0:00:00.170,0:00:03.540
Нека кажем, че си инженер [br]по трафика

0:00:03.540,0:00:06.810
и се опитваш да разбереш колко [br]автомобила минават покрай определена

0:00:06.810,0:00:08.320
точка на улицата във всеки даден[br]момент от време?

0:00:08.320,0:00:10.210
И искаш да намериш[br]каква е вероятността

0:00:10.210,0:00:14.010
сто автомобила да преминат, или [br]5 автомобила да преминат за определено време.

0:00:14.010,0:00:15.810
Добър начин да започнем[br]е да определим случайна променлива,

0:00:15.810,0:00:20.530
която всъщност да представлява това, [br]което ни интересува.

0:00:20.530,0:00:27.350
Да кажем, че е броят автомобили, които [br]минават за даден период от време,

0:00:27.350,0:00:31.627
нека това е един час.

0:00:31.710,0:00:34.510
Целта ни е да намерим[br]вероятностното разпределение

0:00:34.510,0:00:37.670
на тази случайна променлива, и тогава [br]щом знаем вероятностното разпределение,

0:00:37.670,0:00:39.840
ще можем да намерим [br]каква е вероятността

0:00:39.840,0:00:41.790
100 коли да преминат [br]за един час, или вероятността

0:00:41.790,0:00:45.890
никакви коли да не преминат за един час,[br]и тогава вече никой не може да ни спре.

0:00:45.890,0:00:48.870
Още нещо, за да продължим[br]нататък в това видео,

0:00:48.870,0:00:50.540
трябва да приемем [br]две неща, понеже

0:00:50.540,0:00:52.515
ще разгледаме[br]Поасоново разпределение.

0:00:52.515,0:00:54.640
А за да го изучим, трябва [br]да приемем две неща:

0:00:54.640,0:00:59.610
че никой час в тази точка на улицата [br]не е по-различен от никой друг час.

0:00:59.650,0:01:01.340
Известно е, че има вероятност [br]това да не е вярно.

0:01:01.340,0:01:03.750
По време на един час пик[br]в една реална ситуация вероятно

0:01:03.750,0:01:06.640
ще има повече коли, отколкото [br]в някой друг час пик.

0:01:06.640,0:01:08.640
И знаеш, ако искаме да сме по-реалистични,[br]може би го правим през деня,

0:01:08.640,0:01:12.370
защото през деня[br]всеки период от време...

0:01:12.370,0:01:12.750
всъщност не.

0:01:12.750,0:01:14.120
Не трябваше да визирам деня.

0:01:14.120,0:01:17.750
Трябва да приемем, че [br]всеки час изцяло прилича

0:01:17.750,0:01:19.650
на другите часове и всъщност [br]дори и в рамките на часа

0:01:19.650,0:01:22.990
реално няма разлика от едната[br]секунда до другата

0:01:22.990,0:01:25.820
по отношение на вероятността [br]за преминаване на един автомобил .

0:01:25.820,0:01:27.950
Това е едно донякъде опростено[br]предположение, което

0:01:27.950,0:01:29.950
вероятно не е приложимо [br]за трафика, но мисля, че

0:01:29.950,0:01:32.270
можем да направим [br]това предположение.

0:01:32.270,0:01:34.160
А другото предположение, което трябва [br]да направим, е това че ако

0:01:34.160,0:01:36.690
определен брой коли преминават в даден час,[br]това не означава, че по-малко на брой

0:01:36.690,0:01:37.820
коли ще преминат през следващия.

0:01:37.820,0:01:40.630
Че по никакъв начин броят коли, които [br]минават през един период,

0:01:40.630,0:01:44.570
не засяга или не е свързан, както и [br]по никакъв начин не влияе на броя коли,

0:01:44.570,0:01:45.380
които минават след това.

0:01:45.380,0:01:47.370
Че те са напълно независими.

0:01:47.370,0:01:50.670
Като ни е дадено това, можем поне [br]да се опитаме да използваме уменията,

0:01:50.670,0:01:53.480
които имаме, за да направим[br]някакъв вид разпределение.

0:01:53.480,0:01:56.490
Първото, което правим, а и бих [br]го препоръчал за всякакво разпределение,

0:01:56.490,0:01:59.090
е да изчислим средната стойност.

0:01:59.090,0:02:03.040
Нека разгледаме тази крива и да измерим [br]колко е тази променлива

0:02:03.040,0:02:05.170
през различните часове, след [br]което да я осредним, и ще имаме

0:02:05.170,0:02:08.890
една добра оценка за [br]действителната средна стойност

0:02:08.890,0:02:09.880
на нашата генерална съвкупност.

0:02:09.880,0:02:12.270
Или, щом това е една случайна променлива, [br]ще имаме очакваната стойност

0:02:12.270,0:02:13.010
на тази случайна променлива.

0:02:13.010,0:02:16.660
Да кажем, че направим това, [br]и получаваме най-добрата оценка

0:02:16.660,0:02:22.270
за очаквана стойност на тази[br]случайна променлива...

0:02:22.270,0:02:24.850
ще използвам буквата ламбда.

0:02:24.850,0:02:27.380
Например, може да има [br]9 коли на час.

0:02:27.380,0:02:30.190
Там виждаме...[br]може да са 9,3 коли на час.

0:02:30.190,0:02:32.670
И си седим там в продължение на [br]стотици часове, броейки

0:02:32.670,0:02:34.590
колите на всеки час, и осредняваме [br]броя на всички тях.

0:02:34.590,0:02:37.250
Казали сме, че средно има [br]9,3 коли на час, и смятаме, че

0:02:37.250,0:02:38.680
това е един доста добро число.

0:02:38.680,0:02:40.080
И това е, което имаме тук.

0:02:40.080,0:02:42.000
Да видим какво можем да направим.

0:02:42.000,0:02:45.560
Познаваме биномното разпределение.

0:02:45.560,0:02:50.650
Биномното разпределение ни казва,[br]че очакваната стойност

0:02:50.650,0:02:55.220
на случайната променлива е равна [br]на броя опити, от които

0:02:55.220,0:02:57.460
се състои тази случайна [br]променлива, нали така?

0:02:57.460,0:02:59.490
Преди, в минали клипове, [br]брояхме броя

0:02:59.490,0:03:00.500
ези-та при подхвърляне [br]на една монета.

0:03:00.500,0:03:03.070
Това тук ще е равно на броя [br]подхвърляния, умножен по

0:03:03.070,0:03:07.290
вероятността за успех при [br]всяко хвърляне.

0:03:07.290,0:03:09.000
Това направихме[br]с биномното разпределение.

0:03:09.000,0:03:11.670
Вероятно можем да моделираме[br]нашата ситуация с трафика

0:03:11.670,0:03:12.780
по подобен начин.

0:03:12.780,0:03:15.400
Това е броят коли, които [br]преминават за един час.

0:03:15.400,0:03:23.790
Така че можем да кажем, че ламбда[br]коли на час е равно на...

0:03:23.790,0:03:26.100
не знам...

0:03:26.100,0:03:29.880
Нека направим всеки опит или всяко [br]подхвърляне на монетата да е равно

0:03:29.880,0:03:31.780
на това дали в дадена [br]минута минава една кола.

0:03:31.780,0:03:37.980
В един час има [br]60 минути, затова

0:03:37.980,0:03:40.870
опитите ще са 60.

0:03:40.870,0:03:43.190
И тогава вероятността да имаме [br]успех при всеки

0:03:43.190,0:03:46.990
от тези опити, ако моделираме това [br]като биномно разпределение,

0:03:46.990,0:03:54.450
ще имаме ламбда върху [br]60 коли на минута.

0:03:54.450,0:03:55.660
И това ще е вероятност.

0:03:55.660,0:03:58.640
Това ще е n, а това ще е вероятността,[br]ако кажем,

0:03:58.640,0:04:00.270
че имаме биномно разпределение.

0:04:00.270,0:04:04.030
И това вероятно няма да е лошо [br]като приблизителна стойност.

0:04:04.030,0:04:06.130
Ако всъщност тогава кажем, о, това е[br]едно биномно

0:04:06.130,0:04:10.380
разпределение, тогава вероятността[br]нашата случайна

0:04:10.380,0:04:12.940
променлива да е равна на [br]някаква определена стойност k...

0:04:12.940,0:04:17.020
например вероятността 3 коли, [br]точно 3 коли да преминат в даден час,

0:04:17.020,0:04:19.750
тогава ще е равно на n.

0:04:19.750,0:04:21.890
Т.е. n ще е 60,

0:04:21.890,0:04:26.010
избира k, и е известно, че [br]имам 3 коли, умножено по

0:04:26.010,0:04:27.190
вероятността за успех.

0:04:27.190,0:04:29.570
Т.е. вероятността една кола да минава[br]на всяка минута.

0:04:29.570,0:04:34.770
И това ще е ламбда върху 60, [br]на степен броя

0:04:34.770,0:04:35.980
нужни успехи.

0:04:35.980,0:04:41.660
Така че имаме на степен k, умножено по [br]вероятността за неуспех, или

0:04:41.660,0:04:46.560
това никакви коли да не минават, [br]на степен n минус k.

0:04:46.560,0:04:50.230
Ако имаме k успехи, то трябва да има[br]60 минус k неуспехи.

0:04:50.230,0:04:52.950
Има 60 минус k минути, през които [br]не е минала нито една кола.

0:04:52.950,0:04:55.270
Това всъщност няма да е толкова лошо[br]за приблизителна стойност, където

0:04:55.270,0:04:57.250
са налице 60 интервала, и виждаме, [br]че така имаме налице едно биномно

0:04:57.250,0:04:58.560
разпределение.

0:04:58.560,0:05:00.310
И вероятно ще получим [br]смислени резултати.

0:05:00.310,0:05:02.600
Но тук има един основен проблем.

0:05:02.600,0:05:06.580
В този модел, където това сме го определили [br]като биномно разпределение,

0:05:06.580,0:05:09.980
какво се случва ако за един час минава[br]повече от една кола?

0:05:09.980,0:05:11.630
Или повече от една кола минава [br]за една минута?

0:05:11.630,0:05:14.270
Така, както сме го определили в момента, [br]наричаме успех, ако една кола

0:05:14.270,0:05:15.320
минава за една минута.

0:05:15.320,0:05:18.790
И ако извършваме броене, това [br]се брои като един успех, дори

0:05:18.790,0:05:21.190
ако в тази минута минават 5 коли.

0:05:21.190,0:05:23.390
Може би си казваш: "О, добре, Сал, [br]тук решението ми е известно.

0:05:23.390,0:05:26.040
Трябва просто да раздробявам[br]малко повече нещата.

0:05:26.040,0:05:31.020
Вместо да разделям на минути, [br]защо да не го направя за секунди?"

0:05:31.050,0:05:36.210
Така вероятността, при която имам [br]k успехи... вместо 60

0:05:36.210,0:05:39.820
интервала, ще направя 3600 интервала.

0:05:39.820,0:05:43.170
Така че вероятността за k[br]успешни секунди, за една секунда

0:05:43.170,0:05:48.610
една кола минава [br]в продължение на 3600 секунди.

0:05:48.610,0:05:52.190
Което е 3600 С k, умножено [br]по вероятността една кола

0:05:52.190,0:05:55.210
да мине във всяка дадена секунда.

0:05:55.210,0:05:57.930
Това е очакваният брой коли [br]за един час, разделен на

0:05:57.930,0:06:00.430
броя секунди в един час.

0:06:00.430,0:06:03.953
Ще имаме k на брой успехи.

0:06:03.990,0:06:06.270
А това са неуспехите, вероятността [br]за един неуспех,

0:06:06.270,0:06:12.050
и ще имаме налице (3600 – k)[br]на брой неуспехи.

0:06:12.050,0:06:13.910
Това ще е дори по-добра[br]приблизителна стойност.

0:06:13.910,0:06:16.770
Това всъщност няма да е толкова лошо, [br]но пак имаме тази

0:06:16.770,0:06:19.100
ситуация, в която 2 коли могат [br]да дойдат в рамките на половин

0:06:19.100,0:06:19.980
секунда една след друга.

0:06:19.980,0:06:21.910
И сега си казваш: "О, добре, Сал, [br]виждам модела тук.

0:06:21.910,0:06:23.650
Просто трябва все повече [br]да раздробяваме."

0:06:23.650,0:06:26.170
Един вид трябва това число [br]да го направим по-голямо,

0:06:26.170,0:06:27.400
и все по-голямо и по-голямо.

0:06:27.400,0:06:28.950
Правилно ме разбра.

0:06:28.950,0:06:31.340
А ако направиш това, полученото накрая [br]ще представлява

0:06:31.340,0:06:33.860
разпределение на Поасон.

0:06:33.860,0:06:35.620
Наистина е интересно, защото [br]много пъти

0:06:35.620,0:06:38.600
ни е дадена формулата на [br]Поасоновото разпределение,

0:06:38.600,0:06:40.420
и можем да заместим числата и[br]да го използваме.

0:06:40.420,0:06:43.250
Но е добре да знаем, че в действителност[br]това е биномно разпределение,

0:06:43.250,0:06:45.790
а биномните разпределения [br]реално са произлезли

0:06:45.790,0:06:48.590
от здравия разум, дошъл [br]при подхвърлянето на монети.

0:06:48.590,0:06:50.500
Ето от тук идва всичко.

0:06:50.500,0:06:53.710
Но преди да докажем това, ако[br]вземем границата

0:06:53.710,0:06:55.670
като – ще сменя цвета.

0:06:55.670,0:06:59.420
Преди да докажем това, като вземем [br]границата за това число тук,

0:06:59.420,0:07:01.270
броят интервали клони [br]към безкрайност,

0:07:01.270,0:07:04.070
така това се превръща [br]в Поасоново разпределение.

0:07:04.070,0:07:07.290
Ще се уверя, че имаме подръка два

0:07:07.290,0:07:09.150
математически инструмента.

0:07:09.150,0:07:12.760
Първият представлява нещо, с което [br]досега вероятно

0:07:12.760,0:07:15.860
си се запознал/а, но искам само [br]да се уверя, че

0:07:15.860,0:07:25.680
границата при х, клонящо към безкрайност, [br]от (1 + а/х) на степен х,

0:07:25.680,0:07:31.020
е равна на е на степен ах...[br]не, извинявам се.

0:07:31.020,0:07:38.020
Равна е на е на степен а.[br]И сега, за да ти докажа това,

0:07:38.020,0:07:39.260
нека тук извършим едно малко [br]заместване.

0:07:39.260,0:07:43.640
Да кажем, че n е равно на...[br]примерно, 1 върху n

0:07:43.640,0:07:47.880
е равно на а върху х.

0:07:47.880,0:07:52.890
И после колко ще е х? [br]То ще е равно на na...

0:07:52.890,0:07:55.290
х, умножено по 1, е равно на [br]n, умножено по а.

0:07:55.290,0:07:58.950
Така че за границата при х,[br]клонящо към безкрайност,

0:07:58.950,0:08:02.045
когато х клони към безкрайност,[br]към какво ще клони а?

0:08:02.045,0:08:02.885
а е... съжалявам.

0:08:02.885,0:08:04.920
Когато х клони към безкрайност, [br]към какво клони n?

0:08:04.920,0:08:07.350
Ами n представлява х, разделено на а.

0:08:07.350,0:08:08.710
Така че n също ще клони [br]към безкрайност.

0:08:08.710,0:08:10.810
И това ще е равно на [br]направеното от нас заместване,.

0:08:10.810,0:08:16.460
Границата при n, клонящо[br]към безкрайност, от 1 плюс...

0:08:16.460,0:08:21.390
а/х, при заместването става 1/n.

0:08:21.390,0:08:26.720
А х е, по това заместване,[br]n, умножено по а.

0:08:26.720,0:08:30.500
И това тук ще е точно равно [br]на границата, при n,

0:08:30.500,0:08:36.090
клонящо към безкрайност, от [br](1 + 1/n) на степен n,

0:08:36.090,0:08:39.390
всичко това на степен а.

0:08:39.390,0:08:41.760
И след като тук няма n, можем просто [br]да вземем границата на това,

0:08:41.760,0:08:43.450
а след това да го повдигнем [br]на степен а.

0:08:43.450,0:08:48.620
Така че това ще е равно на границата, [br]при n, клонящо към безкрайност,

0:08:48.620,0:08:53.790
от (1 + 1/n) на n-та степен, [br]цялото това на степен а.

0:08:53.790,0:08:58.040
А това е нашето определение, или един от [br]начините да достигнем до е, ако

0:08:58.040,0:09:00.820
си гледал/а клиповете за сложна [br]лихва и този материал.

0:09:00.820,0:09:01.880
Ето как стигнахме до е.

0:09:01.880,0:09:03.460
Ако опиташ това с твоя[br]калкулатор, само опитай с по-големи

0:09:03.460,0:09:07.260
и по-големи стойности за n тук,[br]и ще стигнеш до е.

0:09:07.260,0:09:12.010
Тази вътрешна част е равна на е, [br]и я повдигнахме на степен а,

0:09:12.010,0:09:14.060
така че тя е равна [br]на числото е на степен а.

0:09:14.060,0:09:16.240
Надявам се, че те удовлетворява [br]факта, че тази граница

0:09:16.240,0:09:17.860
е равна на е на степен а.

0:09:17.860,0:09:19.860
И сега ми се иска да добавя[br]още една полезна формула,

0:09:19.860,0:09:22.340
а всъщност вероятно ще направя[br]доказаталството следващия път.

0:09:22.340,0:09:32.950
Тази друга формула, [br]ще видим, че х факториел върху

0:09:32.950,0:09:42.860
(х – k) факториел е равно на[br]х, умножено по (х – 1), по (х – 2),

0:09:42.860,0:09:50.030
и т. н., умножено [br]по (х – (k + 1)).

0:09:50.030,0:09:51.880
Много пъти сме смятали това, но [br]то е най-абстрактният

0:09:51.880,0:09:53.060
начин, по който някога сме го записвали.

0:09:53.060,0:09:55.580
Ще ти дам два... [br]само да видиш, че тук

0:09:55.580,0:09:57.330
ще са налице точно k члена.

0:09:57.330,0:10:01.700
1, 2, 3 – така, първи член, втори [br]член, трети член, и т.н.,

0:10:01.700,0:10:04.310
докато стигнем до k-тия член.

0:10:04.310,0:10:07.210
Та това е важно [br]за извеждането на

0:10:07.210,0:10:09.160
Поасоновото разпределение.

0:10:09.160,0:10:13.870
Но нека го направим с реални числа;[br]ако имам 7 факториел

0:10:13.870,0:10:20.110
върху 7 минус 2 факториел, това[br]е равно на 7 пъти по 6,

0:10:20.110,0:10:24.070
по 5, по 4, по 3, по 3, по 1.

0:10:24.070,0:10:27.360
Върху 2, умножено по...[br]не, извинявам се.

0:10:27.360,0:10:28.940
7 минус 2, това е 5.

0:10:28.940,0:10:33.500
Така имаме върху 5, умножено по 4,[br]по 3, по 2, по 1.

0:10:33.500,0:10:37.190
Тези се съкращават [br]и ни остава само 7 по 6.

0:10:37.190,0:10:47.580
И така, тук имаме 7, а последният [br]член е 7 минус 2 плюс 1, което прави 6.

0:10:47.580,0:10:51.290
В този пример, k беше 2 [br]и имахме точно 2 члена.

0:10:51.290,0:10:53.230
Така че веднъж знаем ли тези две неща,[br]вече сме готови

0:10:53.230,0:10:55.710
да изведем Поасоновото разпределение, [br]което ще направя

0:10:55.710,0:10:58.415
следващия път.

0:10:58.415,0:10:59.980
До скоро.