ვთქვათ ტრანსპორტირების ინჟინერი ხარ,
გინდა გაარკვიო, რამდენი მანქანა გაივლის
კონკრეტულ წერტილს ქუჩაზე
ნებისმიერ მოცემულ წერტილს რაღაც დროში.
გინდათ გაიგოთ შესაძლებლობა
100 მანქანა გაივლის
თუ ხუთი მოცემულ საათში.
კარგია აქ დაწყება შემთხვევითი ცვლადის
განსაზღვრით, რომელიც
წარმოადგენს იმას, რაც გაინტერესებთ.
ვთქვათ მანქანების რიცხვი,
რომელიც განსაზღვრულ დროში,
ვთქვათ ერთ საათში ჩაივლის.
თქვენი მიზანია
გაიგოთ შესაძლებლობების გადანაწილება
ამ შემთხვევითი ცვლადის
და როცა გეცოდინებათ ალბათობა
შემდეგ შეძლებთ განსაზღვროთ
რა არის 100 მანქანის
გავლის ალბათობა საათში ან
საათში არცერთი მანქანის
გავლის ალბათობა და ვერ გაჩერდებით.
ვიდეოს გასაგრძელებლად
ორი რამ უნდა ვივარაუდოთ, რადგან
უნდა შევისწავლოთ პუასონის გადანაწილება.
და ამის შესასწავლად
უნდა ვივარაუდოთ ორი რამ:
რომ ნებისმიერ დროს
ქუჩის ეს ადგილი არ განსხვავდება
ნებისმიერ სხვა დროს.
და ვიცით, რომ ეს შეიძლება ტყუილია.
პიკი საათის დროს, რეალურად ალბათ
მეტი მანქანა
გაივლის ვიდრე სხვა პიკ საათებში.
და იცით უფრო რეალური რომ იყოს იქნებ
ერთ დღეში გავაკეთოთ,
რადგან დროის ნებისმიერ პერიოდში--
უფროსწორად, არა.
არუნდა გავაკეთო დღეში.
უნდა დავუშვათ,
რომ ყოველი საათი ზუსტად იგივეა, რაც
სხვა საათები და საერთოდ საათში
მანქანის მოსვლის ალბათობის პირობების
მიხედვით წამებშიც არ არის განსხვავება.
ეს ოდნავი გამარტივების ვარაუდია,
რომელიც შესაძლოა
ტრანსპორტის მოძრაობას არ შეეფერებოდეს,
თუმცა ვფიქრობ, შეგვიძლია, რომ ვივარაუდოთ.
და შემდეგი დასაშვები ვარაუდი არის
თუ ბევრმა მანქანამ
ჩაიარა საათში, ეს არ ნიშნავს, რომ
ნაკლები მანქანა ჩაივლის შემდეგში.
დროის რაღაც პერიოდში
გავლილი მანქანების რაოდენობა
არ ახდენს გავლენას შემდეგ
საათში გავლილი მანქანების რაოდენობაზე.
ისინი არაფერზე არიან დამოკიდებული.
ამ ინფორმაციით, შეგვიძლია ვცადოთ
რაღაც ტიპის გადანაწილებიის წარმოჩენა.
პირველ რიგში უნდა გააკეთოთ--
და გირჩევთ ამას
ნებისმიერი გადანაწილებისთვის--
არის საშუალო შეფასება.
დავსხდეთ და გავიგოთ რას უდრის ცვლადი
რამდენიმე საათში
და შემდეგ გავიგოთ საშუალო, ეს კარგი
აღმრიცხველია ჩვენი მოსახლეობის.
ან სანამ ეს შემთხვევითი
ცვლადია, მოსალოდნელი მნიშვნელობა
ამ შემთხვევითი ცვლადის.
ვთქვათ გააკეთეთ ეს
და მიიღეთ საუკეთესო შეფასევა
შემთხვევითი ცვლადის
მოსალოდნელი მნიშვნელობის--
გამოვიყენებ ასო "ლამბდას".
იცით, რომ ეს
შეიძლება იყოს ცხრა მანქანა საათში.
იქ დასხედით--
შეიძლება იყოს 9.3 მანქანა საათში.
ისხედით იქ ასობით საათი და დაითვალეთ
მანქანების რაოდენობა ყოველ
საათში და გაიგეთ ამათი საშუალო.
ვთქვათ საშუალოდ
9.3 მანქანა გადის საათში და
აშკარად კარგი შეფასებაა.
ანუ ეს გაქვთ.
ვნახოთ, რისი გაკეთება შეგვიძლია.
ვიცით ორობითი გადანაწილება.
ორობითის გადანაწილების
მიხედვით მოსალოდნელი ოდენობა
შემთხვევითი ცვლადისა
უდრის რიცხვებს, რომლებისგანაც
შედგენილია შემთხვევითი ცვლადი, სწორია?
მანამდე, წინა ვიდეოში,
ვითვლიდით მონეტის აგდებისას
გერბების რაოდენობას.
ანუ ეს იქნება მონეტის
აგდების რაოდენობა გამრავლებული
აგდების გამართლების ალბათობაზე.
აი ეს გავაკეთეთ ორობითის გადანაწილებაზე.
იქნებ შევძლოთ რაღაც მსგავსის
გაგება ჩვენს სატრანსპორტო სიტუაციაში.
ეს საათში გავლილი მანქანების რაოდენობაა.
იქნებ ვთავათ,
ლამბდა მანქანები/საათში უდრის--
არ ვიცი.
მოდით გავუტოლოთ ყოველი
ექსპერიმენტი, ყოველი მონეტის აგდება
წუთში მანქანის გავლას.
საათში 60 წუთია, ანუ 60 ცდა იქნება.
და შემდეგ ალბათობა იმისა, რომ ყოველ ცდაში
გაგვიმართლებს, თუ ეს
ორობითის გადანაწილებით ჩავწერეთ,
იქნება ლამბდა
შეფარდებული 60 მანქანასთან წუთში.
და ეს იქნება ალბათობა.
ეს იქნება n და ეს იქნება ალბათობა, თუ ეს
ორობითი გადანაწილებაა.
და არცისე ცუდი იქნება მიახლოებითი პასუხში.
და შემდეგ იტყვით,
რომ ეს ორობითის გადანაწილებაა,
ანუ ალბათობა
შემთხვევითი ცვლადის უდრის რაღაც k-ს.
იცით ალბათობა იმისა,
რომ ზუსტად სამი მანქანა
გაივლის მოცემულ საათში,
მაშინ ეს იქნებოდა n-ის ტოლი.
n იქნება 60-ის ტოლი.
აირჩიეთ k და იცით,
რომ სამი მანქანა გამრავლებულია
გამართლების ალბათობაზე.
ანუ ალბათობა იმისა
რომ მანქანა ჩაივლის ყოველ წუთას.
ეს იქნება ლამბდა შეფარდებული 60-თან და
აყვანილი გამართლების რაოდენობის ხარისხში.
ანუ k ხარისხში,
გამრავლებული წარუმატებლობის ალბათობაზე
ან მანქანა არ გაივლის, n მინუს k ხარისხში.
თუ გვაქვს k გამართლება,
გვექნება 60-ს მინუს k წარუმატებლობა.
60-ს მინუს k წუთი,
როცა არცერთ მანქანას ჩაუვლია.
არ იქნება ამდენად
ცუდი მიახლოებულ პასუხში, სადაც
გაქვთ 60 შუალედი
და გაქვთ ორობითი გადანაწილება.
და ალბათ მიიღებთ ნორმალურ პასუხს.
მაგრამ გვაქვს მთავარი შეკითხვა.
ამ მაგალითში გვაქვს
ორობითის გადანაწილების ნიმუში,
რა ხდება, თუ საათში
ერთზე მეტი მანქანა გაივლის?
ან როცა ერთზე მეტი მანქანა გადის წუთში?
ამ შემთხვევაში
ვეძახით გამართლებას, როცა ერთი
მანქანა გადის წუთში.
და როცა ითვლით, ამას
თვლით ერთ გამართლებად, თუნდაც
ხუთმა მანქანამ ჩაიაროს წუთში.
და ამბობთ, კარგი, სალ, ვიცი ამოხსნა.
უბრალოდ მჭირდება მეტი დეტალები.
წუთბზე გაყოფის მაგივრად რატომ არ
ვყოფთ წამებზე?
ანუ ალბათობა იმისა, რომ მექნება k გამართლება--
60-ის მაგივრად დავწერ 3600-ს.
ანუ ალბათობა
k-ს გამართლების წამში, ანუ წამი,
რომელშიც მანქანა
გაივლის ამ მომენტში ამ 3600 წამიდან.
ანუ 3600-ის
არჩევანი k გამრავლებული მანქანის
ნებისმერ მოცემულ წამში გავლის ალბათობაზე.
ესაა საათში მანქანის
გავლის მოსალოდნელი რიცხვი გაყოფილი
წამების რაოდენობაზე საათში.
გვექნება k გამართლება.
ესენი წარუმატებლობებია,
წარუმატებლობის ალბათობა
და გექნებათ 3600 მინუს k წარუმატებლობა.
და ეს იქნება უკეთესი მიახლოებაც.
არ იქნება ამდენად ცუდი,
მაგრამ მაინც, გაქვთ ეს შემთხვევა,
სადაც ორი მანქანა გადის ნახევარ წამში.
და თქვენ ამბობთ,
სალ, აქ ფორმულის ნიმუშია.
უფრო მცირე ერთეულები გვინდა.
ეს რიცხვი
უფრო და უფრო უნდა გავადიდოთ.
და თქვენ სწორად მიხვდით.
და თუ ამას გააკეთებთ, მიიღებთ
პუასონის გადანაწილებას.
ძალიან საინტერესოა, რადგან ხალხი
ბევრჯერ გაძლევს
პუასონის გადანაწილების ფორმულას და
შეგიძლიათ ჩასვათ რიცხვები და გამოიყენოთ.
მაგრამ კარგი თუ იცით, რომ
ეს მართლაც ორწევრის გადანაწილებაა
და ორწევრის გადანაწილება მართლაც
მონეტის აგდებიდან მოდის.
აქედან მოდის ყველაფერი.
მაგრამ სანამ
დავამტკიცებთ თუ ავიღებთ უკიდურეს--
მოდით ფერს შევცვლი.
სანამ დავამტკიცებთ,
რომ, როცა ვიღებთ უკიდურესს რიცხვს
აი აქ, შუალედების
რიცხვი უახლოვდება უსასრულობას
და ეს ხდება პუასონის გადანაწილება.
მინდა დავრწმუნდეთ,
რომ გვაქვს მათემატიკური ხელსაწყოები.
პირვე რიგში არის რაღაც,
რაც ამჯერად თქვენთვის ალბათ ნაცნობია,
მაგრამ უბრალოდ მინდა რომ დავრწმუნდე, რომ
ლიმიტი როცა x უახლოვდება
უსასრულობას ერთს პლუს a/x x ხარისხის
უდრის e-ს ax--
ბოდიში, არა.
უდრის e-ს a ხარისხში
და ახლა ამის დასამტკიცებლად,
მოდით, ჩავანაცლოთ.
ვთქვატ, n უდრის--
1/n უდრის a/x-ს.
შემდეგ x იქნება na-ს ტოლი.
ანუ ლიმიტი
როცა x უახლოდება უსასრულობას.
რას უახლოვდება a?
a არის--
ბოდიში.
როცა x უახლოვდება
უსასრულობას, რას უახლოვდება n?
n უდრის x/a-ს.
ანუ n-ც უახლოვდება უსასრულობას.
ანუ ეს იგივე იქნება, რაც ჩანაცვლება,
რომ n უახლოვდება უსასრულობას ერთს პლუს--
a/x, ჩავანაცვლე 1/n-ით.
და x უდრის, ამ ჩანაცვლებით, n-ჯერ a.
და ეს იქნება იგივე, რაც ლიმიტი, როცა n
უახლოვდება უსასრულობას ერთს პლუს
1/n n ხარისხში, ეს ყველაფერი a ხარისხში.
და მას შემდეგ, რაც n აღარაა
შეგვიძლია ავიღოთ ამის საზღვარი
და ავიყვანოთ a ხარისხში.
ანუ ეს უდრის ლიმიტს, როცა n უახლოვდება
უსასრულობას ერთს პლუს
1/n n ხარისხში, ეს ყველაფერი a ხარისხში.
და ეს ჩვენი განსაზღვრებაა
ან ერთ-ერთი გზა e-ს მიღების
თუ ნახავთ ვიდეოს რთულს პროცენტზე.
ასე მივიღეთ e.
და თუ თავად ცდით კალკულატორით,
ცადეთ უფრო და უფრო დიდი n და მიიღეთ e.
ეს შიდა ნაწილი
უდრის e-ს და a ხარისხში აგვყავს,
ანუ უდრის e-ს a ხარისხში.
იმედია კმაყოფილი ხართ, რომ საზღვარი
უდრის e-ს a ხარისხში.
და შემდეგ ისევ გვინდა ხელსაწყოები და
ალბათ დავამტკიცებ შემდეგ ვიდეოში.
შემდეგი რამ, რაც უნდა
ვიცნოთ არის x-ის ფაქტორიალი
შეფარდებული x მინუს k-ს ფაქტორიალი და
უდრის x-ჯერ მინუს ერთი გამრავლებული x-ზე
მინუს ორი, ახლა ეს ქვედა,
გამრავლებული x მინუს k პლუს ერთზე.
ეს ბევრჯერ გაგვიკეთებია, მაგრამ ეს
ყველაზე აბსტრაქტული, რაც კი დაგვიწერია.
შემიძლია მოგცეთ რამდენიმე--
და თქვენი იცით, რომ ისინი
იქნება ზუსტად k წევრი აი აქ.
1, 2, 3--
პირველი წევრი, მეორე წევრი, მესამე წევრი
და ეს k წევრია.
და ეს მნიშვნელოვანია პუასონის
გადანაწილების წარმოსაქმენლად.
ნამდვილ რიცხვებში რომ გავაკეთოთ, თუ
მაქვს შვიდის ფაქტორიალი შეფარდებული
შვიდზე მინუს ორის
ფაქტორიალი, რაც უდრის შვიდჯერ ექვს
ხუთჯერ გამრავლებული ოთხზე გამრავლებული
სამზე ორჯერ და გამრავლებული ერთზე.
შეფარდებული ორზე--
არა, ბოდიში.
შვიდი მინუს ორი ხუთია.
შეფარდებული ხუთჯერ ოთხზე
გამრავლებული სამჯერ ორზე გამრავლებული ერთზე.
ესენი ბათილდება და გაქვთ შვიდჯერ ექვსი.
ანუ არის შვიდი და გაქვს შვიდჯერ ექვსი.
ორს პლუს ერთი, რაც ექვსია.
ამ მაგალითში k იყო ორი
და ზუსტად ორი წევრი გქონდათ.
როცა ვიცით ეს ორი რაღაც ახლა მზად ვართ
წამოვადგინოთ პუასონის გადანაწილება და ამას
შემდეგ ვიდეოში გავაკეთებ.
დროებით.