WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
En la década de 1920,

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
el matemático alemán David Hilbert

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
creó un famoso ejercicio mental

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
para mostrarnos lo difícil que es

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
entender el concepto de infinito.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
Imaginen un hotel con una cantidad
infinita de habitaciones

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
y un gerente nocturno muy eficiente.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
Una noche, el Hotel Infinito 
está completamente lleno,

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
totalmente ocupado con una 
cantidad infinita de huéspedes.

00:00:31.110 --> 00:00:32.419
Un hombre llega al hotel

00:00:32.419 --> 00:00:33.934
y pide una habitación.

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
En vez de despacharlo,

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
el gerente nocturno decide 
conseguirle una habitación.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
¿Cómo?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
Fácil... le pide al huésped
de la habitación núm. 1

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
que se pase a la habitación núm. 2,

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
al huésped de la habitación núm. 2
a la habitación núm. 3,

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
y así sucesivamente.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
Todos los huéspedes se mueven
de la habitación número "n"

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
a la habitación número "n+1".

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
Como hay una cantidad infinita
de habitaciones,

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
hay una habitación 
para cada huésped.

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
Esto deja la habitación núm. 1
vacía para el nuevo huésped.

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
El proceso puede repetirse

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
para cualquier número infinito 
de nuevos huéspedes.

00:01:03.535 --> 00:01:05.389
Si, digamos, llega un autobús

00:01:05.389 --> 00:01:07.553
con 40 nuevos huéspedes
en busca de habitaciones,

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
entonces todos los huéspedes 
alojados se pasan

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
de la habitación número "n"

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
a la habitación número "n+40",

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
vaciando así las 40 
primeras habitaciones.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
Pero ahora un autobús 
infinitamente largo

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
con un infinito numerable de pasajeros

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
llega para alquilar cuartos.

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
Infinito numerable es la clave.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
Ahora, el bus infinito con 
cantidad de pasajeros infinita

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
deja inicialmente atónito 
al gerente nocturno,

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
pero este se da cuenta 
de que hay una forma

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
de darle hospedaje a todos.

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
Le pide al huésped 
de la habitación núm. 1

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
que se pase a la habitación núm. 2.

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
Luego le pide al huésped
de la habitación núm. 2

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
que se pase a la habitación núm. 4,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
al huésped de la habitación 3

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
que se pase a la habitación 6,

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
y así sucesivamente.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
Todos los huéspedes se pasan 
de la habitación número "n"

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
a la habitación número "2n",

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
llenando únicamente las habitaciones 
con número infinitos pares.

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
Al hacer esto, se han vaciado

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
todas las habitaciones con 
números infinitos impares,

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
que son ocupados por las personas

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
que venían en el bus infinito.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
Todo el mundo está feliz
y el negocio del hotel

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
prospera más que nunca.

00:02:06.899 --> 00:02:08.403
Bueno, de hecho está prosperando

00:02:08.403 --> 00:02:10.440
exactamente de la misma 
forma que siempre,

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
cobrando una suma infinita
de dólares por noche.

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
Se corre la voz sobre 
este hotel increíble.

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
Viene gente de todas partes.

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
Una noche ocurre lo más inesperado.

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
El gerente nocturno mira hacia afuera

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
y ve una cola infinita

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
de buses infinitamente largos,

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
todos con una cantidad 
numerable infinita de pasajeros.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
¿Qué puede hacer?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
Si no puede conseguirles habitaciones

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
el hotel perderá

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
una cantidad infinita de dinero,

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
y él ciertamente perderá el trabajo.

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
Con suerte se acuerda

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
que alrededor del año 300 a.C.

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
Euclides demostró que hay 
una cantidad infinita

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
de números primos.

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
Así que para lograr lo que 
parece una tarea imposible

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
de conseguir camas infinitas

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
para los buses infinitos

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
con una cantidad infinita 
de viajeros cansados,

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
el gerente nocturno le asigna
a todos los huéspedes existentes

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
el primer número primo, 2,

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
elevado al número de la habitación 
en la que están hospedados.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
Así que el huésped de la habitación 7

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
se pasa a la habitación 2^7,

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
que es la habitación 128.

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
El gerente nocturno 
toma a todas las personas

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
en el primero de los buses infinitos

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
y le asigna las habitaciones

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
del próximo número primo, 3,

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
elevado al número correspondiente
a sus asientos en el bus.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
Así que la persona 
del asiento 7 del primer bus,

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
se hospedará en la habitación 3^7

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
o la habitación 2187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
Así continúa para todos 
en el primer bus.

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
A los pasajeros del segundo bus

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
se les asignan según los exponentes
de 5, el próximo número primo.

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
El siguiente bus, 
según los exponentes de 7.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
Así continúa con los buses que siguen:

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
según los exponentes de 11,

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
los exponentes de 13,

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
los exponentes de 17, etc.

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
Como cada uno de estos números

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
solo tienen el 1 y números naturales

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
como exponentes de estos números primos
que funcionan como base,

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
no hay una superposición en los números.

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
A todos los pasajeros de los buses
se les asigna una habitación

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
empleando un sistema 
de asignación único,

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
basados en números primos únicos.

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
De esta forma, 
el gerente nocturno puede alojar

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
a todos los pasajeros 
en todos los buses.

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
Sin embargo, habrá habitaciones
que quedarán vacías,

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
como la habitación 6,

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
porque el 6 no es la potencia 
de ningún número primo.

00:04:15.119 --> 00:04:17.537
Con suerte sus jefes no eran 
muy buenos en matemáticas,

00:04:17.537 --> 00:04:19.178
así que su trabajo está asegurado.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
Las estrategias del gerente nocturno
son solo posibles

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
porque aunque el Hotel Infinito

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
es ciertamente una pesadilla logística,

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
solo tiene que lidiar
con números infinitos bajos,

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
principalmente, los infinitos contables

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
de los números naturales,

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
Georg Cantor denominó este nivel 
de infinito álef-cero.

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
Usamos número naturales 
en las habitaciones,

00:04:42.665 --> 00:04:44.787
así como en los 
asientos de los buses.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
Si tuviésemos que lidiar con 
niveles de infinito más altos,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
como el de los números reales,

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
estas estrategias estructuradas

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
no serían posible

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
porque no hay manera

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
de que podamos incluir sistemáticamente 
todos los números.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
El Hotel Infinito de los 
Números Reales tendría

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
habitaciones con números 
negativos en el sótano,

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
habitaciones con fracciones,

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
de modo que el huésped de la 
habitación 1/2 siempre sospechará

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
que tiene menos espacio que el huésped 
en la habitación número 1.

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
Habitaciones a la raíz cuadrada,
como la habitación radical de 2,

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
la habitación pi,

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
donde los huéspedes esperan 
recibir postres gratis.

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
¿Qué gerente nocturno que se respete

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
querría trabajar allí

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
así sea por un salario infinito?

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
donde nunca hay una vacante,

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
y siempre hay más cuartos,

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
los escenarios que enfrenta
el siempre muy diligente

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
y quizás demasiado hospitalario
gerente nocturno

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
nos sirve para recordarnos

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
lo difícil que es

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
para nuestras mentes 
relativamente finitas

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
entender un concepto tan grande 
como el infinito.

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
Quizás puedan ayudar a abordar 
estos problemas

00:05:38.695 --> 00:05:40.427
después de una buena 
noche de descanso.

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
Aunque honestamente, 
quizás tengamos

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
que cambiarlos de habitación 
a las 2 de la mañana.