0:00:06.531,0:00:07.691
در دهه ۱۹۲۰،

0:00:07.715,0:00:10.184
ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت

0:00:10.208,0:00:12.437
یک آزمایش ذهنی معروف ابداع کرد

0:00:12.461,0:00:14.191
تا به ما نشان دهد چقدر دشوار است

0:00:14.215,0:00:17.665
که ذهنمان را با مفهوم بی نهایت درگیر کنیم.

0:00:18.353,0:00:21.659
یک هتل را در نظر بگیرید که بی نهایت[br]اتاق دارد

0:00:21.683,0:00:23.988
و یک مدیر شب سخت کوش در آن[br]کار می کند.

0:00:24.528,0:00:27.523
یک شب، هتل بی نهایت کاملا پر می شود،

0:00:27.547,0:00:31.003
تمام اتاق ها توسط بی نهایت مسافر[br]پر شده اند.

0:00:31.027,0:00:34.161
مردی وارد هتل می شود و تقاضای اتاق می کند.

0:00:34.185,0:00:35.964
مدیر شب به جای اینکه او را رد کند،

0:00:35.964,0:00:37.907
تصمیم می گیرد اتاقی برای او مهیا کند.

0:00:37.931,0:00:38.947
چطور؟

0:00:38.971,0:00:41.635
به راحتی، از مسافر اتاق ۱ می خواهد

0:00:41.659,0:00:43.711
که به اتاق ۲ برود،

0:00:43.735,0:00:46.056
و از مهمان اتاق ۲ می خواهد[br]که به اتاق ۳ برود،

0:00:46.080,0:00:47.138
و به همین ترتیب.

0:00:47.449,0:00:49.838
هر مهمان از اتاق شماره "n"

0:00:49.862,0:00:52.179
به اتاق "n+۱" منتقل می شود.

0:00:52.721,0:00:54.812
از آنجا که تعداد اتاق ها بی نهایت است،

0:00:54.836,0:00:57.009
اتاقی جدید برای همه مهمان قبلی وجود دارد.

0:00:57.413,0:00:59.760
این مسئله اتاق ۱ را[br]برای مشتری جدید خالی می کند.

0:00:59.784,0:01:01.070
این روند می تواند

0:01:01.094,0:01:03.511
برای هر تعداد متناهی از مهمانان[br]ادامه پیدا کند.

0:01:03.535,0:01:07.529
اگر، مثلا، یک اتوبوس با چهل مسافر[br]به هتل بیایند و اتاق بخواهند،

0:01:07.553,0:01:09.642
همه مهمانان هتل فقط باید

0:01:09.666,0:01:10.980
از اتاق "n"

0:01:11.004,0:01:13.638
به اتاق"n+۴۰" بروند،

0:01:13.662,0:01:16.200
به این ترتیب، ۴۰ اتاق اول خالی می شوند.

0:01:17.157,0:01:19.171
اما یک اتوبوس بی نهایت بزرگ

0:01:19.195,0:01:21.744
با تعداد نا متناهی مسافر

0:01:21.768,0:01:23.673
برای کرایه اتاق مراجعه می کند.

0:01:23.697,0:01:25.686
کلید در تعداد نا متناهی است.

0:01:26.164,0:01:28.530
حالا، اتوبوس بی نهایت با بی نهایت مسافر

0:01:28.554,0:01:30.518
ابتدا مدیر را سر در گم می کند،

0:01:30.542,0:01:32.130
اما او متوجه می شود که راهی هست

0:01:32.130,0:01:33.649
تا به همه مسافران اتاق بدهد.

0:01:33.649,0:01:36.391
او از مسافر اتاق ۱ می خواهد[br]تا به اتاق ۲ برود.

0:01:36.415,0:01:38.527
بعد از مسافر اتاق ۲ می خواهد

0:01:38.551,0:01:40.435
تا به اتاق ۴ برود،

0:01:40.459,0:01:42.809
و از مسافر اتاق ۳ می خواهد[br]تا به اتاق ۶ برود،

0:01:42.833,0:01:44.105
و به همین ترتیب.

0:01:44.129,0:01:47.313
هر کدام از مسافران از اتاق "n"

0:01:47.337,0:01:49.029
به اتاق "۲n" نقل مکان می کنند --

0:01:50.807,0:01:54.060
و به این ترتیب بی نهایت اتاق[br]که شماره زوج دارند، اشغال خواهند بود.

0:01:54.084,0:01:55.929
با این کار، او حالا

0:01:55.953,0:01:58.867
بی نهایت اتاق با شماره فرد را[br]خالی کرده است،

0:01:58.891,0:02:02.506
که بعد توسط مسافران اتوبوس بی نهایت[br]پر می شوند.

0:02:03.242,0:02:06.875
همه خوشحال هستند و کار و بار هتل[br]از فرط رونق در حال انفجار است.

0:02:06.899,0:02:10.416
خوب، در واقع، به اندازه همیشه[br]رونق گرفته است،

0:02:10.440,0:02:12.923
با در آمد بی نهایت دلار در یک شب.

0:02:14.076,0:02:16.355
آوازه این هتل باور نکردنی[br]همه جا می پیچد.

0:02:16.379,0:02:18.864
مردم از راههای دور و نزدیک[br]به آنجا سرازیر می شوند.

0:02:18.864,0:02:20.842
یک شب، اتفاقی غیر منتظره می افتد.

0:02:20.866,0:02:23.407
مدیر شب بیرون را نگاه می کند

0:02:23.431,0:02:27.517
و صفی بی نهایت از اتوبوس های [br]بی نهایت بزرگ می بیند،

0:02:27.541,0:02:30.329
که هر کدام بی نهایت مسافر دارند.

0:02:30.353,0:02:31.386
چه می تواند بکند؟

0:02:31.410,0:02:34.207
اگر نتواند آنها را بپذیرد،[br]هتل مقدار بی نهایتی

0:02:34.231,0:02:35.958
پول را از دست می دهد.

0:02:35.982,0:02:37.955
و او قطعا کارش را از دست می دهد.

0:02:37.979,0:02:41.790
خوشبختانه، به یاد می آورد که در حدود[br]سال ۳۰۰ پیش از میلاد،

0:02:41.814,0:02:44.726
اقلیدس ثابت کرد که بی نهایت

0:02:44.750,0:02:46.634
عدد اول وجود دارند.

0:02:47.372,0:02:49.660
خوب، برای به انجام رساندن [br]کار به ظاهر ناممکن

0:02:49.684,0:02:52.285
پیدا کردن بی نهایت تخت [br]برای بی نهایت اتوبوس

0:02:52.309,0:02:54.291
با بی نهایت مسافر خسته،

0:02:54.315,0:02:57.182
مدیر شب هر مسافر هتل را

0:02:57.206,0:02:59.042
به اتاق با شماره اولین عدد اول، ۲،

0:02:59.066,0:03:01.867
به توان شماره اتاق فعلی آنها منتقل می کند.

0:03:01.891,0:03:04.535
بنابراین، مسافر فعلی اتاق شماره ۷

0:03:04.559,0:03:07.541
به اتاق ۲ به توان ۷ فرستاده می شود،

0:03:07.565,0:03:09.261
که می شود اتاق ۱۲۸.

0:03:10.236,0:03:13.757
بعد از آن مدیر مسافران اتوبوس بی نهایت[br]اول را می پذیرد

0:03:13.781,0:03:15.806
و آنها را به اتاق هایی با شماره

0:03:15.830,0:03:18.291
عدد اول بعدی، ۳،

0:03:18.315,0:03:21.728
به توان شماره صندلی آنها[br]در اتوبوس می فرستد.

0:03:21.752,0:03:25.259
پس، کسی که روی صندلی شماره ۷[br]در اتوبوس اول نشسته بود

0:03:25.283,0:03:28.360
به اتاق ۳ به توان ۷ فرستاده می شود

0:03:28.384,0:03:31.610
یا همان اتاق ۲،۱۸۷.

0:03:31.634,0:03:34.069
همین کار برای تمام مسافران اتوبوس اول[br]انجام می شود.

0:03:34.093,0:03:35.741
مسافران اتوبوس دوم

0:03:35.765,0:03:39.410
به اتاقهای با شماره توان های[br]عدد اول بعدی، ۵، فرستاده می شوند.

0:03:39.434,0:03:41.493
اتوبوس بعدی، به توان های ۷.

0:03:41.517,0:03:42.921
اتوبوس های بعدی:

0:03:42.945,0:03:44.746
توان های ۱۱، توان های ۱۳،

0:03:44.770,0:03:46.799
توان های ۱۷ و به همین ترتیب.

0:03:47.370,0:03:49.019
از آنجا که هر کدام از این عدد ها

0:03:49.019,0:03:50.968
تنها دارای عوامل ۱ و توان های طبیعی

0:03:50.992,0:03:53.213
عدد اول پایه خود هستند،

0:03:53.237,0:03:55.626
هیچ هم پوشانی بین شماره اتاق ها[br]وجود نخواهد داشت.

0:03:55.626,0:03:57.253
همه مسافران اتوبوس ها

0:03:57.253,0:03:59.720
با استفاده از روش اختصاص اتاق واحد

0:03:59.720,0:04:03.486
بر اساس اعداد اول خاص،[br]در اتاق ها گنجانده می شوند

0:04:03.510,0:04:05.701
به این طریق، مدیر شب می تواند

0:04:05.725,0:04:07.846
همه مسافران همه اتوبوس ها را[br]اسکان دهد.

0:04:07.870,0:04:11.064
با این حال، تعداد زیادی از اتاق ها[br]خالی می مانند،

0:04:11.088,0:04:12.356
مانند اتاق 6،

0:04:12.380,0:04:15.095
چون ۶ توان هیچ عدد اولی نیست.

0:04:15.119,0:04:17.512
خوشبختانه، روسای او در ریاضی[br]زیاد خوب نیستند،

0:04:17.536,0:04:18.875
پس شغل او در امان است.

0:04:19.507,0:04:22.347
روش استفاده شده توسط مدیرهتل[br]تنها به این دلیل امکان پذیر است

0:04:22.347,0:04:26.624
که هتل بی نهایت در واقع[br]یک کابوس منطقی است

0:04:26.648,0:04:29.957
و تنها با پایین ترین درجه بی نهایت[br]سر و کار دارد،

0:04:29.981,0:04:33.513
به طور کلی،[br]بی نهایت قابل شمارش اعداد طبیعی

0:04:33.537,0:04:36.594
۱، ۲، ۳، ۴ و به همین ترتیب.

0:04:36.618,0:04:40.513
گئورگ کانتور این درجه بی نهایت را[br]الف-صفر می خواند.

0:04:40.945,0:04:43.612
ما برای شماره اتاق ها از[br]اعداد طبیعی استفاده می کنیم

0:04:43.612,0:04:45.188
همانطور که برای صندلی اتوبوس ها.

0:04:45.913,0:04:48.252
اگر با درجه بالاتری از بی نهایت[br]سر و کار داشتیم،

0:04:48.276,0:04:49.848
مثل بی نهایت در اعداد حقیقی،

0:04:49.872,0:04:52.844
این روش های ساختاری دیگر[br]پاسخگو نخواهند بود

0:04:52.868,0:04:56.655
و هیچ روش قاعده مندی برای[br]در بر گرفتن همه اعداد وجود نخواهد داشت.

0:04:57.002,0:04:58.803
هتل بی نهایت عدد حقیقی

0:04:58.827,0:05:00.905
دارای اتاقهایی با شماره منفی[br]در زیر زمین،

0:05:00.929,0:05:02.364
و اتاق های کسری است،

0:05:02.388,0:05:04.484
پس کسی که در اتاق ۱/۲ قرار دارد

0:05:04.508,0:05:07.181
همیشه مشکوک است که اتاقش[br]کوچک تر از اتاق ۱ است.

0:05:07.205,0:05:10.308
اتاقهای رادیکالی، مثل اتاق رادیکال ۲،

0:05:10.332,0:05:11.438
و اتاق عدد پی،

0:05:11.462,0:05:14.325
جایی است که مهمان ها توقع دسر مجانی دارند.

0:05:14.349,0:05:17.374
کدام مدیر هتلی که به خودش احترام بگذارد[br]حاضر می شود آنجا کار کند

0:05:17.398,0:05:19.005
حتی با حقوق بی نهایت؟

0:05:19.029,0:05:20.918
اما گذشته از هتل بی نهایت هیلبرت،

0:05:20.942,0:05:22.420
که هیچ وقت هیچ جای خالی ندارد

0:05:22.444,0:05:24.264
و همیشه اتاق برای مسافر بیشتر هست،

0:05:24.264,0:05:26.926
داستان با یک مدیر هتل همیشه سخت کوش

0:05:26.950,0:05:28.760
و شاید بیش از حد مهمان نواز همراه بود

0:05:28.784,0:05:31.490
تا به ما یادآوری کند که چقدر سخت است

0:05:31.514,0:05:33.905
که ما ذهن نسبتا متناهی خود را

0:05:33.929,0:05:36.767
با مفهومی به بزرگی بی نهایت درگیر کنیم.

0:05:37.132,0:05:39.083
شاید شما بعد از یک خواب شبانه خوب

0:05:39.107,0:05:40.853
بتوانید در حل این مسائل کمک کنید.

0:05:40.853,0:05:42.436
اما صادقانه، ما احتمالا به شما

0:05:42.436,0:05:45.176
برای عوض کردن اتاق ها ساعت ۲ صبح[br]احتیاج داریم.