1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
En la década de 1920,

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
el matemático alemán David Hilbert

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
creó un famoso ejercicio mental

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
para mostrarnos lo difícil que es

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
entender el concepto de infinito.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Imaginen un hotel con una cantidad
infinita de habitaciones

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
y un gerente nocturno muy eficiente.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Una noche, el Hotel Infinito 
está completamente lleno,

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
totalmente ocupado con una 
cantidad infinita de huéspedes.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,419
Un hombre llega al hotel

11
00:00:32,419 --> 00:00:33,934
y pide una habitación.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
En vez de despacharlo,

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
el gerente nocturno decide 
conseguirle una habitación.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
¿Cómo?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
Fácil... le pide al huésped
de la habitación núm. 1

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
que se pase a la habitación núm. 2,

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
al huésped de la habitación núm. 2
a la habitación núm. 3,

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
y así sucesivamente.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Todos los huéspedes se mueven
de la habitación número "n"

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
a la habitación número "n+1".

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
Como hay una cantidad infinita
de habitaciones,

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
hay una habitación 
para cada huésped.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
Esto deja la habitación núm. 1
vacía para el nuevo huésped.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
El proceso puede repetirse

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
para cualquier número infinito 
de nuevos huéspedes.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,389
Si, digamos, llega un autobús

27
00:01:05,389 --> 00:01:07,553
con 40 nuevos huéspedes
en busca de habitaciones,

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
entonces todos los huéspedes 
alojados se pasan

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
de la habitación número "n"

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
a la habitación número "n+40",

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
vaciando así las 40 
primeras habitaciones.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Pero ahora un autobús 
infinitamente largo

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
con un infinito numerable de pasajeros

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
llega para alquilar cuartos.

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
Infinito numerable es la clave.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
Ahora, el bus infinito con 
cantidad de pasajeros infinita

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
deja inicialmente atónito 
al gerente nocturno,

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
pero este se da cuenta 
de que hay una forma

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
de darle hospedaje a todos.

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
Le pide al huésped 
de la habitación núm. 1

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
que se pase a la habitación núm. 2.

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
Luego le pide al huésped
de la habitación núm. 2

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
que se pase a la habitación núm. 4,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
al huésped de la habitación 3

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
que se pase a la habitación 6,

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
y así sucesivamente.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Todos los huéspedes se pasan 
de la habitación número "n"

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
a la habitación número "2n",

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
llenando únicamente las habitaciones 
con número infinitos pares.

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
Al hacer esto, se han vaciado

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
todas las habitaciones con 
números infinitos impares,

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
que son ocupados por las personas

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
que venían en el bus infinito.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
Todo el mundo está feliz
y el negocio del hotel

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
prospera más que nunca.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,403
Bueno, de hecho está prosperando

57
00:02:08,403 --> 00:02:10,440
exactamente de la misma 
forma que siempre,

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
cobrando una suma infinita
de dólares por noche.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
Se corre la voz sobre 
este hotel increíble.

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
Viene gente de todas partes.

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
Una noche ocurre lo más inesperado.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
El gerente nocturno mira hacia afuera

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
y ve una cola infinita

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
de buses infinitamente largos,

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
todos con una cantidad 
numerable infinita de pasajeros.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
¿Qué puede hacer?

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
Si no puede conseguirles habitaciones

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
el hotel perderá

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
una cantidad infinita de dinero,

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
y él ciertamente perderá el trabajo.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
Con suerte se acuerda

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
que alrededor del año 300 a.C.

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
Euclides demostró que hay 
una cantidad infinita

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
de números primos.

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
Así que para lograr lo que 
parece una tarea imposible

76
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
de conseguir camas infinitas

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
para los buses infinitos

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
con una cantidad infinita 
de viajeros cansados,

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
el gerente nocturno le asigna
a todos los huéspedes existentes

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
el primer número primo, 2,

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
elevado al número de la habitación 
en la que están hospedados.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
Así que el huésped de la habitación 7

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
se pasa a la habitación 2^7,

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
que es la habitación 128.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
El gerente nocturno 
toma a todas las personas

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
en el primero de los buses infinitos

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
y le asigna las habitaciones

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
del próximo número primo, 3,

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
elevado al número correspondiente
a sus asientos en el bus.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
Así que la persona 
del asiento 7 del primer bus,

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
se hospedará en la habitación 3^7

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
o la habitación 2187.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
Así continúa para todos 
en el primer bus.

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
A los pasajeros del segundo bus

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
se les asignan según los exponentes
de 5, el próximo número primo.

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
El siguiente bus, 
según los exponentes de 7.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
Así continúa con los buses que siguen:

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
según los exponentes de 11,

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
los exponentes de 13,

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
los exponentes de 17, etc.

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
Como cada uno de estos números

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
solo tienen el 1 y números naturales

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
como exponentes de estos números primos
que funcionan como base,

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
no hay una superposición en los números.

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
A todos los pasajeros de los buses
se les asigna una habitación

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
empleando un sistema 
de asignación único,

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
basados en números primos únicos.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
De esta forma, 
el gerente nocturno puede alojar

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
a todos los pasajeros 
en todos los buses.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
Sin embargo, habrá habitaciones
que quedarán vacías,

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
como la habitación 6,

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
porque el 6 no es la potencia 
de ningún número primo.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,537
Con suerte sus jefes no eran 
muy buenos en matemáticas,

114
00:04:17,537 --> 00:04:19,178
así que su trabajo está asegurado.

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
Las estrategias del gerente nocturno
son solo posibles

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
porque aunque el Hotel Infinito

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
es ciertamente una pesadilla logística,

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
solo tiene que lidiar
con números infinitos bajos,

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
principalmente, los infinitos contables

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
de los números naturales,

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
Georg Cantor denominó este nivel 
de infinito álef-cero.

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
Usamos número naturales 
en las habitaciones,

124
00:04:42,665 --> 00:04:44,787
así como en los 
asientos de los buses.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
Si tuviésemos que lidiar con 
niveles de infinito más altos,

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
como el de los números reales,

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
estas estrategias estructuradas

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
no serían posible

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
porque no hay manera

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
de que podamos incluir sistemáticamente 
todos los números.

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
El Hotel Infinito de los 
Números Reales tendría

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
habitaciones con números 
negativos en el sótano,

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
habitaciones con fracciones,

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
de modo que el huésped de la 
habitación 1/2 siempre sospechará

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
que tiene menos espacio que el huésped 
en la habitación número 1.

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
Habitaciones a la raíz cuadrada,
como la habitación radical de 2,

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
la habitación pi,

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
donde los huéspedes esperan 
recibir postres gratis.

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
¿Qué gerente nocturno que se respete

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
querría trabajar allí

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
así sea por un salario infinito?

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
donde nunca hay una vacante,

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
y siempre hay más cuartos,

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
los escenarios que enfrenta
el siempre muy diligente

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
y quizás demasiado hospitalario
gerente nocturno

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
nos sirve para recordarnos

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
lo difícil que es

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
para nuestras mentes 
relativamente finitas

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
entender un concepto tan grande 
como el infinito.

151
00:05:37,092 --> 00:05:38,695
Quizás puedan ayudar a abordar 
estos problemas

152
00:05:38,695 --> 00:05:40,427
después de una buena 
noche de descanso.

153
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
Aunque honestamente, 
quizás tengamos

154
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
que cambiarlos de habitación 
a las 2 de la mañana.