През 20-те години на миналия век,
германският математик Давид Хилберт
измисля известен експеримент,
за да покаже колко е трудно
да разберем концепцията за безкрайността.
Представете си хотел с безброй много стаи
и много работлив нощен управител.
Една нощ безкрайният хотел е пълен,
абсолютно запълнен с безброй много гости.
Един човек влиза в хотела
и пита за стая.
Вместо да го върне,
управителят решава да му намери място.
Как?
Лесно, той моли гостът във стая номер 1
да се премести в стая номер 2,
гостът в стая 2 да се премести в 3
и така нататък.
Всеки гост се мести от стая с номер "n"
в стая с номер "n+1".
Тъй като има безкрайно много стаи,
има нова стая за всеки гост.
Това оставя стая номер 1 свободна за новия посетител.
Процесът може да бъде повторен
за всеки определен брой гости.
Ако, да кажем, туристически автобус
докара 40 души, търсещи стаи,
всеки наличен гост се мести
от стая номер "n"
в стая номер "n+40",
така освобождавайки първите 40 стаи.
Но сега безкрайно голям автобус
с изброимо безброй много пътници
пристига да наеме стаи.
Изброимо безброй е ключът.
Сега, безкрайният автобус с безкрай пътници
обърква нощния управител в началото,
но той осъзнава, че има начин
да настани всеки човек.
Той моли гостът от стая 1
да се премести в стая 2.
След това гостът в стая 2
отива в стая 4,
гостът от стая 3
отива в стая 6,
и така нататък.
Всеки наличен гост се мести от стая с номер "n"
в стая с номер "2n";,
запълвайки само стаите с четни номера.
Така той е изпразнил
всички безбройно много нечетни номера,
които са взети от хората,
излизащи от автобуса.
Всички са щастливи и хотелският бизнес
процъфтява повече от всякога.
Е, всъщност, той разцъфтява
точно толкова, колкото и преди,
получавайки безброй долари на нощ.
Разнасят се слухове за този невероятен хотел.
Хората идват от близко и далече.
Една нощ, немислимото се случва.
Управителят поглежда навън
и вижда безкрайна опашка
от безкрайно големи автобуси,
всеки с изброимо безброй много пътници.
Какво може да направи той?
Ако не намери място за тях,
хотелът ще загуби
безброй много пари
и сигурно ще загуби работата си.
За щастие, той си спомня,
че около 300 г. пр. Хр.,
Евклид доказва, че има безкрайно количество
прости числа.
За да изпълни наглед невъзможната задача --
намиране на безброй легла
за безброй автобуси,
с безброй изморени пътници,
управителят записва всеки наличен гост
под първото просто число, 2,
вдигнато на степен равна на номера на текущата му стая.
И така, текущият обитател на стая 7
отива в стая 2 на степен 7,
което е стая 128.
Нощният управител взима хората
от първия автобус
и ги настанява в стая с номер
следващото просто число, 3,
вдигнато на степен равна на номера на тяхната седалка в автобуса.
И така, човекът на седалка номер 7 в първия автобус
отива в стая 3 на степен 7
или стая номер 2187.
Това продължава за всички от първия автобус.
Пътниците на втория автобус
са настанени в стаи със степени на следващото просто число, 5.
Следващият автобус в степени на 7.
Всеки следващ автобус:
в степени на 11,
степени на 13,
степени на 17 и т.н.
Понеже всяко от тези числа
има само 1 и естественият брой степени
на техните прости числа-основи за делители,
няма повтарящи се номера на стаи.
Всички пътници на автобусите биват настанени в стаи,
използвайки уникални схеми за настаняване,
базирани на уникални прости числа.
По този начин, нощния управител може да настани
всеки пътник от всеки автобус.
Въпреки, че ще останат много незапълнени стаи,
като стая 6,
понеже 6 не е степен на никое просто число.
За щастие, шефовете му не са били много добри по математика,
така че работата му не е застрашена.
Стратегиите на нощния управител са възможни само
защото, докато безкрайният хотел
е със сигурност логистичен кошмар,
той се занимава само с най-ниското ниво на безкрайност,
това с изброимата безкрайност
на естествените числа,
1, 2, 3, 4, и така нататък.
Георг Кантор нарича това ниво на безкрайността алеф-нула.
Ние използваме естествени числа за номерата на стаите
както и за номерата на седалките на автобусите.
Ако работим с по-висок ред на безкрайност,
като тази на реалните числа,
тези структурирани стратегии
вече няма да са възможни,
понеже нямаме възможност
систематично да включим всички числа.
Хотелът със стаи с безкрайно много реални номера има
стаи с отрицателни номера в мазето,
дробни стаи,
така човек в стая 1/2 винаги подозира,
че има по-малко място, отколкото човек в стая 1.
Стаи с квадратен корен, като стая с квадратен корен от 2
и стая пи,
където гостите очакват безплатен десерт.
Какъв уважаващ себе си управител
би искал да работи там
дори и за безкрайна заплата?
Но в безкрайният хотел на Хилберт,
където никога няма свободно място
и винаги има място за още,
сценариите с които се сблъсква трудолюбивият
и вероятно твърде гостоприемен управител,
ни напомнят
за това колко трудно е
за нашите сравнително ограничени умове
да разберат толкова голяма концепция като безкрайността.
Може би, вие ще спомогнете за решаването на тези задачи,
след добър нощен сън.
Но честно казано, може да се наложи
да си смените стаята в 2 часа сутринта.