1
00:00:06,531 --> 00:00:07,691
در دهه ۱۹۲۰،

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,184
ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,437
یک آزمایش ذهنی معروف ابداع کرد

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,191
تا به ما نشان دهد چقدر دشوار است

5
00:00:14,215 --> 00:00:17,665
که ذهنمان را با مفهوم بی نهایت درگیر کنیم.

6
00:00:18,353 --> 00:00:21,659
یک هتل را در نظر بگیرید که بی نهایت
اتاق دارد

7
00:00:21,683 --> 00:00:23,988
و یک مدیر شب سخت کوش در آن
کار می کند.

8
00:00:24,528 --> 00:00:27,523
یک شب، هتل بی نهایت کاملا پر می شود،

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,003
تمام اتاق ها توسط بی نهایت مسافر
پر شده اند.

10
00:00:31,027 --> 00:00:34,161
مردی وارد هتل می شود و تقاضای اتاق می کند.

11
00:00:34,185 --> 00:00:35,964
مدیر شب به جای اینکه او را رد کند،

12
00:00:35,964 --> 00:00:37,907
تصمیم می گیرد اتاقی برای او مهیا کند.

13
00:00:37,931 --> 00:00:38,947
چطور؟

14
00:00:38,971 --> 00:00:41,635
به راحتی، از مسافر اتاق ۱ می خواهد

15
00:00:41,659 --> 00:00:43,711
که به اتاق ۲ برود،

16
00:00:43,735 --> 00:00:46,056
و از مهمان اتاق ۲ می خواهد
که به اتاق ۳ برود،

17
00:00:46,080 --> 00:00:47,138
و به همین ترتیب.

18
00:00:47,449 --> 00:00:49,838
هر مهمان از اتاق شماره "n"

19
00:00:49,862 --> 00:00:52,179
به اتاق "n+۱" منتقل می شود.

20
00:00:52,721 --> 00:00:54,812
از آنجا که تعداد اتاق ها بی نهایت است،

21
00:00:54,836 --> 00:00:57,009
اتاقی جدید برای همه مهمان قبلی وجود دارد.

22
00:00:57,413 --> 00:00:59,760
این مسئله اتاق ۱ را
برای مشتری جدید خالی می کند.

23
00:00:59,784 --> 00:01:01,070
این روند می تواند

24
00:01:01,094 --> 00:01:03,511
برای هر تعداد متناهی از مهمانان
ادامه پیدا کند.

25
00:01:03,535 --> 00:01:07,529
اگر، مثلا، یک اتوبوس با چهل مسافر
به هتل بیایند و اتاق بخواهند،

26
00:01:07,553 --> 00:01:09,642
همه مهمانان هتل فقط باید

27
00:01:09,666 --> 00:01:10,980
از اتاق "n"

28
00:01:11,004 --> 00:01:13,638
به اتاق"n+۴۰" بروند،

29
00:01:13,662 --> 00:01:16,200
به این ترتیب، ۴۰ اتاق اول خالی می شوند.

30
00:01:17,157 --> 00:01:19,171
اما یک اتوبوس بی نهایت بزرگ

31
00:01:19,195 --> 00:01:21,744
با تعداد نا متناهی مسافر

32
00:01:21,768 --> 00:01:23,673
برای کرایه اتاق مراجعه می کند.

33
00:01:23,697 --> 00:01:25,686
کلید در تعداد نا متناهی است.

34
00:01:26,164 --> 00:01:28,530
حالا، اتوبوس بی نهایت با بی نهایت مسافر

35
00:01:28,554 --> 00:01:30,518
ابتدا مدیر را سر در گم می کند،

36
00:01:30,542 --> 00:01:32,130
اما او متوجه می شود که راهی هست

37
00:01:32,130 --> 00:01:33,649
تا به همه مسافران اتاق بدهد.

38
00:01:33,649 --> 00:01:36,391
او از مسافر اتاق ۱ می خواهد
تا به اتاق ۲ برود.

39
00:01:36,415 --> 00:01:38,527
بعد از مسافر اتاق ۲ می خواهد

40
00:01:38,551 --> 00:01:40,435
تا به اتاق ۴ برود،

41
00:01:40,459 --> 00:01:42,809
و از مسافر اتاق ۳ می خواهد
تا به اتاق ۶ برود،

42
00:01:42,833 --> 00:01:44,105
و به همین ترتیب.

43
00:01:44,129 --> 00:01:47,313
هر کدام از مسافران از اتاق "n"

44
00:01:47,337 --> 00:01:49,029
به اتاق "۲n" نقل مکان می کنند --

45
00:01:50,807 --> 00:01:54,060
و به این ترتیب بی نهایت اتاق
که شماره زوج دارند، اشغال خواهند بود.

46
00:01:54,084 --> 00:01:55,929
با این کار، او حالا

47
00:01:55,953 --> 00:01:58,867
بی نهایت اتاق با شماره فرد را
خالی کرده است،

48
00:01:58,891 --> 00:02:02,506
که بعد توسط مسافران اتوبوس بی نهایت
پر می شوند.

49
00:02:03,242 --> 00:02:06,875
همه خوشحال هستند و کار و بار هتل
از فرط رونق در حال انفجار است.

50
00:02:06,899 --> 00:02:10,416
خوب، در واقع، به اندازه همیشه
رونق گرفته است،

51
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
با در آمد بی نهایت دلار در یک شب.

52
00:02:14,076 --> 00:02:16,355
آوازه این هتل باور نکردنی
همه جا می پیچد.

53
00:02:16,379 --> 00:02:18,864
مردم از راههای دور و نزدیک
به آنجا سرازیر می شوند.

54
00:02:18,864 --> 00:02:20,842
یک شب، اتفاقی غیر منتظره می افتد.

55
00:02:20,866 --> 00:02:23,407
مدیر شب بیرون را نگاه می کند

56
00:02:23,431 --> 00:02:27,517
و صفی بی نهایت از اتوبوس های 
بی نهایت بزرگ می بیند،

57
00:02:27,541 --> 00:02:30,329
که هر کدام بی نهایت مسافر دارند.

58
00:02:30,353 --> 00:02:31,386
چه می تواند بکند؟

59
00:02:31,410 --> 00:02:34,207
اگر نتواند آنها را بپذیرد،
هتل مقدار بی نهایتی

60
00:02:34,231 --> 00:02:35,958
پول را از دست می دهد.

61
00:02:35,982 --> 00:02:37,955
و او قطعا کارش را از دست می دهد.

62
00:02:37,979 --> 00:02:41,790
خوشبختانه، به یاد می آورد که در حدود
سال ۳۰۰ پیش از میلاد،

63
00:02:41,814 --> 00:02:44,726
اقلیدس ثابت کرد که بی نهایت

64
00:02:44,750 --> 00:02:46,634
عدد اول وجود دارند.

65
00:02:47,372 --> 00:02:49,660
خوب، برای به انجام رساندن 
کار به ظاهر ناممکن

66
00:02:49,684 --> 00:02:52,285
پیدا کردن بی نهایت تخت 
برای بی نهایت اتوبوس

67
00:02:52,309 --> 00:02:54,291
با بی نهایت مسافر خسته،

68
00:02:54,315 --> 00:02:57,182
مدیر شب هر مسافر هتل را

69
00:02:57,206 --> 00:02:59,042
به اتاق با شماره اولین عدد اول، ۲،

70
00:02:59,066 --> 00:03:01,867
به توان شماره اتاق فعلی آنها منتقل می کند.

71
00:03:01,891 --> 00:03:04,535
بنابراین، مسافر فعلی اتاق شماره ۷

72
00:03:04,559 --> 00:03:07,541
به اتاق ۲ به توان ۷ فرستاده می شود،

73
00:03:07,565 --> 00:03:09,261
که می شود اتاق ۱۲۸.

74
00:03:10,236 --> 00:03:13,757
بعد از آن مدیر مسافران اتوبوس بی نهایت
اول را می پذیرد

75
00:03:13,781 --> 00:03:15,806
و آنها را به اتاق هایی با شماره

76
00:03:15,830 --> 00:03:18,291
عدد اول بعدی، ۳،

77
00:03:18,315 --> 00:03:21,728
به توان شماره صندلی آنها
در اتوبوس می فرستد.

78
00:03:21,752 --> 00:03:25,259
پس، کسی که روی صندلی شماره ۷
در اتوبوس اول نشسته بود

79
00:03:25,283 --> 00:03:28,360
به اتاق ۳ به توان ۷ فرستاده می شود

80
00:03:28,384 --> 00:03:31,610
یا همان اتاق ۲،۱۸۷.

81
00:03:31,634 --> 00:03:34,069
همین کار برای تمام مسافران اتوبوس اول
انجام می شود.

82
00:03:34,093 --> 00:03:35,741
مسافران اتوبوس دوم

83
00:03:35,765 --> 00:03:39,410
به اتاقهای با شماره توان های
عدد اول بعدی، ۵، فرستاده می شوند.

84
00:03:39,434 --> 00:03:41,493
اتوبوس بعدی، به توان های ۷.

85
00:03:41,517 --> 00:03:42,921
اتوبوس های بعدی:

86
00:03:42,945 --> 00:03:44,746
توان های ۱۱، توان های ۱۳،

87
00:03:44,770 --> 00:03:46,799
توان های ۱۷ و به همین ترتیب.

88
00:03:47,370 --> 00:03:49,019
از آنجا که هر کدام از این عدد ها

89
00:03:49,019 --> 00:03:50,968
تنها دارای عوامل ۱ و توان های طبیعی

90
00:03:50,992 --> 00:03:53,213
عدد اول پایه خود هستند،

91
00:03:53,237 --> 00:03:55,626
هیچ هم پوشانی بین شماره اتاق ها
وجود نخواهد داشت.

92
00:03:55,626 --> 00:03:57,253
همه مسافران اتوبوس ها

93
00:03:57,253 --> 00:03:59,720
با استفاده از روش اختصاص اتاق واحد

94
00:03:59,720 --> 00:04:03,486
بر اساس اعداد اول خاص،
در اتاق ها گنجانده می شوند

95
00:04:03,510 --> 00:04:05,701
به این طریق، مدیر شب می تواند

96
00:04:05,725 --> 00:04:07,846
همه مسافران همه اتوبوس ها را
اسکان دهد.

97
00:04:07,870 --> 00:04:11,064
با این حال، تعداد زیادی از اتاق ها
خالی می مانند،

98
00:04:11,088 --> 00:04:12,356
مانند اتاق 6،

99
00:04:12,380 --> 00:04:15,095
چون ۶ توان هیچ عدد اولی نیست.

100
00:04:15,119 --> 00:04:17,512
خوشبختانه، روسای او در ریاضی
زیاد خوب نیستند،

101
00:04:17,536 --> 00:04:18,875
پس شغل او در امان است.

102
00:04:19,507 --> 00:04:22,347
روش استفاده شده توسط مدیرهتل
تنها به این دلیل امکان پذیر است

103
00:04:22,347 --> 00:04:26,624
که هتل بی نهایت در واقع
یک کابوس منطقی است

104
00:04:26,648 --> 00:04:29,957
و تنها با پایین ترین درجه بی نهایت
سر و کار دارد،

105
00:04:29,981 --> 00:04:33,513
به طور کلی،
بی نهایت قابل شمارش اعداد طبیعی

106
00:04:33,537 --> 00:04:36,594
۱، ۲، ۳، ۴ و به همین ترتیب.

107
00:04:36,618 --> 00:04:40,513
گئورگ کانتور این درجه بی نهایت را
الف-صفر می خواند.

108
00:04:40,945 --> 00:04:43,612
ما برای شماره اتاق ها از
اعداد طبیعی استفاده می کنیم

109
00:04:43,612 --> 00:04:45,188
همانطور که برای صندلی اتوبوس ها.

110
00:04:45,913 --> 00:04:48,252
اگر با درجه بالاتری از بی نهایت
سر و کار داشتیم،

111
00:04:48,276 --> 00:04:49,848
مثل بی نهایت در اعداد حقیقی،

112
00:04:49,872 --> 00:04:52,844
این روش های ساختاری دیگر
پاسخگو نخواهند بود

113
00:04:52,868 --> 00:04:56,655
و هیچ روش قاعده مندی برای
در بر گرفتن همه اعداد وجود نخواهد داشت.

114
00:04:57,002 --> 00:04:58,803
هتل بی نهایت عدد حقیقی

115
00:04:58,827 --> 00:05:00,905
دارای اتاقهایی با شماره منفی
در زیر زمین،

116
00:05:00,929 --> 00:05:02,364
و اتاق های کسری است،

117
00:05:02,388 --> 00:05:04,484
پس کسی که در اتاق ۱/۲ قرار دارد

118
00:05:04,508 --> 00:05:07,181
همیشه مشکوک است که اتاقش
کوچک تر از اتاق ۱ است.

119
00:05:07,205 --> 00:05:10,308
اتاقهای رادیکالی، مثل اتاق رادیکال ۲،

120
00:05:10,332 --> 00:05:11,438
و اتاق عدد پی،

121
00:05:11,462 --> 00:05:14,325
جایی است که مهمان ها توقع دسر مجانی دارند.

122
00:05:14,349 --> 00:05:17,374
کدام مدیر هتلی که به خودش احترام بگذارد
حاضر می شود آنجا کار کند

123
00:05:17,398 --> 00:05:19,005
حتی با حقوق بی نهایت؟

124
00:05:19,029 --> 00:05:20,918
اما گذشته از هتل بی نهایت هیلبرت،

125
00:05:20,942 --> 00:05:22,420
که هیچ وقت هیچ جای خالی ندارد

126
00:05:22,444 --> 00:05:24,264
و همیشه اتاق برای مسافر بیشتر هست،

127
00:05:24,264 --> 00:05:26,926
داستان با یک مدیر هتل همیشه سخت کوش

128
00:05:26,950 --> 00:05:28,760
و شاید بیش از حد مهمان نواز همراه بود

129
00:05:28,784 --> 00:05:31,490
تا به ما یادآوری کند که چقدر سخت است

130
00:05:31,514 --> 00:05:33,905
که ما ذهن نسبتا متناهی خود را

131
00:05:33,929 --> 00:05:36,767
با مفهومی به بزرگی بی نهایت درگیر کنیم.

132
00:05:37,132 --> 00:05:39,083
شاید شما بعد از یک خواب شبانه خوب

133
00:05:39,107 --> 00:05:40,853
بتوانید در حل این مسائل کمک کنید.

134
00:05:40,853 --> 00:05:42,436
اما صادقانه، ما احتمالا به شما

135
00:05:42,436 --> 00:05:45,176
برای عوض کردن اتاق ها ساعت ۲ صبح
احتیاج داریم.