WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.691
در دهه ۱۹۲۰،

00:00:07.715 --> 00:00:10.184
ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت

00:00:10.208 --> 00:00:12.437
یک آزمایش ذهنی معروف ابداع کرد

00:00:12.461 --> 00:00:14.191
تا به ما نشان دهد چقدر دشوار است

00:00:14.215 --> 00:00:17.665
که ذهنمان را با مفهوم بی نهایت درگیر کنیم.

00:00:18.353 --> 00:00:21.659
یک هتل را در نظر بگیرید که بی نهایت
اتاق دارد

00:00:21.683 --> 00:00:23.988
و یک مدیر شب سخت کوش در آن
کار می کند.

00:00:24.528 --> 00:00:27.523
یک شب، هتل بی نهایت کاملا پر می شود،

00:00:27.547 --> 00:00:31.003
تمام اتاق ها توسط بی نهایت مسافر
پر شده اند.

00:00:31.027 --> 00:00:34.161
مردی وارد هتل می شود و تقاضای اتاق می کند.

00:00:34.185 --> 00:00:35.964
مدیر شب به جای اینکه او را رد کند،

00:00:35.964 --> 00:00:37.907
تصمیم می گیرد اتاقی برای او مهیا کند.

00:00:37.931 --> 00:00:38.947
چطور؟

00:00:38.971 --> 00:00:41.635
به راحتی، از مسافر اتاق ۱ می خواهد

00:00:41.659 --> 00:00:43.711
که به اتاق ۲ برود،

00:00:43.735 --> 00:00:46.056
و از مهمان اتاق ۲ می خواهد
که به اتاق ۳ برود،

00:00:46.080 --> 00:00:47.138
و به همین ترتیب.

00:00:47.449 --> 00:00:49.838
هر مهمان از اتاق شماره "n"

00:00:49.862 --> 00:00:52.179
به اتاق "n+۱" منتقل می شود.

00:00:52.721 --> 00:00:54.812
از آنجا که تعداد اتاق ها بی نهایت است،

00:00:54.836 --> 00:00:57.009
اتاقی جدید برای همه مهمان قبلی وجود دارد.

00:00:57.413 --> 00:00:59.760
این مسئله اتاق ۱ را
برای مشتری جدید خالی می کند.

00:00:59.784 --> 00:01:01.070
این روند می تواند

00:01:01.094 --> 00:01:03.511
برای هر تعداد متناهی از مهمانان
ادامه پیدا کند.

00:01:03.535 --> 00:01:07.529
اگر، مثلا، یک اتوبوس با چهل مسافر
به هتل بیایند و اتاق بخواهند،

00:01:07.553 --> 00:01:09.642
همه مهمانان هتل فقط باید

00:01:09.666 --> 00:01:10.980
از اتاق "n"

00:01:11.004 --> 00:01:13.638
به اتاق"n+۴۰" بروند،

00:01:13.662 --> 00:01:16.200
به این ترتیب، ۴۰ اتاق اول خالی می شوند.

00:01:17.157 --> 00:01:19.171
اما یک اتوبوس بی نهایت بزرگ

00:01:19.195 --> 00:01:21.744
با تعداد نا متناهی مسافر

00:01:21.768 --> 00:01:23.673
برای کرایه اتاق مراجعه می کند.

00:01:23.697 --> 00:01:25.686
کلید در تعداد نا متناهی است.

00:01:26.164 --> 00:01:28.530
حالا، اتوبوس بی نهایت با بی نهایت مسافر

00:01:28.554 --> 00:01:30.518
ابتدا مدیر را سر در گم می کند،

00:01:30.542 --> 00:01:32.130
اما او متوجه می شود که راهی هست

00:01:32.130 --> 00:01:33.649
تا به همه مسافران اتاق بدهد.

00:01:33.649 --> 00:01:36.391
او از مسافر اتاق ۱ می خواهد
تا به اتاق ۲ برود.

00:01:36.415 --> 00:01:38.527
بعد از مسافر اتاق ۲ می خواهد

00:01:38.551 --> 00:01:40.435
تا به اتاق ۴ برود،

00:01:40.459 --> 00:01:42.809
و از مسافر اتاق ۳ می خواهد
تا به اتاق ۶ برود،

00:01:42.833 --> 00:01:44.105
و به همین ترتیب.

00:01:44.129 --> 00:01:47.313
هر کدام از مسافران از اتاق "n"

00:01:47.337 --> 00:01:49.029
به اتاق "۲n" نقل مکان می کنند --

00:01:50.807 --> 00:01:54.060
و به این ترتیب بی نهایت اتاق
که شماره زوج دارند، اشغال خواهند بود.

00:01:54.084 --> 00:01:55.929
با این کار، او حالا

00:01:55.953 --> 00:01:58.867
بی نهایت اتاق با شماره فرد را
خالی کرده است،

00:01:58.891 --> 00:02:02.506
که بعد توسط مسافران اتوبوس بی نهایت
پر می شوند.

00:02:03.242 --> 00:02:06.875
همه خوشحال هستند و کار و بار هتل
از فرط رونق در حال انفجار است.

00:02:06.899 --> 00:02:10.416
خوب، در واقع، به اندازه همیشه
رونق گرفته است،

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
با در آمد بی نهایت دلار در یک شب.

00:02:14.076 --> 00:02:16.355
آوازه این هتل باور نکردنی
همه جا می پیچد.

00:02:16.379 --> 00:02:18.864
مردم از راههای دور و نزدیک
به آنجا سرازیر می شوند.

00:02:18.864 --> 00:02:20.842
یک شب، اتفاقی غیر منتظره می افتد.

00:02:20.866 --> 00:02:23.407
مدیر شب بیرون را نگاه می کند

00:02:23.431 --> 00:02:27.517
و صفی بی نهایت از اتوبوس های 
بی نهایت بزرگ می بیند،

00:02:27.541 --> 00:02:30.329
که هر کدام بی نهایت مسافر دارند.

00:02:30.353 --> 00:02:31.386
چه می تواند بکند؟

00:02:31.410 --> 00:02:34.207
اگر نتواند آنها را بپذیرد،
هتل مقدار بی نهایتی

00:02:34.231 --> 00:02:35.958
پول را از دست می دهد.

00:02:35.982 --> 00:02:37.955
و او قطعا کارش را از دست می دهد.

00:02:37.979 --> 00:02:41.790
خوشبختانه، به یاد می آورد که در حدود
سال ۳۰۰ پیش از میلاد،

00:02:41.814 --> 00:02:44.726
اقلیدس ثابت کرد که بی نهایت

00:02:44.750 --> 00:02:46.634
عدد اول وجود دارند.

00:02:47.372 --> 00:02:49.660
خوب، برای به انجام رساندن 
کار به ظاهر ناممکن

00:02:49.684 --> 00:02:52.285
پیدا کردن بی نهایت تخت 
برای بی نهایت اتوبوس

00:02:52.309 --> 00:02:54.291
با بی نهایت مسافر خسته،

00:02:54.315 --> 00:02:57.182
مدیر شب هر مسافر هتل را

00:02:57.206 --> 00:02:59.042
به اتاق با شماره اولین عدد اول، ۲،

00:02:59.066 --> 00:03:01.867
به توان شماره اتاق فعلی آنها منتقل می کند.

00:03:01.891 --> 00:03:04.535
بنابراین، مسافر فعلی اتاق شماره ۷

00:03:04.559 --> 00:03:07.541
به اتاق ۲ به توان ۷ فرستاده می شود،

00:03:07.565 --> 00:03:09.261
که می شود اتاق ۱۲۸.

00:03:10.236 --> 00:03:13.757
بعد از آن مدیر مسافران اتوبوس بی نهایت
اول را می پذیرد

00:03:13.781 --> 00:03:15.806
و آنها را به اتاق هایی با شماره

00:03:15.830 --> 00:03:18.291
عدد اول بعدی، ۳،

00:03:18.315 --> 00:03:21.728
به توان شماره صندلی آنها
در اتوبوس می فرستد.

00:03:21.752 --> 00:03:25.259
پس، کسی که روی صندلی شماره ۷
در اتوبوس اول نشسته بود

00:03:25.283 --> 00:03:28.360
به اتاق ۳ به توان ۷ فرستاده می شود

00:03:28.384 --> 00:03:31.610
یا همان اتاق ۲،۱۸۷.

00:03:31.634 --> 00:03:34.069
همین کار برای تمام مسافران اتوبوس اول
انجام می شود.

00:03:34.093 --> 00:03:35.741
مسافران اتوبوس دوم

00:03:35.765 --> 00:03:39.410
به اتاقهای با شماره توان های
عدد اول بعدی، ۵، فرستاده می شوند.

00:03:39.434 --> 00:03:41.493
اتوبوس بعدی، به توان های ۷.

00:03:41.517 --> 00:03:42.921
اتوبوس های بعدی:

00:03:42.945 --> 00:03:44.746
توان های ۱۱، توان های ۱۳،

00:03:44.770 --> 00:03:46.799
توان های ۱۷ و به همین ترتیب.

00:03:47.370 --> 00:03:49.019
از آنجا که هر کدام از این عدد ها

00:03:49.019 --> 00:03:50.968
تنها دارای عوامل ۱ و توان های طبیعی

00:03:50.992 --> 00:03:53.213
عدد اول پایه خود هستند،

00:03:53.237 --> 00:03:55.626
هیچ هم پوشانی بین شماره اتاق ها
وجود نخواهد داشت.

00:03:55.626 --> 00:03:57.253
همه مسافران اتوبوس ها

00:03:57.253 --> 00:03:59.720
با استفاده از روش اختصاص اتاق واحد

00:03:59.720 --> 00:04:03.486
بر اساس اعداد اول خاص،
در اتاق ها گنجانده می شوند

00:04:03.510 --> 00:04:05.701
به این طریق، مدیر شب می تواند

00:04:05.725 --> 00:04:07.846
همه مسافران همه اتوبوس ها را
اسکان دهد.

00:04:07.870 --> 00:04:11.064
با این حال، تعداد زیادی از اتاق ها
خالی می مانند،

00:04:11.088 --> 00:04:12.356
مانند اتاق 6،

00:04:12.380 --> 00:04:15.095
چون ۶ توان هیچ عدد اولی نیست.

00:04:15.119 --> 00:04:17.512
خوشبختانه، روسای او در ریاضی
زیاد خوب نیستند،

00:04:17.536 --> 00:04:18.875
پس شغل او در امان است.

00:04:19.507 --> 00:04:22.347
روش استفاده شده توسط مدیرهتل
تنها به این دلیل امکان پذیر است

00:04:22.347 --> 00:04:26.624
که هتل بی نهایت در واقع
یک کابوس منطقی است

00:04:26.648 --> 00:04:29.957
و تنها با پایین ترین درجه بی نهایت
سر و کار دارد،

00:04:29.981 --> 00:04:33.513
به طور کلی،
بی نهایت قابل شمارش اعداد طبیعی

00:04:33.537 --> 00:04:36.594
۱، ۲، ۳، ۴ و به همین ترتیب.

00:04:36.618 --> 00:04:40.513
گئورگ کانتور این درجه بی نهایت را
الف-صفر می خواند.

00:04:40.945 --> 00:04:43.612
ما برای شماره اتاق ها از
اعداد طبیعی استفاده می کنیم

00:04:43.612 --> 00:04:45.188
همانطور که برای صندلی اتوبوس ها.

00:04:45.913 --> 00:04:48.252
اگر با درجه بالاتری از بی نهایت
سر و کار داشتیم،

00:04:48.276 --> 00:04:49.848
مثل بی نهایت در اعداد حقیقی،

00:04:49.872 --> 00:04:52.844
این روش های ساختاری دیگر
پاسخگو نخواهند بود

00:04:52.868 --> 00:04:56.655
و هیچ روش قاعده مندی برای
در بر گرفتن همه اعداد وجود نخواهد داشت.

00:04:57.002 --> 00:04:58.803
هتل بی نهایت عدد حقیقی

00:04:58.827 --> 00:05:00.905
دارای اتاقهایی با شماره منفی
در زیر زمین،

00:05:00.929 --> 00:05:02.364
و اتاق های کسری است،

00:05:02.388 --> 00:05:04.484
پس کسی که در اتاق ۱/۲ قرار دارد

00:05:04.508 --> 00:05:07.181
همیشه مشکوک است که اتاقش
کوچک تر از اتاق ۱ است.

00:05:07.205 --> 00:05:10.308
اتاقهای رادیکالی، مثل اتاق رادیکال ۲،

00:05:10.332 --> 00:05:11.438
و اتاق عدد پی،

00:05:11.462 --> 00:05:14.325
جایی است که مهمان ها توقع دسر مجانی دارند.

00:05:14.349 --> 00:05:17.374
کدام مدیر هتلی که به خودش احترام بگذارد
حاضر می شود آنجا کار کند

00:05:17.398 --> 00:05:19.005
حتی با حقوق بی نهایت؟

00:05:19.029 --> 00:05:20.918
اما گذشته از هتل بی نهایت هیلبرت،

00:05:20.942 --> 00:05:22.420
که هیچ وقت هیچ جای خالی ندارد

00:05:22.444 --> 00:05:24.264
و همیشه اتاق برای مسافر بیشتر هست،

00:05:24.264 --> 00:05:26.926
داستان با یک مدیر هتل همیشه سخت کوش

00:05:26.950 --> 00:05:28.760
و شاید بیش از حد مهمان نواز همراه بود

00:05:28.784 --> 00:05:31.490
تا به ما یادآوری کند که چقدر سخت است

00:05:31.514 --> 00:05:33.905
که ما ذهن نسبتا متناهی خود را

00:05:33.929 --> 00:05:36.767
با مفهومی به بزرگی بی نهایت درگیر کنیم.

00:05:37.132 --> 00:05:39.083
شاید شما بعد از یک خواب شبانه خوب

00:05:39.107 --> 00:05:40.853
بتوانید در حل این مسائل کمک کنید.

00:05:40.853 --> 00:05:42.436
اما صادقانه، ما احتمالا به شما

00:05:42.436 --> 00:05:45.176
برای عوض کردن اتاق ها ساعت ۲ صبح
احتیاج داریم.