0:00:00.740,0:00:03.540
ვთქვათ ტრანსპორტირების ინჟინერი ხარ,

0:00:03.540,0:00:06.810
გინდა გაარკვიო, რამდენი მანქანა გაივლის

0:00:06.810,0:00:08.320
კონკრეტულ წერტილს ქუჩაზე [br]ნებისმიერ მოცემულ წერტილს რაღაც დროში.

0:00:08.320,0:00:10.210
გინდათ გაიგოთ შესაძლებლობა

0:00:10.210,0:00:14.010
100 მანქანა გაივლის [br]თუ ხუთი მოცემულ საათში.

0:00:14.010,0:00:15.810
კარგია აქ დაწყება შემთხვევითი ცვლადის

0:00:15.810,0:00:20.530
განსაზღვრით, რომელიც [br]წარმოადგენს იმას, რაც გაინტერესებთ.

0:00:20.530,0:00:27.350
ვთქვათ მანქანების რიცხვი, [br]რომელიც განსაზღვრულ დროში,

0:00:27.350,0:00:31.727
ვთქვათ ერთ საათში ჩაივლის.

0:00:31.727,0:00:34.510
თქვენი მიზანია [br]გაიგოთ შესაძლებლობების გადანაწილება

0:00:34.510,0:00:37.730
ამ შემთხვევითი ცვლადის [br]და როცა გეცოდინებათ ალბათობა

0:00:37.730,0:00:39.450
შემდეგ შეძლებთ განსაზღვროთ

0:00:39.450,0:00:41.790
რა არის 100 მანქანის [br]გავლის ალბათობა საათში ან

0:00:41.790,0:00:45.890
საათში არცერთი მანქანის [br]გავლის ალბათობა და ვერ გაჩერდებით.

0:00:45.890,0:00:48.290
ვიდეოს გასაგრძელებლად

0:00:48.290,0:00:50.540
ორი რამ უნდა ვივარაუდოთ, რადგან

0:00:50.540,0:00:52.235
უნდა შევისწავლოთ პუასონის გადანაწილება.

0:00:52.235,0:00:54.650
და ამის შესასწავლად [br]უნდა ვივარაუდოთ ორი რამ:

0:00:54.650,0:00:58.770
რომ ნებისმიერ დროს [br]ქუჩის ეს ადგილი არ განსხვავდება

0:00:58.770,0:00:59.650
ნებისმიერ სხვა დროს.

0:00:59.650,0:01:01.340
და ვიცით, რომ ეს შეიძლება ტყუილია.

0:01:01.340,0:01:03.750
პიკი საათის დროს, რეალურად ალბათ

0:01:03.750,0:01:06.640
მეტი მანქანა [br]გაივლის ვიდრე სხვა პიკ საათებში.

0:01:06.640,0:01:08.640
და იცით უფრო რეალური რომ იყოს იქნებ

0:01:08.640,0:01:12.370
ერთ დღეში გავაკეთოთ, [br]რადგან დროის ნებისმიერ პერიოდში--

0:01:12.370,0:01:12.900
უფროსწორად, არა.

0:01:12.900,0:01:14.120
არუნდა გავაკეთო დღეში.

0:01:14.120,0:01:17.750
უნდა დავუშვათ, [br]რომ ყოველი საათი ზუსტად იგივეა, რაც

0:01:17.750,0:01:19.650
სხვა საათები და საერთოდ საათში

0:01:19.650,0:01:25.820
მანქანის მოსვლის ალბათობის პირობების [br]მიხედვით წამებშიც არ არის განსხვავება.

0:01:25.820,0:01:27.950
ეს ოდნავი გამარტივების ვარაუდია,

0:01:27.950,0:01:29.950
რომელიც შესაძლოა [br]ტრანსპორტის მოძრაობას არ შეეფერებოდეს,

0:01:29.950,0:01:32.270
თუმცა ვფიქრობ, შეგვიძლია, რომ ვივარაუდოთ.

0:01:32.270,0:01:34.160
და შემდეგი დასაშვები ვარაუდი არის

0:01:34.160,0:01:36.690
თუ ბევრმა მანქანამ [br]ჩაიარა საათში, ეს არ ნიშნავს, რომ

0:01:36.690,0:01:37.820
ნაკლები მანქანა ჩაივლის შემდეგში.

0:01:37.820,0:01:40.630
დროის რაღაც პერიოდში [br]გავლილი მანქანების რაოდენობა

0:01:40.630,0:01:45.380
არ ახდენს გავლენას შემდეგ [br]საათში გავლილი მანქანების რაოდენობაზე.

0:01:45.380,0:01:47.370
ისინი არაფერზე არიან დამოკიდებული.

0:01:47.370,0:01:50.670
ამ ინფორმაციით, შეგვიძლია ვცადოთ

0:01:50.670,0:01:53.480
რაღაც ტიპის გადანაწილებიის წარმოჩენა.

0:01:53.480,0:01:55.770
პირველ რიგში უნდა გააკეთოთ-- [br]და გირჩევთ ამას

0:01:55.770,0:01:59.090
ნებისმიერი გადანაწილებისთვის--[br]არის საშუალო შეფასება.

0:01:59.090,0:02:03.040
დავსხდეთ და გავიგოთ რას უდრის ცვლადი

0:02:03.040,0:02:05.170
რამდენიმე საათში [br]და შემდეგ გავიგოთ საშუალო, ეს კარგი

0:02:05.170,0:02:09.930
აღმრიცხველია ჩვენი მოსახლეობის.

0:02:09.930,0:02:12.270
ან სანამ ეს შემთხვევითი [br]ცვლადია, მოსალოდნელი მნიშვნელობა

0:02:12.270,0:02:13.010
ამ შემთხვევითი ცვლადის.

0:02:13.010,0:02:16.660
ვთქვათ გააკეთეთ ეს [br]და მიიღეთ საუკეთესო შეფასევა

0:02:16.660,0:02:22.270
შემთხვევითი ცვლადის [br]მოსალოდნელი მნიშვნელობის--

0:02:22.270,0:02:24.850
გამოვიყენებ ასო "ლამბდას".

0:02:24.850,0:02:27.380
იცით, რომ ეს [br]შეიძლება იყოს ცხრა მანქანა საათში.

0:02:27.380,0:02:30.190
იქ დასხედით--[br]შეიძლება იყოს 9.3 მანქანა საათში.

0:02:30.190,0:02:32.670
ისხედით იქ ასობით საათი და დაითვალეთ

0:02:32.670,0:02:34.590
მანქანების რაოდენობა ყოველ [br]საათში და გაიგეთ ამათი საშუალო.

0:02:34.590,0:02:37.250
ვთქვათ საშუალოდ [br]9.3 მანქანა გადის საათში და

0:02:37.250,0:02:38.680
აშკარად კარგი შეფასებაა.

0:02:38.680,0:02:40.080
ანუ ეს გაქვთ.

0:02:40.080,0:02:42.000
ვნახოთ, რისი გაკეთება შეგვიძლია.

0:02:42.000,0:02:45.560
ვიცით ორობითი გადანაწილება.

0:02:45.560,0:02:50.650
ორობითის გადანაწილების [br]მიხედვით მოსალოდნელი ოდენობა

0:02:50.650,0:02:55.490
შემთხვევითი ცვლადისა [br]უდრის რიცხვებს, რომლებისგანაც

0:02:55.490,0:02:57.460
შედგენილია შემთხვევითი ცვლადი, სწორია?

0:02:57.460,0:02:59.490
მანამდე, წინა ვიდეოში, [br]ვითვლიდით მონეტის აგდებისას

0:02:59.490,0:03:00.500
გერბების რაოდენობას.

0:03:00.500,0:03:03.070
ანუ ეს იქნება მონეტის [br]აგდების რაოდენობა გამრავლებული

0:03:03.070,0:03:07.290
აგდების გამართლების ალბათობაზე.

0:03:07.290,0:03:09.000
აი ეს გავაკეთეთ ორობითის გადანაწილებაზე.

0:03:09.000,0:03:12.780
იქნებ შევძლოთ რაღაც მსგავსის [br]გაგება ჩვენს სატრანსპორტო სიტუაციაში.

0:03:12.780,0:03:15.400
ეს საათში გავლილი მანქანების რაოდენობაა.

0:03:15.400,0:03:22.800
იქნებ ვთავათ, [br]ლამბდა მანქანები/საათში უდრის--

0:03:22.800,0:03:26.870
არ ვიცი.

0:03:26.870,0:03:29.880
მოდით გავუტოლოთ ყოველი [br]ექსპერიმენტი, ყოველი მონეტის აგდება

0:03:29.880,0:03:31.780
წუთში მანქანის გავლას.

0:03:31.780,0:03:40.880
საათში 60 წუთია, ანუ 60 ცდა იქნება.

0:03:40.880,0:03:43.190
და შემდეგ ალბათობა იმისა, რომ ყოველ ცდაში

0:03:43.190,0:03:46.990
გაგვიმართლებს, თუ ეს [br]ორობითის გადანაწილებით ჩავწერეთ,

0:03:46.990,0:03:54.450
იქნება ლამბდა [br]შეფარდებული 60 მანქანასთან წუთში.

0:03:54.450,0:03:55.660
და ეს იქნება ალბათობა.

0:03:55.660,0:03:58.640
ეს იქნება n და ეს იქნება ალბათობა, თუ ეს

0:03:58.640,0:04:00.270
ორობითი გადანაწილებაა.

0:04:00.270,0:04:04.030
და არცისე ცუდი იქნება მიახლოებითი პასუხში.

0:04:04.030,0:04:06.130
და შემდეგ იტყვით,[br]რომ ეს ორობითის გადანაწილებაა,

0:04:06.130,0:04:12.970
ანუ ალბათობა [br]შემთხვევითი ცვლადის უდრის რაღაც k-ს.

0:04:12.970,0:04:16.170
იცით ალბათობა იმისა, [br]რომ ზუსტად სამი მანქანა

0:04:16.170,0:04:19.750
გაივლის მოცემულ საათში, [br]მაშინ ეს იქნებოდა n-ის ტოლი.

0:04:19.750,0:04:21.890
n იქნება 60-ის ტოლი.

0:04:21.890,0:04:26.010
აირჩიეთ k და იცით, [br]რომ სამი მანქანა გამრავლებულია

0:04:26.010,0:04:27.190
გამართლების ალბათობაზე.

0:04:27.190,0:04:29.570
ანუ ალბათობა იმისა [br]რომ მანქანა ჩაივლის ყოველ წუთას.

0:04:29.570,0:04:35.980
ეს იქნება ლამბდა შეფარდებული 60-თან და [br]აყვანილი გამართლების რაოდენობის ხარისხში.

0:04:35.980,0:04:41.660
ანუ k ხარისხში, [br]გამრავლებული წარუმატებლობის ალბათობაზე

0:04:41.660,0:04:46.560
ან მანქანა არ გაივლის, n მინუს k ხარისხში.

0:04:46.560,0:04:50.230
თუ გვაქვს k გამართლება, [br]გვექნება 60-ს მინუს k წარუმატებლობა.

0:04:50.230,0:04:52.950
60-ს მინუს k წუთი, [br]როცა არცერთ მანქანას ჩაუვლია.

0:04:52.950,0:04:55.270
არ იქნება ამდენად [br]ცუდი მიახლოებულ პასუხში, სადაც

0:04:55.270,0:04:58.570
გაქვთ 60 შუალედი [br]და გაქვთ ორობითი გადანაწილება.

0:04:58.570,0:05:00.310
და ალბათ მიიღებთ ნორმალურ პასუხს.

0:05:00.310,0:05:02.600
მაგრამ გვაქვს მთავარი შეკითხვა.

0:05:02.600,0:05:06.580
ამ მაგალითში გვაქვს [br]ორობითის გადანაწილების ნიმუში,

0:05:06.580,0:05:09.980
რა ხდება, თუ საათში [br]ერთზე მეტი მანქანა გაივლის?

0:05:09.980,0:05:11.630
ან როცა ერთზე მეტი მანქანა გადის წუთში?

0:05:11.630,0:05:14.270
ამ შემთხვევაში [br]ვეძახით გამართლებას, როცა ერთი

0:05:14.270,0:05:15.320
მანქანა გადის წუთში.

0:05:15.320,0:05:18.790
და როცა ითვლით, ამას [br]თვლით ერთ გამართლებად, თუნდაც

0:05:18.790,0:05:21.190
ხუთმა მანქანამ ჩაიაროს წუთში.

0:05:21.190,0:05:23.390
და ამბობთ, კარგი, სალ, ვიცი ამოხსნა.

0:05:23.390,0:05:26.040
უბრალოდ მჭირდება მეტი დეტალები.

0:05:26.040,0:05:28.870
წუთბზე გაყოფის მაგივრად რატომ არ

0:05:28.870,0:05:31.050
ვყოფთ წამებზე?

0:05:31.050,0:05:36.210
ანუ ალბათობა იმისა, რომ მექნება k გამართლება--

0:05:36.210,0:05:39.820
60-ის მაგივრად დავწერ 3600-ს.

0:05:39.820,0:05:43.170
ანუ ალბათობა [br]k-ს გამართლების წამში, ანუ წამი,

0:05:43.170,0:05:48.610
რომელშიც მანქანა [br]გაივლის ამ მომენტში ამ 3600 წამიდან.

0:05:48.610,0:05:52.190
ანუ 3600-ის [br]არჩევანი k გამრავლებული მანქანის

0:05:52.190,0:05:55.210
ნებისმერ მოცემულ წამში გავლის ალბათობაზე.

0:05:55.210,0:05:57.930
ესაა საათში მანქანის [br]გავლის მოსალოდნელი რიცხვი გაყოფილი

0:05:57.930,0:06:00.430
წამების რაოდენობაზე საათში.

0:06:00.430,0:06:04.003
გვექნება k გამართლება.

0:06:04.003,0:06:06.270
ესენი წარუმატებლობებია, [br]წარუმატებლობის ალბათობა

0:06:06.270,0:06:12.050
და გექნებათ 3600 მინუს k წარუმატებლობა.

0:06:12.050,0:06:13.910
და ეს იქნება უკეთესი მიახლოებაც.

0:06:13.910,0:06:16.770
არ იქნება ამდენად ცუდი,[br]მაგრამ მაინც, გაქვთ ეს შემთხვევა,

0:06:16.770,0:06:19.980
სადაც ორი მანქანა გადის ნახევარ წამში.

0:06:19.980,0:06:21.910
და თქვენ ამბობთ, [br]სალ, აქ ფორმულის ნიმუშია.

0:06:21.910,0:06:23.650
უფრო მცირე ერთეულები გვინდა.

0:06:23.650,0:06:27.430
ეს რიცხვი[br]უფრო და უფრო უნდა გავადიდოთ.

0:06:27.430,0:06:28.950
და თქვენ სწორად მიხვდით.

0:06:28.950,0:06:31.340
და თუ ამას გააკეთებთ, მიიღებთ

0:06:31.340,0:06:33.860
პუასონის გადანაწილებას.

0:06:33.860,0:06:35.620
ძალიან საინტერესოა, რადგან ხალხი

0:06:35.620,0:06:38.600
ბევრჯერ გაძლევს [br]პუასონის გადანაწილების ფორმულას და

0:06:38.600,0:06:40.420
შეგიძლიათ ჩასვათ რიცხვები და გამოიყენოთ.

0:06:40.420,0:06:43.250
მაგრამ კარგი თუ იცით, რომ [br]ეს მართლაც ორწევრის გადანაწილებაა

0:06:43.250,0:06:45.790
და ორწევრის გადანაწილება მართლაც

0:06:45.790,0:06:48.590
მონეტის აგდებიდან მოდის.

0:06:48.590,0:06:50.500
აქედან მოდის ყველაფერი.

0:06:50.500,0:06:53.710
მაგრამ სანამ [br]დავამტკიცებთ თუ ავიღებთ უკიდურეს--

0:06:53.710,0:06:55.670
მოდით ფერს შევცვლი.

0:06:55.670,0:06:58.470
სანამ დავამტკიცებთ, [br]რომ, როცა ვიღებთ უკიდურესს რიცხვს

0:06:58.470,0:07:01.270
აი აქ, შუალედების [br]რიცხვი უახლოვდება უსასრულობას

0:07:01.270,0:07:04.070
და ეს ხდება პუასონის გადანაწილება.

0:07:04.070,0:07:09.170
მინდა დავრწმუნდეთ, [br]რომ გვაქვს მათემატიკური ხელსაწყოები.

0:07:09.170,0:07:12.760
პირვე რიგში არის რაღაც, [br]რაც ამჯერად თქვენთვის ალბათ ნაცნობია,

0:07:12.760,0:07:15.860
მაგრამ უბრალოდ მინდა რომ დავრწმუნდე, რომ

0:07:15.860,0:07:25.680
ლიმიტი როცა x უახლოვდება [br]უსასრულობას ერთს პლუს a/x x ხარისხის

0:07:25.680,0:07:31.020
უდრის e-ს ax--[br]ბოდიში, არა.

0:07:31.020,0:07:38.020
უდრის e-ს a ხარისხში [br]და ახლა ამის დასამტკიცებლად,

0:07:38.020,0:07:39.260
მოდით, ჩავანაცლოთ.

0:07:39.260,0:07:47.870
ვთქვატ, n უდრის--[br]1/n უდრის a/x-ს.

0:07:47.880,0:07:55.300
შემდეგ x იქნება na-ს ტოლი.

0:07:55.300,0:08:00.050
ანუ ლიმიტი[br]როცა x უახლოდება უსასრულობას.

0:08:00.050,0:08:02.045
რას უახლოვდება a?

0:08:02.045,0:08:02.885
a არის--[br]ბოდიში.

0:08:02.885,0:08:04.920
როცა x უახლოვდება [br]უსასრულობას, რას უახლოვდება n?

0:08:04.920,0:08:07.350
n უდრის x/a-ს.

0:08:07.350,0:08:08.710
ანუ n-ც უახლოვდება უსასრულობას.

0:08:08.710,0:08:10.810
ანუ ეს იგივე იქნება, რაც ჩანაცვლება,

0:08:10.810,0:08:16.460
რომ n უახლოვდება უსასრულობას ერთს პლუს--

0:08:16.460,0:08:21.390
a/x, ჩავანაცვლე 1/n-ით.

0:08:21.390,0:08:26.720
და x უდრის, ამ ჩანაცვლებით, n-ჯერ a.

0:08:26.720,0:08:30.500
და ეს იქნება იგივე, რაც ლიმიტი, როცა n

0:08:30.500,0:08:39.440
უახლოვდება უსასრულობას ერთს პლუს [br]1/n n ხარისხში, ეს ყველაფერი a ხარისხში.

0:08:39.440,0:08:41.760
და მას შემდეგ, რაც n აღარაა [br]შეგვიძლია ავიღოთ ამის საზღვარი

0:08:41.760,0:08:43.450
და ავიყვანოთ a ხარისხში.

0:08:43.450,0:08:47.690
ანუ ეს უდრის ლიმიტს, როცა n უახლოვდება

0:08:47.690,0:08:53.780
უსასრულობას ერთს პლუს [br]1/n n ხარისხში, ეს ყველაფერი a ხარისხში.

0:08:53.780,0:08:58.040
და ეს ჩვენი განსაზღვრებაა [br]ან ერთ-ერთი გზა e-ს მიღების

0:08:58.040,0:09:00.820
თუ ნახავთ ვიდეოს რთულს პროცენტზე.

0:09:00.820,0:09:01.880
ასე მივიღეთ e.

0:09:01.880,0:09:03.460
და თუ თავად ცდით კალკულატორით,

0:09:03.460,0:09:07.260
ცადეთ უფრო და უფრო დიდი n და მიიღეთ e.

0:09:07.260,0:09:12.010
ეს შიდა ნაწილი [br]უდრის e-ს და a ხარისხში აგვყავს,

0:09:12.010,0:09:14.060
ანუ უდრის e-ს a ხარისხში.

0:09:14.060,0:09:16.240
იმედია კმაყოფილი ხართ, რომ საზღვარი

0:09:16.240,0:09:17.860
უდრის e-ს a ხარისხში.

0:09:17.860,0:09:19.860
და შემდეგ ისევ გვინდა ხელსაწყოები და

0:09:19.860,0:09:22.340
ალბათ დავამტკიცებ შემდეგ ვიდეოში.

0:09:22.340,0:09:32.950
შემდეგი რამ, რაც უნდა [br]ვიცნოთ არის x-ის ფაქტორიალი

0:09:32.950,0:09:42.860
შეფარდებული x მინუს k-ს ფაქტორიალი და [br]უდრის x-ჯერ მინუს ერთი გამრავლებული x-ზე

0:09:42.860,0:09:50.030
მინუს ორი, ახლა ეს ქვედა, [br]გამრავლებული x მინუს k პლუს ერთზე.

0:09:50.030,0:09:53.070
ეს ბევრჯერ გაგვიკეთებია, მაგრამ ეს [br]ყველაზე აბსტრაქტული, რაც კი დაგვიწერია.

0:09:53.070,0:09:55.580
შემიძლია მოგცეთ რამდენიმე--[br]და თქვენი იცით, რომ ისინი

0:09:55.580,0:09:57.330
იქნება ზუსტად k წევრი აი აქ.

0:09:57.330,0:10:01.700
1, 2, 3-- [br]პირველი წევრი, მეორე წევრი, მესამე წევრი

0:10:01.700,0:10:04.310
და ეს k წევრია.

0:10:04.310,0:10:09.160
და ეს მნიშვნელოვანია პუასონის [br]გადანაწილების წარმოსაქმენლად.

0:10:09.160,0:10:13.870
ნამდვილ რიცხვებში რომ გავაკეთოთ, თუ [br]მაქვს შვიდის ფაქტორიალი შეფარდებული

0:10:13.870,0:10:20.110
შვიდზე მინუს ორის [br]ფაქტორიალი, რაც უდრის შვიდჯერ ექვს

0:10:20.110,0:10:24.070
ხუთჯერ გამრავლებული ოთხზე გამრავლებული [br]სამზე ორჯერ და გამრავლებული ერთზე.

0:10:24.070,0:10:27.360
შეფარდებული ორზე--[br]არა, ბოდიში.

0:10:27.360,0:10:28.940
შვიდი მინუს ორი ხუთია.

0:10:28.940,0:10:33.500
შეფარდებული ხუთჯერ ოთხზე [br]გამრავლებული სამჯერ ორზე გამრავლებული ერთზე.

0:10:33.500,0:10:37.190
ესენი ბათილდება და გაქვთ შვიდჯერ ექვსი.

0:10:37.190,0:10:40.990
ანუ არის შვიდი და გაქვს შვიდჯერ ექვსი.

0:10:40.990,0:10:47.605
ორს პლუს ერთი, რაც ექვსია.

0:10:47.605,0:10:51.290
ამ მაგალითში k იყო ორი [br]და ზუსტად ორი წევრი გქონდათ.

0:10:51.290,0:10:53.230
როცა ვიცით ეს ორი რაღაც ახლა მზად ვართ

0:10:53.230,0:10:55.710
წამოვადგინოთ პუასონის გადანაწილება და ამას

0:10:55.710,0:10:58.415
შემდეგ ვიდეოში გავაკეთებ.

0:10:58.415,0:10:59.980
დროებით.