En la década de 1920,
el matemático alemán David Hilbert
creó un famoso ejercicio mental
para mostrarnos lo difícil que es
entender el concepto de infinito.
Imaginen un hotel con una cantidad infinita de habitaciones
y un gerente nocturno muy eficiente.
Una noche, el Hotel Infinito está completamente lleno,
totalmente ocupado con una cantidad infinita de huéspedes.
Un hombre llega al hotel
y pide una habitación.
En vez de despacharlo,
el gerente nocturno decide conseguirle una habitación.
¿Cómo?
Fácil... le pide al huésped de la habitación núm. 1
que se pase a la habitación núm. 2,
al huésped de la habitación núm. 2 a la habitación núm. 3,
y así sucesivamente.
Todos los huéspedes se mueven de la habitación número "n"
a la habitación número "n+1".
Como hay una cantidad infinita de habitaciones,
hay una habitación para cada huésped.
Esto deja la habitación núm. 1 vacía para el nuevo huésped.
El proceso puede repetirse
para cualquier número infinito de nuevos huéspedes.
Si, digamos, llega un autobús
con 40 nuevos huéspedes en busca de habitaciones,
entonces todos los huéspedes alojados se pasan
de la habitación número "n"
a la habitación número "n+40",
vaciando así las 40 primeras habitaciones.
Pero ahora un autobús infinitamente largo
con un infinito numerable de pasajeros
llega para alquilar cuartos.
Infinito numerable es la clave.
Ahora, el bus infinito con cantidad de pasajeros infinita
deja inicialmente atónito al gerente nocturno,
pero este se da cuenta de que hay una forma
de darle hospedaje a todos.
Le pide al huésped de la habitación núm. 1
que se pase a la habitación núm. 2.
Luego le pide al huésped de la habitación núm. 2
que se pase a la habitación núm. 4,
al huésped de la habitación 3
que se pase a la habitación 6,
y así sucesivamente.
Todos los huéspedes se pasan de la habitación número "n"
a la habitación número "2n",
llenando únicamente las habitaciones con número infinitos pares.
Al hacer esto, se han vaciado
todas las habitaciones con números infinitos impares,
que son ocupados por las personas
que venían en el bus infinito.
Todo el mundo está feliz y el negocio del hotel
prospera más que nunca.
Bueno, de hecho está prosperando
exactamente de la misma forma que siempre,
cobrando una suma infinita de dólares por noche.
Se corre la voz sobre este hotel increíble.
Viene gente de todas partes.
Una noche ocurre lo más inesperado.
El gerente nocturno mira hacia afuera
y ve una cola infinita
de buses infinitamente largos,
todos con una cantidad numerable infinita de pasajeros.
¿Qué puede hacer?
Si no puede conseguirles habitaciones
el hotel perderá
una cantidad infinita de dinero,
y él ciertamente perderá el trabajo.
Con suerte se acuerda
que alrededor del año 300 a.C.
Euclides demostró que hay una cantidad infinita
de números primos.
Así que para lograr lo que parece una tarea imposible
de conseguir camas infinitas
para los buses infinitos
con una cantidad infinita de viajeros cansados,
el gerente nocturno le asigna a todos los huéspedes existentes
el primer número primo, 2,
elevado al número de la habitación en la que están hospedados.
Así que el huésped de la habitación 7
se pasa a la habitación 2^7,
que es la habitación 128.
El gerente nocturno toma a todas las personas
en el primero de los buses infinitos
y le asigna las habitaciones
del próximo número primo, 3,
elevado al número correspondiente a sus asientos en el bus.
Así que la persona del asiento 7 del primer bus,
se hospedará en la habitación 3^7
o la habitación 2187.
Así continúa para todos en el primer bus.
A los pasajeros del segundo bus
se les asignan según los exponentes de 5, el próximo número primo.
El siguiente bus, según los exponentes de 7.
Así continúa con los buses que siguen:
según los exponentes de 11,
los exponentes de 13,
los exponentes de 17, etc.
Como cada uno de estos números
solo tienen el 1 y números naturales
como exponentes de estos números primos que funcionan como base,
no hay una superposición en los números.
A todos los pasajeros de los buses se les asigna una habitación
empleando un sistema de asignación único,
basados en números primos únicos.
De esta forma, el gerente nocturno puede alojar
a todos los pasajeros en todos los buses.
Sin embargo, habrá habitaciones que quedarán vacías,
como la habitación 6,
porque el 6 no es la potencia de ningún número primo.
Con suerte sus jefes no eran muy buenos en matemáticas,
así que su trabajo está asegurado.
Las estrategias del gerente nocturno son solo posibles
porque aunque el Hotel Infinito
es ciertamente una pesadilla logística,
solo tiene que lidiar con números infinitos bajos,
principalmente, los infinitos contables
de los números naturales,
como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.
Georg Cantor denominó este nivel de infinito álef-cero.
Usamos número naturales en las habitaciones,
así como en los asientos de los buses.
Si tuviésemos que lidiar con niveles de infinito más altos,
como el de los números reales,
estas estrategias estructuradas
no serían posible
porque no hay manera
de que podamos incluir sistemáticamente todos los números.
El Hotel Infinito de los Números Reales tendría
habitaciones con números negativos en el sótano,
habitaciones con fracciones,
de modo que el huésped de la habitación 1/2 siempre sospechará
que tiene menos espacio que el huésped en la habitación número 1.
Habitaciones a la raíz cuadrada, como la habitación radical de 2,
la habitación pi,
donde los huéspedes esperan recibir postres gratis.
¿Qué gerente nocturno que se respete
querría trabajar allí
así sea por un salario infinito?
Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,
donde nunca hay una vacante,
y siempre hay más cuartos,
los escenarios que enfrenta el siempre muy diligente
y quizás demasiado hospitalario gerente nocturno
nos sirve para recordarnos
lo difícil que es
para nuestras mentes relativamente finitas
entender un concepto tan grande como el infinito.
Quizás puedan ayudar a abordar estos problemas
después de una buena noche de descanso.
Aunque honestamente, quizás tengamos
que cambiarlos de habitación a las 2 de la mañana.