo successivo, 5.

0:03:39.434,0:03:41.517
Al bus successivo, le potenze del 7.

0:03:41.517,0:03:42.945
Ogni bus come segue:

0:03:42.945,0:03:43.767
potenze dell'11,

0:03:43.767,0:03:44.770
potenze del 13,

0:03:44.770,0:03:47.190
potenze del 17, ecc.

0:03:47.190,0:03:48.318
Poiché ognuno di questi numeri

0:03:48.318,0:03:50.992
è in base uno elevato

0:03:50.992,0:03:53.237
alla potenza di un numero naturale,

0:03:53.237,0:03:55.410
non ci sono numeri di stanze che si sovrappongono.

0:03:55.410,0:03:58.363
Tutti i passegeri dei bus si recano alle stanze

0:03:58.363,0:04:00.870
tramite uno schema d'assegnazione unico

0:04:00.870,0:04:03.510
basato su numeri primi unici.

0:04:03.510,0:04:05.578
In questo modo, il direttore può sistemare

0:04:05.578,0:04:07.870
ogni passeggero di ogni bus.

0:04:07.870,0:04:10.806
Tuttavia, rimarranno molte stanze vuote,

0:04:10.806,0:04:11.897
come la n°6

0:04:11.897,0:04:15.119
poiché 6 non è la potenza di nessun numero primo.

0:04:15.119,0:04:17.536
Fortunatamente, i suoi capi non erano molto bravi[br]in matematica,

0:04:17.536,0:04:19.178
quindi il suo lavoro è salvo.

0:04:19.178,0:04:22.031
Le strategie del direttore notturno [br]sono possibili solo

0:04:22.031,0:04:23.983
perché mentre l'Hotel Infinito

0:04:23.983,0:04:26.204
è sicuramente un incubo logistico,

0:04:26.204,0:04:29.981
si occupa solo del livello iniziale d'infinito,

0:04:29.981,0:04:31.746
cioè l'infinito numerabile

0:04:31.746,0:04:33.537
dei numeri naturali,

0:04:33.537,0:04:36.618
1, 2, 3, 4, e così via.

0:04:36.618,0:04:40.537
Georg Cantor ha chiamato [br]questo livello di infinito aleph-zero.

0:04:40.537,0:04:42.665
Usiamo i numeri naturali per i numeri delle stanze

0:04:42.665,0:04:44.787
così come i numeri di sedile sui bus.

0:04:45.633,0:04:48.176
Se avessimo a che fare [br]con ordini d'infinito superiori,

0:04:48.176,0:04:49.727
come quello dei numeri reali,

0:04:49.727,0:04:51.097
queste strategie articolate

0:04:51.097,0:04:52.564
non sarebbero più possibili

0:04:52.564,0:04:53.850
poiché non c'è modo

0:04:53.850,0:04:56.570
di includere sistematicamente ogni numero.

0:04:56.570,0:04:58.922
L'Hotel dei Numeri Reali Infiniti ha

0:04:58.922,0:05:00.929
stanze dai numeri negativi in cantina,

0:05:00.929,0:05:02.388
stanze frazionali,

0:05:02.388,0:05:04.508
quindi il tizio della stanza 1/2 sospetta sempre

0:05:04.508,0:05:07.205
di avere meno spazio di quello della stanza 1.

0:05:07.205,0:05:10.332
Stanze a radice quadrata, come la stanza a radicale 2

0:05:10.332,0:05:11.462
e stanza pi greco,

0:05:11.462,0:05:14.349
dove gli ospiti s'aspettano dessert gratis.

0:05:14.349,0:05:15.869
Quale direttore che si rispetti

0:05:15.869,0:05:17.172
vorrebbe mai lavorare lì

0:05:17.172,0:05:19.490
anche con uno stipendio infinito?

0:05:19.490,0:05:20.797
Ma all'Hotel Infinito di Hilbert,

0:05:20.797,0:05:22.261
dove non c'è mai posto

0:05:22.261,0:05:23.881
ma sempre spazio per altri,

0:05:23.881,0:05:26.950
gli scenari affrontati dal sempre diligente

0:05:26.950,0:05:28.720
e forse troppo ospitale direttore notturno

0:05:28.720,0:05:29.804
servono a ricordarci

0:05:29.804,0:05:31.150
quanto sia difficile

0:05:31.150,0:05:33.320
per le nostre menti relativamente finite

0:05:33.320,0:05:37.092
afferrare un concetto tanto vasto quanto l'infinito.

0:05:37.092,0:05:38.695
Forse puoi riuscire ad affrontare questi problemi

0:05:38.695,0:05:40.427
dopo una buona notte di sonno.

0:05:40.427,0:05:42.300
Ma onestamente, potresti dover

0:05:42.300,0:05:44.701
cambiare le stanze alle 2 di notte.