지난 동영상에서는 여기 있는
측정점 아홉 개의 총 제곱의 합을 계산해 보았습니다
그리고 이 측정점 아홉 개는
세 개의 집합으로 나뉘어있고
일반적으로 말하면 m개의 집합입니다
이 동영상에서는
이 총제곱합의 얼마가
각 집합 내 변화량 때문이며
얼마가 집합 간의 변화량 때문인지 알아보도록 하겠습니다
그러면 먼저 각 집합 내 총 변화량을
SSW라고 하겠습니다
변화량의 얼마가
각 측정점이 각각의 평균에서
얼마나 떨어져 있기 때문인지 알아보는 것입니다.
SSW는 다음과 같습니다
1번 집합부터 시작하죠
각 측정점에서 평균의 평균까지를 계산하는 것이 아니라
각 측정점에서 그 측정점 집합의 평균까지의 거리를 계산합니다
각 측정점과 그 집합 평균의 총 제곱의 합을 구하는 것이기 때문입니다
평균이 2이니까 (3 - 2)² + (2 - 2)² +(1- 2)²
모든 집합을 이렇게 계산합니다
각 집합은 측정점에 그 집합의 평균을 사용하고요
그러면 (5- 4)² +(3 - 4)² +(4 - 4)²를 더해 주고요
마지막으로 세 번째 집합입니다
지금 각 측정점에서 그 측정점의 중심경향성까지의
제곱의 합을 구하고 있고
그것을 모두 더할 것입니다
그럼 3번 집합은
(5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)²입니다
계산해보면
위에는 1 + 0 + 1
그럼 2이고
중간은 1 + 1 + 0이니까
이것도 2네요
마지막은 1 + 0 + 1입니다
7 - 6 = 1이고 제곱하면 1이죠
따라서 2를 더해 줍니다
SSW는 6입니다
총 변화량이 30이었는데
이 계산에 의하면 30 중에 6이
표본 간 변화량 때문입니다
이 다음엔
이 계산의 자유도를 생각해 보아야 합니다
독립적인 측정점이 몇 개냐고 하는 것입니다
왼쪽을 보면
각 집합에 측정점이 3개 있습니다
하지만 그 중 n - 1개를 알면
나머지 n번째는 계산으로 얻을 수 있습니다.
실제 표본평균을 알고 있다면요
따라서 이 경우 어느 집합이던
측정점 두 개를 알면
세 번째를 찾을 수 있습니다
이 두 개를 알면 세 번째는 항상 알 수 있죠
표본평균을 안다면
자유도의 일반적인 공식을 찾아봅시다
방금처럼 하면 각 집합의
자유도는 n - 1입니다
n은 각 집합에 있는 측정점의 개수이고요
따라서 각 집합의 자유도는 n - 1입니다
n - 1, n - 1, n - 1이죠
아니면 각 집합의 자유도가 n -1이고
집합이 m개 있으니까
자유도는 m(n -1)입니다
이 경우 n -1은 2이고
집합이 세 개 있으니까
자유도는 6입니다
그리고 나중에 자유도가 어떤 의미이고
수학적으로 어떻게 생각할 수 있는지 자세히 토론해 보도록 하겠습니다
지금은 독립적인 측정점이라고 생각하는 것이 가장 쉽습니다
각 거리의 제곱을 구할 때 사용한
중심 통계량을 알고 있다고 가정할 때요
알고 있다면 세 번째 측정점은
나머지 두 개로 계산해 낼 수 있습니다
자유도는 6이었습니다
그러면 총 변화량의 얼마가 각 표본 내 변화량 때문인지 알았으니
얼마가 표본 간의 변화량 때문인지 알아봅시다
계산해보죠
SSB라고 하겠습니다
다르게 생각해 보면
총 변화량의 얼마가
평균 간의, 그러니까 중심경향 간의 변화량 때문인지 계산하는 것입니다
그리고 얼마가 각 측정점에서 그 평균까지의 변화량 때문인지도요
얼마가 이것들 간의 변화량 때문인지 알아보죠
일단 1번 집합만 생각해 보세요
1번 집합에 이것들의 변화량 얼마만큼이
평균과 평균의 평균간 변화량 때문일까요?
첫 번째 측정점에 대한 식을
써 보도록 할게요
변화량은 표본평균과 같습니다
(2 - 평균의 평균)을 제곱하고
그리고 두 번째 측정점도 똑같이 표본평균입니다
(2 - 평균의 평균)을 제곱한 것이죠
세 번째 측정점도 같으니까 (2 - 평균의 평균)을 제곱해 더하면
다르게 생각해 보면
이것은
3(2 - 4)²이고
3 x 4이니까
12입니다
이것을 다른 집합에도 하면 됩니다
총 합을 구하고 있으니까
전부 써 볼게요
그게 더 쉽겠네요
이 모든 것의 표본 간 차에 의한 제곱합이
얼마인지를 구하고 있으니까요
방금 한 것은 첫 번째 표본에서 나온 것이고
두 번째 표본에서
이 측정점의 평균간 차에 의한 변화량은
(4 - 4)²입니다
이것도 같고요
(4 - 4)²이죠
측정점 자체는 신경쓰지 않고
표본평균만으로 계산하고 있습니다
그리고 마지막도 (4 - 4)²입니다
각 측정점마다 집합의 평균에서 평균의 평균을 빼고 제곱했습니다
마지막으로 3번 집합도 해 볼게요
3번 집합 표본평균은 6입니다
(6 - 4)² + (6 - 4)² + (6 - 4)²이네요
여기서 자유도는 몇일지 생각해 봅시다
가장 쉽게 생각해 볼 수 있는 방법은
평균의 평균을 안다고 가정할 때
정보를 몇 개나 가지고 있는지 생각해 보는 것입니다
평균의 평균을 안다면
여기서 새 정보는 몇 개일까요?
평균의 평균을 알고 있고
표본평균 두 개를 알고 있다면
세 번째는 구할 수 있습니다
이것과 이것을 알면
이것을 구할 수 있죠
그리고 이것과 이것을 알아도
이것을 구할 수 있습니다
이것이 이 평균들의 평균이기 때문입니다
따라서 일반적으로 m개 집합이 있을 때
또는 m개 평균이 있을 때 자유도는 m - 1입니다
또는 m 개 평균이 있을 때 자유도는 m - 1입니다
써 보죠
이 경우 m은 3이니까
여기서 자유도는 2라고 할 수 있겠네요
이제 SSB를 계산해 볼게요
이제 SSB를 계산해 볼게요.
이제 SSB를 계산해 볼게요
여기 이것은
2 - 4 = -2이고 제곱하면 4니까
첫째 줄에는 4가 세 개 있습니다
3 x 4 이고
둘째 줄은 3 x 0입니다
셋째 줄은 6 - 4가 2이고 제곱하면 4니까
3 x 4입니다
그러면 3 x 4는 12에 0과 12를 더하면 24입니다
집합 간 차에 의한 변화량 혹은 평균간 차에 의한 변화량은 24입니다
다 합쳐 봅시다
측정점 9개의 총 변화량이 30이라고 했습니다
여기 다시 써 볼게요
총제곱합은 30입니다
각 측정점과 그 측정점의 중심경향간의 제곱합을 구했습니다
표본평균 말이죠
구해보니 6이 나왔습니다
따라서 SSW는 6입니다
그리고 자유도도 6이었죠
식으로 나타내면
자유도는 m x( n -1)입니다
총제곱합의 자유도도 m x n -1이었습니다
열을 하나 만들어서 자유도를 써 볼게요
이 경우는 8이었습니다
그리고 방금 표본 간의 제곱합을 구했습니다
SSB는 24고요
자유도는 m - 1으로 2였습니다
재미있는 것은
이 분산분석이 모두 잘 맞아떨어지는 이유이기도 한데
다음 동영상에선 이것을 가설검정에 이용하는 방법을 알아보겠습니다
SSW + SSB = SST라는 것입니다
여기 있는 자료의 총 변화량은
각 집합 내의 변화량과
집합 간의 변화량을 더한 값인 것이죠
심지어 자유도도 그렇습니다
SSB는 자유도가 2밖에 되지 않고
SSW는 자유도가 6입니다
2 + 6은 8이죠
바로 총제곱합의 자유도와 같습니다
식으로 살펴보면 더 잘 맞아 떨어집니다
SSB의 자유도는 m - 1였죠
SSW의 자유도는 m(n -1)입니다
둘을 더하면 m - 1 + mn - m인데
이 둘을 지우고 나면
자유도는 mn - 1이 되는데
이것은 정확히 총 제곱합의 자유도와 같습니다
지난 번 동영상과 이 동영상에서 했던
수 많은 계산의 목적은
처음 계산했던 이 총 변화량이
이 두 변화량 요소의 합이라는 것을 확인하기 위함이었습니다
표본 간의 변화량과
표본평균 간의 변화량의 합 말입니다
어렵지 않았길 바랍니다