สมมุติว่าคุณเป็นวิศวกรด้านจราจร และสิ่งที่
คุณพยายามหาคือว่า มีรถผ่านจุดจุดหนึ่ง
บนถนน ที่เวลาหนึ่งๆ กี่คัน?
แล้วคุณอยาหาว่าความน่าจะเป็นที่
รถผ่าน 100 คัน หรือ 5 คันผ่านไปในหนึ่งชั่วโมงนั้นเป็นเท่าไหร่
จุดเริ่มต้นที่ดี คือกำหนดตัวแปรสุ่ม
ซึ่งแทนสิ่งที่คุณสนใจ
สมมุติว่าจำนวนรถที่ผ่านในช่วง
เวลาหนึ่ง, สมมุติว่า, ในหนึ่งชั่วโมง
เป้าหมายคุณคือหาการกระจายตัวของความน่าจะเป็น
ของตัวแปรสุ่มนี้ แล้วเมื่อคุณรู้การกระจายตัว
ของความน่าจะเป็น คุณก็สามารถหาได้ว่า
ความน่าจะเป็นที่รถ 100 คันจะผ่านไปในหนึ่งชั่วโมง หรือความน่าจะเป็น
ที่ไม่มีรถผ่านไปในหนึ่งชั่วโมง แล้วก็คุณหยุดไม่ได้แล้ว
และผมขอบอกไว้ก่อน, เพื่อให้วิดีโอนี้
ไปต่อได้, เราต้องตั้งสมมุติฐานสองข้อ เพราะเรากำลัง
ศึกษาการกระจายตัวแบบปัวซอง (Poisson distribution)
และเพื่อศึกษามัน เราต้องสมมุติ
สองอย่าง:
ชั่วโมงใดๆ ณ จุดนี้ตรงถนน ไม่ต่างจาก
ชั่วโมงอื่นๆ
และเรารู้ว่ามันไม่จริง
ในชั่วโมงเร่งด่วน ในสถานการณ์จริง คุณอาจ
มีรถมากกว่าชั่วโมงเร่งด่วนอื่น
และคุณก็รู้, ถ้าคุณอยากให้มันเป็นจริงกว่านี้ บางทีเรา
อาจต้องคิดเป็นเรายวัน เพราะในหนึ่งวัน ที่เวลาใดๆ --
ที่จริงมันไม่ใช่
ผมไม่ควรใช้วัน
เราต้องสมมุติว่าทุกชั่วโมงนั้นเหมือนกันหมด
เหมือนกับชั่วโมงอื่น และที่จริงแล้ว, แม้แต่ในชั่วโมงนั้น
มันไม่มีความแตกต่างระหว่างวินาทีหนึ่งกับวินาทีอื่น
แง่ของความน่าจะเป็นที่มีรถมา
มันเป็นข้อสมมุติให้ง่าย ซึ่ง
อาจไม่เป็นจริงสำหรับการจราจร แต่ผมว่าเรา
สามารถสมมุติได้
แล้วข้อสมมุติอีกอย่างที่เราต้องทำคือว่า
ถ้ามีรถผ่านไปในชั่วโมงหนึ่งแล้ว มันไม่ได้หมายความว่า
จะมีรถผ่านน้อบลงในชั่วโมงต่อไป
คือ ไม่มีทางที่จำนวนรถที่ผ่านไปในช่วงเวลาหนึ่ง
จะมีผล หรือเกี่ยวข้อง มีอิทธิพลต่อจำนวนรถ
ที่ผ่านในชั่วโมงต่อไป
มันเป็นอิสระจากกันหมด
เมื่อกำหนดอย่างนั้น, อย่างน้อยเราสามารถ
ลองใช้ทักษะจำลองการกระจายตัวขึ้นมาได้
อย่างแรกที่คุณทำ และผมแนะนำให้คุณ
สำหรับการกระจายตัวใดๆ คือว่า เราสามารถคาดการณ์ค่าเฉลี่ยได้
ลองนั่งคิดดู แล้ววัดว่าตัวแปรนี้ กระจายตัว
ไปหลายชั่วดมง แล้วเฉลี่ยมันเข้า, นั่นก็คือ
ค่าประมาณของค่าเฉลี่ยจริง
ตามประชากรของเรา
หรือเนื่องจากมันคือตัวแปรสุ่ม, มันจะประมาณค่าคาดหวัง
ของตัวแปรสุ่มนี้
สมมุติว่าคุณทำอย่างนั้น แล้วค่าประมาณที่ดี
ที่สุดของค่าคาดหวังสำหรับตัวแปรนี้ -- ผมจะใช้
ตัวอักษรแลมดานะ
คุณก็รู้, นี่อาจเป็น 9 คันต่อชั่วโมง
คุณนั่งนับไป -- มันเป็น 9.3 ต่อชั่วโมง
คุณนั่งตรงนี้เป็น 100 ชั่วโมง แล้วคุณก็นับ
จำนวนรถในแต่ละชั่วโมง แล้วคุณเฉลี่ยพวกมันเข้า
คุณบอกว่า, โดยเฉลี่ยแล้ว, มันมีรถผ่าน 9.3 คันต่อชั่วโมง และคุณ
รู้สึกว่ามันเป็นค่าที่ดี
นั่นคือสิ่งที่คุณมีตรงนี้
แล้วลงดูว่าเราทำอะไรได้อีก
เรารู้จักการกระจายตัวแบบทวินาม
กระจายตัวแบบทวินามบอกเราว่า ค่าคาดหวังของ
ตัวแปรสุ่ม เท่ากับจำนวนครั้งของสิ่งที่สร้าง
ตัวแปรสุ่มนั้นขึ้นมา, จริงไหม?
ก่อนหน้านี้, ในวิดีโอที่แล้ว, เรานับจำนวนหัว
ในการโยนเหรียญ
นีก็คือจำนวนครั้งที่โยนเหรียญ, คูณ
ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จในการโยนแต่ละครั้ง
นี่คือสิ่งที่เราทำในการกระจายตัวแบบทวินาม
บางทีเราอาจใช้แบบจำลองคล้ายกัน
ในเรื่องจราจรนี้ก็ได้
นี่คือจำนวนรถที่ผ่านในชั่วโมงหนึ่ง
บางทีเราอาจบอกว่ารถ แลมดาคัน ต่อชั่วโมง
เท่ากับ -- ไม่รู้สิ
สมมุติว่าการทดลองแต่ละครั้ง หรือการโยนเหรียญแต่ลครั้ง เหมือนกับ
การที่เราคันหนึ่งจะผ่านมาในแต่ละนาทีหรือไม่
มันมี 60 นาทีต่อชั่วดมง, มันจึงมี
การทดลอง 60 ครั้ง
แล้ว, ความน่าจะเป็นที่เราได้ผลสำเร็จใน
แต่ละครั้งที่ทดลอง, ถ้าเราจำลองว่ามันเป็นการกระจายตัว
แบบทวินาม เราจะได้ แลมดา ส่วน 60 คันต่อนาที
นี่ก็คือความน่าจะเป็น
นี่ก็คือ n, แล้วนี่คือความน่าจะเป็น, ถ้าเราบอกว่า
นี่คือการกระจายตัวแบบทวินาม
นี่อาจไม่ใช่การประมาณที่แย่เท่าไหร่
ถ้าคุณบอกว่า, โอ้, นี่คือการกระจายตัวแบบ
ทวินาม, งั้นความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม
ของเราเท่ากับค่าที่กำหนด, k
คุณก็รู้, ความน่าจะเป็นที่มีรถ 3 คัน, มีรถ 3 คันผ่าน
ในหนึ่งชั่วโมงพอดี, เราจะได้ เท่ากับ n
n คือ 60
เลือก k, คุณก็รู้, เรามีรถ 3 คัน
คูณความน่าจะเป็นที่มันสำเร็จ
ความน่าจะเป็นที่มีรถผ่านในนาทีใดๆ
มันก็คือแลมดา ส่วน 60 ยกกำลังจำนวนความสำเร็จ
ที่เราต้องการ
งั้นยกกำลัง k, คูณความน่าจะเป็นที่ไม่สำเร็จ
หรือไม่มีรถผ่าน, กำลัง n ลบ k
แล้วถ้าเรามีความสำเร็จ k ครั้ง เราจะได้ความผิดพลาด 60 ลบ k ครั้ง
มันมีอยู่ 60 ลบ k นาทีที่ไม่มีรถผ่าน
นี่เป็นการประมาณที่ไม่เลว ถ้าคุณ
มี 60 ช่วง แล้วคุณบอกว่านี่คือการกระจายตัว
แบบทวินาม
แล้วคุณก็ได้คำตอบที่ฟังดูเข้าท่า
แต่มันมีปัญหาใหญ่ตรงนี้
ในแบบจำลองนี้, เราจำลองให้มันเป็นการกระจายตัวแบบทวินาม,
เกิดอะไรขึ้นถ้ามีรถผ่านมากกว่า 1 คันในหนึ่งชั่วโมง?
หรือมีรถผ่านมากกว่า 1 คันใน 1 นาที?
วิธีที่เราทำตอนนี้ เรานับว่ามันสำเร็จถ้ามี
รถหนึ่งคันผ่านไปในหนึ่งนาที
แล้วถ้าคุณนับอย่างนั้น คุณนับว่ามันสำเร็จ 1 ครั้งแม้ว่า
จะมีรถผ่านไป 5 คันในนาทีนั้น
คุณก็บอกว่า, โอ้, โอเค, ซาล, ฉันรู้วิธีแก้แล้ว
ฉันต้องทำให้มันละเอียดกว่านี้
แทนที่จะแบ่งมันเป็นนาที ทำไมฉัน
ไม่แบ่งเป็นวินาทีล่ะ?
ความน่าจะเป็นที่ฉันมีความสำเร็จ k ครั้ง -- แทนที่จะเป็น 60
ช่วง ฉันจะทำ 3600 ช่วง
แล้วความน่าจะเป็นที่มี k วินาทีของความสำเร็จ, วินาที
ที่มีรถผ่านหนึ่งคันในเวลานั้น จาก 3,600 วินาที
นั่นก็คือ 3,600 เลือก k, คูณความน่าจะเป็นที่รถ
ผ่านไปในแต่ละวินาที
นั่นคือค่าคาดหวังของรถที่ผ่านไปในหนึ่งชั่วโมง หารด้วย
จำนวนวินาทีในหนึ่งชั่วโมง
เราจะได้ความสำเร็จ k ครั้ง
แล้วพวกนี้คือการพลาด, ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว
คุณจะมีความล้มเหลวอยู่ 3600 ลบ k ครั้ง
แล้วนี่เป็นการประมาณที่ดีขึ้นไปอีก
ที่จริงมันไม่แย่นัก, แต่ถึงอย่างนั้น, คุณอาจมี
กรณีที่รถ 2 คันมาถัดกันใน
ช่วงเวลาครึ่งนาที
แล้วคุณก็บอว่า, โอ้, โอเค ซาล, ฉันเห็นรูปแบบแล้ว
เราต้องทำให้ละเอียดกว่านี้อีก
เราต้องทำให้เลขนี้มากขึ้น มากขึ้น
และมากขึ้น
และสัญชาตญาณคุณถูกต้องแล้ว
แล้วถ้าคุณทำอย่างนั้น คุณจะได้
การกระจายตัวแบบปัวซอง
และนี่มันน่าสนใจ เพราะคนส่วนใหญ่
มักให้สูตรสำหรับการกระจายตัวแบบปัวซอง แล้ว
คุณก็แค่แทนตัวเลข แล้วก็ใช้มัน
แต่มันดีกว่าที่รู้ว่า มันก็แค่การกระจายตัว
แบบทวินาม และการกระจายตัวแบบทวินามนั้น มาจาก
สามัญสำนึกเรื่องการโยนเหรียญ
นั่นคือที่มาของทุกอย่าง
แต่ก่อนที่เราพิสูจน์ว่าถ้าเราหาลิมิต
-- ขอผมเปลี่ยนสีหน่อย
ก่อนที่เราจะพิสูจน์ว่า เมื่อเราให้ลิมิตของ
จำนวนนี่ตรงนี้, จำนวนช่วงเข้าหาอนันต์แล้ว
นี่กลายเป็นการกระจายตัวแบบปัวซอง
ผมขอตรวจให้แน่ใจก่อนว่า เรามีเครื่องมือ
ทางคณิตศาสตร์ติดตัวพอ
อย่างแรกที่สิ่งที่คุณอาจคุ้นเคย
พอสมควรแล้วตนนี้, แต่ผมอยากแน่ใจว่า
ลิมิต เมื่อ x เข้าหาอนันต์ ของ 1 บวก a/x กำลัง x
เท่ากับ e กำลัง ax -- ไม่ใช่ ขอโทษที
เท่ากับ e กำลัง a, และตอนนี้เพื่อพิสูจน์ให้ดู,
ลองทำการแทนที่นิดหน่อยตรงนี้
สมมุติว่า n เท่ากับ -- สมมติว่า 1 ส่วน n
เท่ากับ a ส่วน x
แล้ว x คืออะไร มันคือ na
x คูณ 1 เท่ากับ n คูณ a
แล้วลิมิตเมื่อ x เข้าหาอนันต์,
a เข้าหาอะไร?
a คือ -- ขอโทษที
เมื่อ x เข้าหาอนันต์ n เข้าหาอะไร?
n คือ x หารด้วย a
n ก็จะเข้าหาอนันต์ด้วย
งั้นเจ้านี่ก็เหมือนกับการ
แทนลิมิตเมื่อ n เข้าหาอนันต์ของ 1
บวก -- a/x, ผมแทนให้มันเป็น 1/n
แล้ว x คือ, จากการแทนที่, n คูณ a
นี่ก็เหมือนกับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์ของ 1 บวก 1/n กำลัง n, ทั้งหมด
ยกกำลัง a
และเนื่องจากมันไม่มี n ข้างอนกนี้ เราก็เอาลิมิต
ของนี้ออกมาแล้วจับมันยกกำลัง a
นั่นก็จะเท่ากับลิมิตเมื่อ n เข้าใกล้
อนันต์ของ 1 บวก 1/n ยกกำลัง n, ทั้งหมดนั้น
ยกกำลัง a
แล้วนี่คือนิยาม, หรือวิธีที่ได้ e
หากคุณดูวิดีโอเรื่องดอกเบี้ยทบต้นอะไรพวกนั้น
นี่คือวิธีที่เราได้ e
แล้วถ้าคุณลองใช้เครื่องคิดเลข แล้วลอง
n มากขึ้น มากขึ้นเรื่อยๆ, คุณจะได้ e
ตัวข้างในเท่ากับ e, เราจับมันยกกำลัง a,
มันจึงเท่ากับ e กำลัง a
หวังว่าคุณคงพอใจแล้วว่าลิมิตนี้
เท่ากับ e กำลัง a
แล้วเครื่องมืออีกอย่างที่ผมอยากได้ติดไว้,
และผมอาจพิสูจน์ในวิดีโอหน้า
เครื่องมืออีกอย่างคือว่า x แฟคทอเรียล ส่วน
x ลบ k แฟคทอเรียล เท่ากับ x คูณ x ลบ 1 คูณ x
ลบ 2, ไปจนถึง x ลบ k ลบ 1
เราได้ทำมาหลายครั้งแล้ว และนี่คือ
รูปที่เป็นนามธรรมที่สุดที่เราเคยทำมา
ผมจะแสดงให้ดู, แค่ให้คุณรู้, พวกมันมี
อยู่ k เทอมพอดี
1, 2, 3 -- แล้วเทอมแรก, เทอมที่สอง, เทอมที่สาม,
ไปจนถึง นี่คือ k เทอม
นี่เป็นสิ่งสำคัญเวลาหาการกระจายตัว
แบบปัวซอง
แต่เพื่อทำให้มันเป็นจำนวนจริง, ถ้าผมมี 7 แฟคทอเรียล
ส่วน 7 ลบ 2 แฟคทอเรียล, นั่นเท่ากับ 7 คูณ 6
คูณ 5 คูณ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
ส่วน 2 คูณ -- ขอโทษที
7 ลบ 2, นี่คือ 5
มันคือส่วน 5 คูณ 4 คูณ 3 คูณ 2 คูณ 1
พวกนี้ตัดกันแล้วคุณเหลือ 7 คูณ 6
และนั่นก็คือ 7 แล้วเทอมสุดท้ายคือ 7 ลบ
2 บวก 1, ซึ่งเป็น 6
ในตัวอย่างนี้, k เป็น 2 แล้วคุณมีแค่ 2 เทอม
เมื่อเรารู้สองอย่างนี้แล้ว เราก็สามารถ
หาการกระจายตัวแบบปัวซองได้ แล้ว
ผมจะทำมันในวิดีโอหน้า
แล้วพบกันครับ