0:00:06.531,0:00:07.715
En la década de 1920,

0:00:07.715,0:00:10.208
el matemático alemán David Hilbert

0:00:10.208,0:00:12.461
creó un famoso ejercicio mental

0:00:12.461,0:00:14.215
para mostrarnos lo difícil que es

0:00:14.215,0:00:18.170
entender el concepto de infinito.

0:00:18.170,0:00:21.683
Imaginen un hotel con una cantidad[br]infinita de habitaciones

0:00:21.683,0:00:24.291
y un gerente nocturno muy eficiente.

0:00:24.291,0:00:27.547
Una noche, el Hotel Infinito [br]está completamente lleno,

0:00:27.547,0:00:31.110
totalmente ocupado con una [br]cantidad infinita de huéspedes.

0:00:31.110,0:00:32.419
Un hombre llega al hotel

0:00:32.419,0:00:33.934
y pide una habitación.

0:00:33.934,0:00:35.468
En vez de despacharlo,

0:00:35.468,0:00:37.910
el gerente nocturno decide [br]conseguirle una habitación.

0:00:37.910,0:00:38.689
¿Cómo?

0:00:38.689,0:00:41.659
Fácil... le pide al huésped[br]de la habitación núm. 1

0:00:41.659,0:00:43.325
que se pase a la habitación núm. 2,

0:00:43.325,0:00:46.080
al huésped de la habitación núm. 2[br]a la habitación núm. 3,

0:00:46.080,0:00:47.162
y así sucesivamente.

0:00:47.162,0:00:49.862
Todos los huéspedes se mueven[br]de la habitación número "n"

0:00:49.862,0:00:52.203
a la habitación número "n+1".

0:00:52.203,0:00:54.412
Como hay una cantidad infinita[br]de habitaciones,

0:00:54.412,0:00:57.033
hay una habitación [br]para cada huésped.

0:00:57.033,0:00:59.784
Esto deja la habitación núm. 1[br]vacía para el nuevo huésped.

0:00:59.784,0:01:01.029
El proceso puede repetirse

0:01:01.029,0:01:03.535
para cualquier número infinito [br]de nuevos huéspedes.

0:01:03.535,0:01:05.389
Si, digamos, llega un autobús

0:01:05.389,0:01:07.553
con 40 nuevos huéspedes[br]en busca de habitaciones,

0:01:07.553,0:01:09.666
entonces todos los huéspedes [br]alojados se pasan

0:01:09.666,0:01:11.004
de la habitación número "n"

0:01:11.004,0:01:13.662
a la habitación número "n+40",

0:01:13.662,0:01:16.790
vaciando así las 40 [br]primeras habitaciones.

0:01:16.790,0:01:19.195
Pero ahora un autobús [br]infinitamente largo

0:01:19.195,0:01:21.768
con un infinito numerable de pasajeros

0:01:21.768,0:01:23.697
llega para alquilar cuartos.

0:01:23.697,0:01:25.920
Infinito numerable es la clave.

0:01:25.920,0:01:28.225
Ahora, el bus infinito con [br]cantidad de pasajeros infinita

0:01:28.225,0:01:30.542
deja inicialmente atónito [br]al gerente nocturno,

0:01:30.542,0:01:32.034
pero este se da cuenta [br]de que hay una forma

0:01:32.034,0:01:33.373
de darle hospedaje a todos.

0:01:33.373,0:01:34.994
Le pide al huésped [br]de la habitación núm. 1

0:01:34.994,0:01:36.415
que se pase a la habitación núm. 2.

0:01:36.415,0:01:38.551
Luego le pide al huésped[br]de la habitación núm. 2

0:01:38.551,0:01:40.459
que se pase a la habitación núm. 4,

0:01:40.459,0:01:41.540
al huésped de la habitación 3

0:01:41.540,0:01:42.833
que se pase a la habitación 6,

0:01:42.833,0:01:44.129
y así sucesivamente.

0:01:44.129,0:01:47.337
Todos los huéspedes se pasan [br]de la habitación número "n"

0:01:47.337,0:01:50.533
a la habitación número "2n",

0:01:50.533,0:01:54.084
llenando únicamente las habitaciones [br]con número infinitos pares.

0:01:54.084,0:01:55.953
Al hacer esto, se han vaciado

0:01:55.953,0:01:58.891
todas las habitaciones con [br]números infinitos impares,

0:01:58.891,0:02:00.309
que son ocupados por las personas

0:02:00.309,0:02:02.828
que venían en el bus infinito.

0:02:02.828,0:02:05.111
Todo el mundo está feliz[br]y el negocio del hotel

0:02:05.111,0:02:06.899
prospera más que nunca.

0:02:06.899,0:02:08.403
Bueno, de hecho está prosperando

0:02:08.403,0:02:10.440
exactamente de la misma [br]forma que siempre,

0:02:10.440,0:02:12.923
cobrando una suma infinita[br]de dólares por noche.

0:02:13.723,0:02:16.379
Se corre la voz sobre [br]este hotel increíble.

0:02:16.379,0:02:18.568
Viene gente de todas partes.

0:02:18.568,0:02:20.866
Una noche ocurre lo más inesperado.

0:02:20.866,0:02:23.431
El gerente nocturno mira hacia afuera

0:02:23.431,0:02:25.061
y ve una cola infinita

0:02:25.061,0:02:27.541
de buses infinitamente largos,

0:02:27.541,0:02:30.353
todos con una cantidad [br]numerable infinita de pasajeros.

0:02:30.353,0:02:31.410
¿Qué puede hacer?

0:02:31.410,0:02:32.913
Si no puede conseguirles habitaciones

0:02:32.913,0:02:34.231
el hotel perderá

0:02:34.231,0:02:35.982
una cantidad infinita de dinero,

0:02:35.982,0:02:37.979
y él ciertamente perderá el trabajo.

0:02:37.979,0:02:39.083
Con suerte se acuerda

0:02:39.083,0:02:41.814
que alrededor del año 300 a.C.

0:02:41.814,0:02:44.750
Euclides demostró que hay [br]una cantidad infinita

0:02:44.750,0:02:47.215
de números primos.

0:02:47.215,0:02:49.684
Así que para lograr lo que [br]parece una tarea imposible

0:02:49.684,0:02:51.005
de conseguir camas infinitas

0:02:51.005,0:02:52.309
para los buses infinitos

0:02:52.309,0:02:54.315
con una cantidad infinita [br]de viajeros cansados,

0:02:54.315,0:02:56.607
el gerente nocturno le asigna[br]a todos los huéspedes existentes

0:02:56.607,0:02:59.066
el primer número primo, 2,

0:02:59.066,0:03:01.891
elevado al número de la habitación [br]en la que están hospedados.

0:03:01.891,0:03:04.559
Así que el huésped de la habitación 7

0:03:04.559,0:03:07.565
se pasa a la habitación 2^7,

0:03:07.565,0:03:09.930
que es la habitación 128.

0:03:09.930,0:03:11.643
El gerente nocturno [br]toma a todas las personas

0:03:11.643,0:03:13.781
en el primero de los buses infinitos

0:03:13.781,0:03:15.830
y le asigna las habitaciones

0:03:15.830,0:03:18.315
del próximo número primo, 3,

0:03:18.315,0:03:21.752
elevado al número correspondiente[br]a sus asientos en el bus.

0:03:21.752,0:03:25.283
Así que la persona [br]del asiento 7 del primer bus,

0:03:25.283,0:03:28.384
se hospedará en la habitación 3^7

0:03:28.384,0:03:31.634
o la habitación 2187.

0:03:31.634,0:03:34.093
Así continúa para todos [br]en el primer bus.

0:03:34.093,0:03:35.765
A los pasajeros del segundo bus

0:03:35.765,0:03:39.434
se les asignan según los exponentes[br]de 5, el próximo número primo.

0:03:39.434,0:03:41.517
El siguiente bus, [br]según los exponentes de 7.

0:03:41.517,0:03:42.945
Así continúa con los buses que siguen:

0:03:42.945,0:03:43.767
según los exponentes de 11,

0:03:43.767,0:03:44.770
los exponentes de 13,

0:03:44.770,0:03:47.190
los exponentes de 17, etc.

0:03:47.190,0:03:48.318
Como cada uno de estos números

0:03:48.318,0:03:50.992
solo tienen el 1 y números naturales

0:03:50.992,0:03:53.237
como exponentes de estos números primos[br]que funcionan como base,

0:03:53.237,0:03:55.410
no hay una superposición en los números.

0:03:55.410,0:03:58.363
A todos los pasajeros de los buses[br]se les asigna una habitación

0:03:58.363,0:04:00.870
empleando un sistema [br]de asignación único,

0:04:00.870,0:04:03.510
basados en números primos únicos.

0:04:03.510,0:04:05.578
De esta forma, [br]el gerente nocturno puede alojar

0:04:05.578,0:04:07.870
a todos los pasajeros [br]en todos los buses.

0:04:07.870,0:04:10.806
Sin embargo, habrá habitaciones[br]que quedarán vacías,

0:04:10.806,0:04:11.897
como la habitación 6,

0:04:11.897,0:04:15.119
porque el 6 no es la potencia [br]de ningún número primo.

0:04:15.119,0:04:17.537
Con suerte sus jefes no eran [br]muy buenos en matemáticas,

0:04:17.537,0:04:19.178
así que su trabajo está asegurado.

0:04:19.178,0:04:22.031
Las estrategias del gerente nocturno[br]son solo posibles

0:04:22.031,0:04:23.983
porque aunque el Hotel Infinito

0:04:23.983,0:04:26.204
es ciertamente una pesadilla logística,

0:04:26.204,0:04:29.981
solo tiene que lidiar[br]con números infinitos bajos,

0:04:29.981,0:04:31.746
principalmente, los infinitos contables

0:04:31.746,0:04:33.537
de los números naturales,

0:04:33.537,0:04:36.618
como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.

0:04:36.618,0:04:40.537
Georg Cantor denominó este nivel [br]de infinito álef-cero.

0:04:40.537,0:04:42.665
Usamos número naturales [br]en las habitaciones,

0:04:42.665,0:04:44.787
así como en los [br]asientos de los buses.

0:04:45.633,0:04:48.176
Si tuviésemos que lidiar con [br]niveles de infinito más altos,

0:04:48.176,0:04:49.727
como el de los números reales,

0:04:49.727,0:04:51.097
estas estrategias estructuradas

0:04:51.097,0:04:52.564
no serían posible

0:04:52.564,0:04:53.850
porque no hay manera

0:04:53.850,0:04:56.570
de que podamos incluir sistemáticamente [br]todos los números.

0:04:56.570,0:04:58.922
El Hotel Infinito de los [br]Números Reales tendría

0:04:58.922,0:05:00.929
habitaciones con números [br]negativos en el sótano,

0:05:00.929,0:05:02.388
habitaciones con fracciones,

0:05:02.388,0:05:04.508
de modo que el huésped de la [br]habitación 1/2 siempre sospechará

0:05:04.508,0:05:07.205
que tiene menos espacio que el huésped [br]en la habitación número 1.

0:05:07.205,0:05:10.332
Habitaciones a la raíz cuadrada,[br]como la habitación radical de 2,

0:05:10.332,0:05:11.462
la habitación pi,

0:05:11.462,0:05:14.349
donde los huéspedes esperan [br]recibir postres gratis.

0:05:14.349,0:05:15.869
¿Qué gerente nocturno que se respete

0:05:15.869,0:05:17.172
querría trabajar allí

0:05:17.172,0:05:19.490
así sea por un salario infinito?

0:05:19.490,0:05:20.797
Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,

0:05:20.797,0:05:22.261
donde nunca hay una vacante,

0:05:22.261,0:05:23.881
y siempre hay más cuartos,

0:05:23.881,0:05:26.950
los escenarios que enfrenta[br]el siempre muy diligente

0:05:26.950,0:05:28.720
y quizás demasiado hospitalario[br]gerente nocturno

0:05:28.720,0:05:29.804
nos sirve para recordarnos

0:05:29.804,0:05:31.150
lo difícil que es

0:05:31.150,0:05:33.320
para nuestras mentes [br]relativamente finitas

0:05:33.320,0:05:37.092
entender un concepto tan grande [br]como el infinito.

0:05:37.092,0:05:38.695
Quizás puedan ayudar a abordar [br]estos problemas

0:05:38.695,0:05:40.427
después de una buena [br]noche de descanso.

0:05:40.427,0:05:42.300
Aunque honestamente, [br]quizás tengamos

0:05:42.300,0:05:44.701
que cambiarlos de habitación [br]a las 2 de la mañana.