در دهه ۱۹۲۰،
ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت
یک آزمایش ذهنی معروف ابداع کرد
تا به ما نشان دهد چقدر دشوار است
که ذهنمان را با مفهوم بی نهایت درگیر کنیم.
یک هتل را در نظر بگیرید که بی نهایت اتاق دارد
و یک مدیر شب سخت کوش در آن کار می کند.
یک شب، هتل بی نهایت کاملا پر می شود،
تمام اتاق ها توسط بی نهایت مسافر پر شده اند.
مردی وارد هتل می شود و تقاضای اتاق می کند.
مدیر شب به جای اینکه او را رد کند،
تصمیم می گیرد اتاقی برای او مهیا کند.
چطور؟
به راحتی، از مسافر اتاق ۱ می خواهد
که به اتاق ۲ برود،
و از مهمان اتاق ۲ می خواهد که به اتاق ۳ برود،
و به همین ترتیب.
هر مهمان از اتاق شماره "n"
به اتاق "n+۱" منتقل می شود.
از آنجا که تعداد اتاق ها بی نهایت است،
اتاقی جدید برای همه مهمان قبلی وجود دارد.
این مسئله اتاق ۱ را برای مشتری جدید خالی می کند.
این روند می تواند
برای هر تعداد متناهی از مهمانان ادامه پیدا کند.
اگر، مثلا، یک اتوبوس با چهل مسافر به هتل بیایند و اتاق بخواهند،
همه مهمانان هتل فقط باید
از اتاق "n"
به اتاق"n+۴۰" بروند،
به این ترتیب، ۴۰ اتاق اول خالی می شوند.
اما یک اتوبوس بی نهایت بزرگ
با تعداد نا متناهی مسافر
برای کرایه اتاق مراجعه می کند.
کلید در تعداد نا متناهی است.
حالا، اتوبوس بی نهایت با بی نهایت مسافر
ابتدا مدیر را سر در گم می کند،
اما او متوجه می شود که راهی هست
تا به همه مسافران اتاق بدهد.
او از مسافر اتاق ۱ می خواهد تا به اتاق ۲ برود.
بعد از مسافر اتاق ۲ می خواهد
تا به اتاق ۴ برود،
و از مسافر اتاق ۳ می خواهد تا به اتاق ۶ برود،
و به همین ترتیب.
هر کدام از مسافران از اتاق "n"
به اتاق "۲n" نقل مکان می کنند --
و به این ترتیب بی نهایت اتاق که شماره زوج دارند، اشغال خواهند بود.
با این کار، او حالا
بی نهایت اتاق با شماره فرد را خالی کرده است،
که بعد توسط مسافران اتوبوس بی نهایت پر می شوند.
همه خوشحال هستند و کار و بار هتل از فرط رونق در حال انفجار است.
خوب، در واقع، به اندازه همیشه رونق گرفته است،
با در آمد بی نهایت دلار در یک شب.
آوازه این هتل باور نکردنی همه جا می پیچد.
مردم از راههای دور و نزدیک به آنجا سرازیر می شوند.
یک شب، اتفاقی غیر منتظره می افتد.
مدیر شب بیرون را نگاه می کند
و صفی بی نهایت از اتوبوس های بی نهایت بزرگ می بیند،
که هر کدام بی نهایت مسافر دارند.
چه می تواند بکند؟
اگر نتواند آنها را بپذیرد، هتل مقدار بی نهایتی
پول را از دست می دهد.
و او قطعا کارش را از دست می دهد.
خوشبختانه، به یاد می آورد که در حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد،
اقلیدس ثابت کرد که بی نهایت
عدد اول وجود دارند.
خوب، برای به انجام رساندن کار به ظاهر ناممکن
پیدا کردن بی نهایت تخت برای بی نهایت اتوبوس
با بی نهایت مسافر خسته،
مدیر شب هر مسافر هتل را
به اتاق با شماره اولین عدد اول، ۲،
به توان شماره اتاق فعلی آنها منتقل می کند.
بنابراین، مسافر فعلی اتاق شماره ۷
به اتاق ۲ به توان ۷ فرستاده می شود،
که می شود اتاق ۱۲۸.
بعد از آن مدیر مسافران اتوبوس بی نهایت اول را می پذیرد
و آنها را به اتاق هایی با شماره
عدد اول بعدی، ۳،
به توان شماره صندلی آنها در اتوبوس می فرستد.
پس، کسی که روی صندلی شماره ۷ در اتوبوس اول نشسته بود
به اتاق ۳ به توان ۷ فرستاده می شود
یا همان اتاق ۲،۱۸۷.
همین کار برای تمام مسافران اتوبوس اول انجام می شود.
مسافران اتوبوس دوم
به اتاقهای با شماره توان های عدد اول بعدی، ۵، فرستاده می شوند.
اتوبوس بعدی، به توان های ۷.
اتوبوس های بعدی:
توان های ۱۱، توان های ۱۳،
توان های ۱۷ و به همین ترتیب.
از آنجا که هر کدام از این عدد ها
تنها دارای عوامل ۱ و توان های طبیعی
عدد اول پایه خود هستند،
هیچ هم پوشانی بین شماره اتاق ها وجود نخواهد داشت.
همه مسافران اتوبوس ها
با استفاده از روش اختصاص اتاق واحد
بر اساس اعداد اول خاص، در اتاق ها گنجانده می شوند
به این طریق، مدیر شب می تواند
همه مسافران همه اتوبوس ها را اسکان دهد.
با این حال، تعداد زیادی از اتاق ها خالی می مانند،
مانند اتاق 6،
چون ۶ توان هیچ عدد اولی نیست.
خوشبختانه، روسای او در ریاضی زیاد خوب نیستند،
پس شغل او در امان است.
روش استفاده شده توسط مدیرهتل تنها به این دلیل امکان پذیر است
که هتل بی نهایت در واقع یک کابوس منطقی است
و تنها با پایین ترین درجه بی نهایت سر و کار دارد،
به طور کلی، بی نهایت قابل شمارش اعداد طبیعی
۱، ۲، ۳، ۴ و به همین ترتیب.
گئورگ کانتور این درجه بی نهایت را الف-صفر می خواند.
ما برای شماره اتاق ها از اعداد طبیعی استفاده می کنیم
همانطور که برای صندلی اتوبوس ها.
اگر با درجه بالاتری از بی نهایت سر و کار داشتیم،
مثل بی نهایت در اعداد حقیقی،
این روش های ساختاری دیگر پاسخگو نخواهند بود
و هیچ روش قاعده مندی برای در بر گرفتن همه اعداد وجود نخواهد داشت.
هتل بی نهایت عدد حقیقی
دارای اتاقهایی با شماره منفی در زیر زمین،
و اتاق های کسری است،
پس کسی که در اتاق ۱/۲ قرار دارد
همیشه مشکوک است که اتاقش کوچک تر از اتاق ۱ است.
اتاقهای رادیکالی، مثل اتاق رادیکال ۲،
و اتاق عدد پی،
جایی است که مهمان ها توقع دسر مجانی دارند.
کدام مدیر هتلی که به خودش احترام بگذارد حاضر می شود آنجا کار کند
حتی با حقوق بی نهایت؟
اما گذشته از هتل بی نهایت هیلبرت،
که هیچ وقت هیچ جای خالی ندارد
و همیشه اتاق برای مسافر بیشتر هست،
داستان با یک مدیر هتل همیشه سخت کوش
و شاید بیش از حد مهمان نواز همراه بود
تا به ما یادآوری کند که چقدر سخت است
که ما ذهن نسبتا متناهی خود را
با مفهومی به بزرگی بی نهایت درگیر کنیم.
شاید شما بعد از یک خواب شبانه خوب
بتوانید در حل این مسائل کمک کنید.
اما صادقانه، ما احتمالا به شما
برای عوض کردن اتاق ها ساعت ۲ صبح احتیاج داریم.