1
00:00:00,170 --> 00:00:03,540
Нека кажем, че си инженер 
по трафика

2
00:00:03,540 --> 00:00:06,810
и се опитваш да разбереш колко 
автомобила минават покрай определена

3
00:00:06,810 --> 00:00:08,320
точка на улицата във всеки даден
момент от време?

4
00:00:08,320 --> 00:00:10,210
И искаш да намериш
каква е вероятността

5
00:00:10,210 --> 00:00:14,010
сто автомобила да преминат, или 
5 автомобила да преминат за определено време.

6
00:00:14,010 --> 00:00:15,810
Добър начин да започнем
е да определим случайна променлива,

7
00:00:15,810 --> 00:00:20,530
която всъщност да представлява това, 
което ни интересува.

8
00:00:20,530 --> 00:00:27,350
Да кажем, че е броят автомобили, които 
минават за даден период от време,

9
00:00:27,350 --> 00:00:31,627
нека това е един час.

10
00:00:31,710 --> 00:00:34,510
Целта ни е да намерим
вероятностното разпределение

11
00:00:34,510 --> 00:00:37,670
на тази случайна променлива, и тогава 
щом знаем вероятностното разпределение,

12
00:00:37,670 --> 00:00:39,840
ще можем да намерим 
каква е вероятността

13
00:00:39,840 --> 00:00:41,790
100 коли да преминат 
за един час, или вероятността

14
00:00:41,790 --> 00:00:45,890
никакви коли да не преминат за един час,
и тогава вече никой не може да ни спре.

15
00:00:45,890 --> 00:00:48,870
Още нещо, за да продължим
нататък в това видео,

16
00:00:48,870 --> 00:00:50,540
трябва да приемем 
две неща, понеже

17
00:00:50,540 --> 00:00:52,515
ще разгледаме
Поасоново разпределение.

18
00:00:52,515 --> 00:00:54,640
А за да го изучим, трябва 
да приемем две неща:

19
00:00:54,640 --> 00:00:59,610
че никой час в тази точка на улицата 
не е по-различен от никой друг час.

20
00:00:59,650 --> 00:01:01,340
Известно е, че има вероятност 
това да не е вярно.

21
00:01:01,340 --> 00:01:03,750
По време на един час пик
в една реална ситуация вероятно

22
00:01:03,750 --> 00:01:06,640
ще има повече коли, отколкото 
в някой друг час пик.

23
00:01:06,640 --> 00:01:08,640
И знаеш, ако искаме да сме по-реалистични,
може би го правим през деня,

24
00:01:08,640 --> 00:01:12,370
защото през деня
всеки период от време...

25
00:01:12,370 --> 00:01:12,750
всъщност не.

26
00:01:12,750 --> 00:01:14,120
Не трябваше да визирам деня.

27
00:01:14,120 --> 00:01:17,750
Трябва да приемем, че 
всеки час изцяло прилича

28
00:01:17,750 --> 00:01:19,650
на другите часове и всъщност 
дори и в рамките на часа

29
00:01:19,650 --> 00:01:22,990
реално няма разлика от едната
секунда до другата

30
00:01:22,990 --> 00:01:25,820
по отношение на вероятността 
за преминаване на един автомобил .

31
00:01:25,820 --> 00:01:27,950
Това е едно донякъде опростено
предположение, което

32
00:01:27,950 --> 00:01:29,950
вероятно не е приложимо 
за трафика, но мисля, че

33
00:01:29,950 --> 00:01:32,270
можем да направим 
това предположение.

34
00:01:32,270 --> 00:01:34,160
А другото предположение, което трябва 
да направим, е това че ако

35
00:01:34,160 --> 00:01:36,690
определен брой коли преминават в даден час,
това не означава, че по-малко на брой

36
00:01:36,690 --> 00:01:37,820
коли ще преминат през следващия.

37
00:01:37,820 --> 00:01:40,630
Че по никакъв начин броят коли, които 
минават през един период,

38
00:01:40,630 --> 00:01:44,570
не засяга или не е свързан, както и 
по никакъв начин не влияе на броя коли,

39
00:01:44,570 --> 00:01:45,380
които минават след това.

40
00:01:45,380 --> 00:01:47,370
Че те са напълно независими.

41
00:01:47,370 --> 00:01:50,670
Като ни е дадено това, можем поне 
да се опитаме да използваме уменията,

42
00:01:50,670 --> 00:01:53,480
които имаме, за да направим
някакъв вид разпределение.

43
00:01:53,480 --> 00:01:56,490
Първото, което правим, а и бих 
го препоръчал за всякакво разпределение,

44
00:01:56,490 --> 00:01:59,090
е да изчислим средната стойност.

45
00:01:59,090 --> 00:02:03,040
Нека разгледаме тази крива и да измерим 
колко е тази променлива

46
00:02:03,040 --> 00:02:05,170
през различните часове, след 
което да я осредним, и ще имаме

47
00:02:05,170 --> 00:02:08,890
една добра оценка за 
действителната средна стойност

48
00:02:08,890 --> 00:02:09,880
на нашата генерална съвкупност.

49
00:02:09,880 --> 00:02:12,270
Или, щом това е една случайна променлива, 
ще имаме очакваната стойност

50
00:02:12,270 --> 00:02:13,010
на тази случайна променлива.

51
00:02:13,010 --> 00:02:16,660
Да кажем, че направим това, 
и получаваме най-добрата оценка

52
00:02:16,660 --> 00:02:22,270
за очаквана стойност на тази
случайна променлива...

53
00:02:22,270 --> 00:02:24,850
ще използвам буквата ламбда.

54
00:02:24,850 --> 00:02:27,380
Например, може да има 
9 коли на час.

55
00:02:27,380 --> 00:02:30,190
Там виждаме...
може да са 9,3 коли на час.

56
00:02:30,190 --> 00:02:32,670
И си седим там в продължение на 
стотици часове, броейки

57
00:02:32,670 --> 00:02:34,590
колите на всеки час, и осредняваме 
броя на всички тях.

58
00:02:34,590 --> 00:02:37,250
Казали сме, че средно има 
9,3 коли на час, и смятаме, че

59
00:02:37,250 --> 00:02:38,680
това е един доста добро число.

60
00:02:38,680 --> 00:02:40,080
И това е, което имаме тук.

61
00:02:40,080 --> 00:02:42,000
Да видим какво можем да направим.

62
00:02:42,000 --> 00:02:45,560
Познаваме биномното разпределение.

63
00:02:45,560 --> 00:02:50,650
Биномното разпределение ни казва,
че очакваната стойност

64
00:02:50,650 --> 00:02:55,220
на случайната променлива е равна 
на броя опити, от които

65
00:02:55,220 --> 00:02:57,460
се състои тази случайна 
променлива, нали така?

66
00:02:57,460 --> 00:02:59,490
Преди, в минали клипове, 
брояхме броя

67
00:02:59,490 --> 00:03:00,500
ези-та при подхвърляне 
на една монета.

68
00:03:00,500 --> 00:03:03,070
Това тук ще е равно на броя 
подхвърляния, умножен по

69
00:03:03,070 --> 00:03:07,290
вероятността за успех при 
всяко хвърляне.

70
00:03:07,290 --> 00:03:09,000
Това направихме
с биномното разпределение.

71
00:03:09,000 --> 00:03:11,670
Вероятно можем да моделираме
нашата ситуация с трафика

72
00:03:11,670 --> 00:03:12,780
по подобен начин.

73
00:03:12,780 --> 00:03:15,400
Това е броят коли, които 
преминават за един час.

74
00:03:15,400 --> 00:03:23,790
Така че можем да кажем, че ламбда
коли на час е равно на...

75
00:03:23,790 --> 00:03:26,100
не знам...

76
00:03:26,100 --> 00:03:29,880
Нека направим всеки опит или всяко 
подхвърляне на монетата да е равно

77
00:03:29,880 --> 00:03:31,780
на това дали в дадена 
минута минава една кола.

78
00:03:31,780 --> 00:03:37,980
В един час има 
60 минути, затова

79
00:03:37,980 --> 00:03:40,870
опитите ще са 60.

80
00:03:40,870 --> 00:03:43,190
И тогава вероятността да имаме 
успех при всеки

81
00:03:43,190 --> 00:03:46,990
от тези опити, ако моделираме това 
като биномно разпределение,

82
00:03:46,990 --> 00:03:54,450
ще имаме ламбда върху 
60 коли на минута.

83
00:03:54,450 --> 00:03:55,660
И това ще е вероятност.

84
00:03:55,660 --> 00:03:58,640
Това ще е n, а това ще е вероятността,
ако кажем,

85
00:03:58,640 --> 00:04:00,270
че имаме биномно разпределение.

86
00:04:00,270 --> 00:04:04,030
И това вероятно няма да е лошо 
като приблизителна стойност.

87
00:04:04,030 --> 00:04:06,130
Ако всъщност тогава кажем, о, това е
едно биномно

88
00:04:06,130 --> 00:04:10,380
разпределение, тогава вероятността
нашата случайна

89
00:04:10,380 --> 00:04:12,940
променлива да е равна на 
някаква определена стойност k...

90
00:04:12,940 --> 00:04:17,020
например вероятността 3 коли, 
точно 3 коли да преминат в даден час,

91
00:04:17,020 --> 00:04:19,750
тогава ще е равно на n.

92
00:04:19,750 --> 00:04:21,890
Т.е. n ще е 60,

93
00:04:21,890 --> 00:04:26,010
избира k, и е известно, че 
имам 3 коли, умножено по

94
00:04:26,010 --> 00:04:27,190
вероятността за успех.

95
00:04:27,190 --> 00:04:29,570
Т.е. вероятността една кола да минава
на всяка минута.

96
00:04:29,570 --> 00:04:34,770
И това ще е ламбда върху 60, 
на степен броя

97
00:04:34,770 --> 00:04:35,980
нужни успехи.

98
00:04:35,980 --> 00:04:41,660
Така че имаме на степен k, умножено по 
вероятността за неуспех, или

99
00:04:41,660 --> 00:04:46,560
това никакви коли да не минават, 
на степен n минус k.

100
00:04:46,560 --> 00:04:50,230
Ако имаме k успехи, то трябва да има
60 минус k неуспехи.

101
00:04:50,230 --> 00:04:52,950
Има 60 минус k минути, през които 
не е минала нито една кола.

102
00:04:52,950 --> 00:04:55,270
Това всъщност няма да е толкова лошо
за приблизителна стойност, където

103
00:04:55,270 --> 00:04:57,250
са налице 60 интервала, и виждаме, 
че така имаме налице едно биномно

104
00:04:57,250 --> 00:04:58,560
разпределение.

105
00:04:58,560 --> 00:05:00,310
И вероятно ще получим 
смислени резултати.

106
00:05:00,310 --> 00:05:02,600
Но тук има един основен проблем.

107
00:05:02,600 --> 00:05:06,580
В този модел, където това сме го определили 
като биномно разпределение,

108
00:05:06,580 --> 00:05:09,980
какво се случва ако за един час минава
повече от една кола?

109
00:05:09,980 --> 00:05:11,630
Или повече от една кола минава 
за една минута?

110
00:05:11,630 --> 00:05:14,270
Така, както сме го определили в момента, 
наричаме успех, ако една кола

111
00:05:14,270 --> 00:05:15,320
минава за една минута.

112
00:05:15,320 --> 00:05:18,790
И ако извършваме броене, това 
се брои като един успех, дори

113
00:05:18,790 --> 00:05:21,190
ако в тази минута минават 5 коли.

114
00:05:21,190 --> 00:05:23,390
Може би си казваш: "О, добре, Сал, 
тук решението ми е известно.

115
00:05:23,390 --> 00:05:26,040
Трябва просто да раздробявам
малко повече нещата.

116
00:05:26,040 --> 00:05:31,020
Вместо да разделям на минути, 
защо да не го направя за секунди?"

117
00:05:31,050 --> 00:05:36,210
Така вероятността, при която имам 
k успехи... вместо 60

118
00:05:36,210 --> 00:05:39,820
интервала, ще направя 3600 интервала.

119
00:05:39,820 --> 00:05:43,170
Така че вероятността за k
успешни секунди, за една секунда

120
00:05:43,170 --> 00:05:48,610
една кола минава 
в продължение на 3600 секунди.

121
00:05:48,610 --> 00:05:52,190
Което е 3600 С k, умножено 
по вероятността една кола

122
00:05:52,190 --> 00:05:55,210
да мине във всяка дадена секунда.

123
00:05:55,210 --> 00:05:57,930
Това е очакваният брой коли 
за един час, разделен на

124
00:05:57,930 --> 00:06:00,430
броя секунди в един час.

125
00:06:00,430 --> 00:06:03,953
Ще имаме k на брой успехи.

126
00:06:03,990 --> 00:06:06,270
А това са неуспехите, вероятността 
за един неуспех,

127
00:06:06,270 --> 00:06:12,050
и ще имаме налице (3600 – k)
на брой неуспехи.

128
00:06:12,050 --> 00:06:13,910
Това ще е дори по-добра
приблизителна стойност.

129
00:06:13,910 --> 00:06:16,770
Това всъщност няма да е толкова лошо, 
но пак имаме тази

130
00:06:16,770 --> 00:06:19,100
ситуация, в която 2 коли могат 
да дойдат в рамките на половин

131
00:06:19,100 --> 00:06:19,980
секунда една след друга.

132
00:06:19,980 --> 00:06:21,910
И сега си казваш: "О, добре, Сал, 
виждам модела тук.

133
00:06:21,910 --> 00:06:23,650
Просто трябва все повече 
да раздробяваме."

134
00:06:23,650 --> 00:06:26,170
Един вид трябва това число 
да го направим по-голямо,

135
00:06:26,170 --> 00:06:27,400
и все по-голямо и по-голямо.

136
00:06:27,400 --> 00:06:28,950
Правилно ме разбра.

137
00:06:28,950 --> 00:06:31,340
А ако направиш това, полученото накрая 
ще представлява

138
00:06:31,340 --> 00:06:33,860
разпределение на Поасон.

139
00:06:33,860 --> 00:06:35,620
Наистина е интересно, защото 
много пъти

140
00:06:35,620 --> 00:06:38,600
ни е дадена формулата на 
Поасоновото разпределение,

141
00:06:38,600 --> 00:06:40,420
и можем да заместим числата и
да го използваме.

142
00:06:40,420 --> 00:06:43,250
Но е добре да знаем, че в действителност
това е биномно разпределение,

143
00:06:43,250 --> 00:06:45,790
а биномните разпределения 
реално са произлезли

144
00:06:45,790 --> 00:06:48,590
от здравия разум, дошъл 
при подхвърлянето на монети.

145
00:06:48,590 --> 00:06:50,500
Ето от тук идва всичко.

146
00:06:50,500 --> 00:06:53,710
Но преди да докажем това, ако
вземем границата

147
00:06:53,710 --> 00:06:55,670
като – ще сменя цвета.

148
00:06:55,670 --> 00:06:59,420
Преди да докажем това, като вземем 
границата за това число тук,

149
00:06:59,420 --> 00:07:01,270
броят интервали клони 
към безкрайност,

150
00:07:01,270 --> 00:07:04,070
така това се превръща 
в Поасоново разпределение.

151
00:07:04,070 --> 00:07:07,290
Ще се уверя, че имаме подръка два

152
00:07:07,290 --> 00:07:09,150
математически инструмента.

153
00:07:09,150 --> 00:07:12,760
Първият представлява нещо, с което 
досега вероятно

154
00:07:12,760 --> 00:07:15,860
си се запознал/а, но искам само 
да се уверя, че

155
00:07:15,860 --> 00:07:25,680
границата при х, клонящо към безкрайност, 
от (1 + а/х) на степен х,

156
00:07:25,680 --> 00:07:31,020
е равна на е на степен ах...
не, извинявам се.

157
00:07:31,020 --> 00:07:38,020
Равна е на е на степен а.
И сега, за да ти докажа това,

158
00:07:38,020 --> 00:07:39,260
нека тук извършим едно малко 
заместване.

159
00:07:39,260 --> 00:07:43,640
Да кажем, че n е равно на...
примерно, 1 върху n

160
00:07:43,640 --> 00:07:47,880
е равно на а върху х.

161
00:07:47,880 --> 00:07:52,890
И после колко ще е х? 
То ще е равно на na...

162
00:07:52,890 --> 00:07:55,290
х, умножено по 1, е равно на 
n, умножено по а.

163
00:07:55,290 --> 00:07:58,950
Така че за границата при х,
клонящо към безкрайност,

164
00:07:58,950 --> 00:08:02,045
когато х клони към безкрайност,
към какво ще клони а?

165
00:08:02,045 --> 00:08:02,885
а е... съжалявам.

166
00:08:02,885 --> 00:08:04,920
Когато х клони към безкрайност, 
към какво клони n?

167
00:08:04,920 --> 00:08:07,350
Ами n представлява х, разделено на а.

168
00:08:07,350 --> 00:08:08,710
Така че n също ще клони 
към безкрайност.

169
00:08:08,710 --> 00:08:10,810
И това ще е равно на 
направеното от нас заместване,.

170
00:08:10,810 --> 00:08:16,460
Границата при n, клонящо
към безкрайност, от 1 плюс...

171
00:08:16,460 --> 00:08:21,390
а/х, при заместването става 1/n.

172
00:08:21,390 --> 00:08:26,720
А х е, по това заместване,
n, умножено по а.

173
00:08:26,720 --> 00:08:30,500
И това тук ще е точно равно 
на границата, при n,

174
00:08:30,500 --> 00:08:36,090
клонящо към безкрайност, от 
(1 + 1/n) на степен n,

175
00:08:36,090 --> 00:08:39,390
всичко това на степен а.

176
00:08:39,390 --> 00:08:41,760
И след като тук няма n, можем просто 
да вземем границата на това,

177
00:08:41,760 --> 00:08:43,450
а след това да го повдигнем 
на степен а.

178
00:08:43,450 --> 00:08:48,620
Така че това ще е равно на границата, 
при n, клонящо към безкрайност,

179
00:08:48,620 --> 00:08:53,790
от (1 + 1/n) на n-та степен, 
цялото това на степен а.

180
00:08:53,790 --> 00:08:58,040
А това е нашето определение, или един от 
начините да достигнем до е, ако

181
00:08:58,040 --> 00:09:00,820
си гледал/а клиповете за сложна 
лихва и този материал.

182
00:09:00,820 --> 00:09:01,880
Ето как стигнахме до е.

183
00:09:01,880 --> 00:09:03,460
Ако опиташ това с твоя
калкулатор, само опитай с по-големи

184
00:09:03,460 --> 00:09:07,260
и по-големи стойности за n тук,
и ще стигнеш до е.

185
00:09:07,260 --> 00:09:12,010
Тази вътрешна част е равна на е, 
и я повдигнахме на степен а,

186
00:09:12,010 --> 00:09:14,060
така че тя е равна 
на числото е на степен а.

187
00:09:14,060 --> 00:09:16,240
Надявам се, че те удовлетворява 
факта, че тази граница

188
00:09:16,240 --> 00:09:17,860
е равна на е на степен а.

189
00:09:17,860 --> 00:09:19,860
И сега ми се иска да добавя
още една полезна формула,

190
00:09:19,860 --> 00:09:22,340
а всъщност вероятно ще направя
доказаталството следващия път.

191
00:09:22,340 --> 00:09:32,950
Тази друга формула, 
ще видим, че х факториел върху

192
00:09:32,950 --> 00:09:42,860
(х – k) факториел е равно на
х, умножено по (х – 1), по (х – 2),

193
00:09:42,860 --> 00:09:50,030
и т. н., умножено 
по (х – (k + 1)).

194
00:09:50,030 --> 00:09:51,880
Много пъти сме смятали това, но 
то е най-абстрактният

195
00:09:51,880 --> 00:09:53,060
начин, по който някога сме го записвали.

196
00:09:53,060 --> 00:09:55,580
Ще ти дам два... 
само да видиш, че тук

197
00:09:55,580 --> 00:09:57,330
ще са налице точно k члена.

198
00:09:57,330 --> 00:10:01,700
1, 2, 3 – така, първи член, втори 
член, трети член, и т.н.,

199
00:10:01,700 --> 00:10:04,310
докато стигнем до k-тия член.

200
00:10:04,310 --> 00:10:07,210
Та това е важно 
за извеждането на

201
00:10:07,210 --> 00:10:09,160
Поасоновото разпределение.

202
00:10:09,160 --> 00:10:13,870
Но нека го направим с реални числа;
ако имам 7 факториел

203
00:10:13,870 --> 00:10:20,110
върху 7 минус 2 факториел, това
е равно на 7 пъти по 6,

204
00:10:20,110 --> 00:10:24,070
по 5, по 4, по 3, по 3, по 1.

205
00:10:24,070 --> 00:10:27,360
Върху 2, умножено по...
не, извинявам се.

206
00:10:27,360 --> 00:10:28,940
7 минус 2, това е 5.

207
00:10:28,940 --> 00:10:33,500
Така имаме върху 5, умножено по 4,
по 3, по 2, по 1.

208
00:10:33,500 --> 00:10:37,190
Тези се съкращават 
и ни остава само 7 по 6.

209
00:10:37,190 --> 00:10:47,580
И така, тук имаме 7, а последният 
член е 7 минус 2 плюс 1, което прави 6.

210
00:10:47,580 --> 00:10:51,290
В този пример, k беше 2 
и имахме точно 2 члена.

211
00:10:51,290 --> 00:10:53,230
Така че веднъж знаем ли тези две неща,
вече сме готови

212
00:10:53,230 --> 00:10:55,710
да изведем Поасоновото разпределение, 
което ще направя

213
00:10:55,710 --> 00:10:58,415
следващия път.

214
00:10:58,415 --> 00:10:59,980
До скоро.