กราฟของ f แสดงข้างล่าง
สี่เหลี่ยมมุมฉากขวามือ 24 รูป
แสดงอยู่ด้วย
สี่เหลี่ยมมุมฉากขวามือหมายถึงอะไร?
มันมีสี่เหลี่ยมมุมฉาก 24 รูปชัดเจน
คุณนับพวกมันได้
และสี่เหลี่ยมมุมฉากทางขวาหมายความว่า
สำหรับสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูป ความสูง
ของสี่เหลี่ยมจะกำหนดโดยค่า
ของฟังก์ชันทางขวามือ
ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
คุณเห็นได้ว่านี่คือด้านขวามือ
ของสี่เหลี่ยมุมฉากแรก และถ้าคุณ
หาค่าของฟังก์ชันของจุดนั้น
นั่นคือความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
สี่เหลี่ยมมุมฉากทางซ้ายจะกำหนด
ความสูงของสี่เหลี่ยมด้วยค่า
ของฟังก์ชันทางซ้ายมือ
ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉากทางซ้าย
ความสูงของสี่เหลี่ยมมุมฉากอันแรกจะ
เป็นแบบนั้น
นั่นคือความหมายของคำว่า
สี่เหลี่ยมมุมฉากทางขวา
เอาล่ะ 8 รูปสีฟ้า
เราเห็นแล้ว 16 รูปสีแดง ใช้ได้
24 รูปนี้มีความกว้างเท่ากัน
ประโยคใดบ้างต่อไปนี้ข้างล่าง
เป็นจริง?
เขาให้พจน์มาสามพจน์
ในสัญลักษณ์ซิกม่า และเขาบอกว่า
อย่างอันนี้ อันแรกคือผลบวก
พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสีฟ้า
นี่คือผลบวกพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมมุมฉากสีแดง
นี่คือผลบวกพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด
ผมแนะนำให้คุณหยุด
วิดีโอตอนนี้แล้วพยายามหาคำตอบด้วยตนเอง
ประโยคใดบ้างต่อไปนี้เป็นจริง
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
ลองทำแต่ละตัวอย่าง
แล้วดูว่ามันถูกต้องหรือไม่
อันแรกนี้ ผลบวก
ของพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสีฟ้า
เรารู้เรามีสี่เหลี่ยมสีฟ้า 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 รูป
และเรากำลังบวกจาก 1 ถึง 8
มันจึงดูเหมือนว่าเรากำลังบวก
8 ค่าตรงนี้
นี่คือ 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8
อันนี้ดูดีแล้วตรงนี้
แล้วเราหา f ของอะไรสักอย่าง
คูณ 1/2
เรายังไม่ได้ดูอันนี้เลย
มันดูเหมือนว่าอันนี้จะเป็นความสูง
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูป
นึกดู เรากำลังหาค่า
ฟังก์ชันทางขวามือ
เป็นความสูง และอันนี้จะเป็น
ความกว้าง
มันสมเหตุสมผลไหมที่ความกว้าง
ของสี่เหลี่ยมแต่ละรูปนี้คือ 1/2?
ระยะทั้งหมดระหว่าง x
เท่ากับลบ 5 กับ x เท่ากับ 7
ระยะนั้นเท่ากับ 12
5 บวก 7 มันคือ 12
และเราแบ่งมันเป็นสี่เหลี่ยม 24 รูป
กว้างเท่ากัน
ถ้าคุณหาร 12 ด้วย 24
แต่ละรูปจะกว้าง
1/2
อันนี้จึงถูกแล้วที่เป็น 1/2
ทีนี้ลองคิดถึงส่วนนี้บ้าง
ลองคิดถึง f ของลบ 5
บวก i ส่วน 2
ลองดูกัน
เมื่อ i เท่ากับ 1 เราจะ
นำ 1/2 คูณ f ของลบ 5
บวก 1/2
จริงไหม?
i คือ 1. ลบ 5 บวก 1/2
จะพาเรามาที่จุดนี่ตรงนี้
f ของค่านั้นจะเท่ากับ
ระยะนี้ ความสูงนี่ตรงนี้
อันนี้สอดคล้องกับอันนี้เป็น
สี่เหลี่ยมมุมฉากขวามือ
อันนี้จึงเป็นจริง
เมื่อ i เท่ากับ 1 เรา
หาพื้นที่ตรงนี้ได้ชัดเจน
เมื่อ i เท่ากับ 2 มันจะ
เป็นลบ 5 บวก 2 ส่วน 2
2 ส่วน 2 เราจะบวก
1 เราจะไปตรงนี้
เหมือนเดิม เราจะได้ 1/2
ซึ่งก็คือตรงนี้
นั่นคือความกว้างคูณ f ของลบ 5
บวก 2 ส่วน 2 ซึ่งก็คือ f ของลบ
4 ซึ่งก็คือความสูงนี่ตรงนี้
เหมือนเดิม มันคือพื้นที่นั้น
คุณตามต่อไปเรื่อยๆ ได้
ทุกครั้งที่เราหาฟังก์ชัน
อันแรกนี้คือลบ 5
บวก 1/2 แล้วสำหรับแต่ละครั้ง
ที่เพิ่ม เราจะบวก 1/2
ไปทางขวา จะคิดอย่างนั้น
ก็ได้
อันนี้จึงถูกต้องแน่นอน
เราทำอย่างนี้สำหรับ 8 รูปแรก
พจน์นี้จึงถูกต้อง
นี่คือผลบวกพื้นที่
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากสีฟ้า
ทีนี้ ลองดูอันนี้ตรงนี้บ้าง
ผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสีแดง
ตอนแรก อันนี้ดูน่าสนใจ
เรากำลังหาผลบวกของ 16 รูป
เราได้ 16 รูป
ตรงนี้
เรามีความกว้างของแต่ละรูป
16 รูป หรือแต่ละรูป
เราอยากหาพื้นที่
และมันคือกรณีที่
แต่ละรูปกว้าง 1/2
แต่เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหา f ของ
ลบ 1 บวก i ส่วน 2
เราจะเริ่มตรงนี้ที่
ลบ 1
ลบ 1 บวก i ส่วน 2
เมื่อ i เท่ากับ 1 เราจะ
อยู่ตรงจุดนี่ตรงนี้
f ของมันจะเท่ากับ --
คุณอาจบอกว่า เฮ้ มันไม่ใช่
ความสูงของสี่เหลี่ยมนั้นเหรอ?
เมื่อ i เท่ากับ 2 มันไม่ใช่ความสูง
ของสี่เหลี่ยมนั้นเหรอ?
และเมื่อ i เท่ากับ 3 มัน
ไม่ใช่ความสูงของสี่เหลี่ยมนั้นเหรอ?
และนั่นคือจุดที่เราต้องระวังมากๆ
พวกมันจะมีค่า
สัมบูรณ์เท่ากัน แต่พวกนี้จะ
มีค่าเป็นลบทั้งหมด
พวกมันจะมีค่าเป็นลบ
เพราะเราเห็นว่าระหว่างค่านี้
ตัวฟังก์ชัน
ดูเหมือนว่า ระหว่างลบ 1/2
ไปจนถึง 7 ฟังก์ชันของเรา
จะมีค่าเป็นลบ
วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า คุณจะ
มีความสูงเป็นลบเมื่อคุณ
คูณสองตัวนี้ คุณจะได้
จำนวนลบ
ทั้งหมดนี้จึง
เป็นลบ และคุณ
จะได้ค่าลบของผลบวก
พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสีแดง
แต่นั่นไม่เหมือนกับ
ผลบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากสีแดง
พื้นที่คือ อย่างน้อยในแบบดั้งเดิม
คุณคาดว่า ถ้าคุณ
แค่ดูว่า พื้นที่คือปริมาณพรม
ที่คุณต้องใช้ปูพื้นที่นี้ เราก็บอกว่า
มันจะเป็นค่าบวก
แต่อันนี้จะเป็นค่านั้นแบบลบ
นั่นจึงไม่ใช่ผลบวกพื้นที่
ของพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากสีแดง
มันเป็นลบของพื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก
สีแดง เราจึงตัดมันออกได้
แล้วตัวเลือกสุดท้ายนี้
พจน์นี้ก็คือผลบวก
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด
แล้วอันนี้จะไปจาก i เท่ากับ
1 ถึง 24
มันก็คือ 24 รูป
มันเริ่มตรงนี้ และมันนับต่อไป
และถ้าอันนี้บอกว่าจาก i เท่ากับ 1 ถึง i เท่ากับ
8 มันจะเป็นตัวเลือกแรก
แต่อันนี้เจอปัญหา
เหมือนเดิม เมื่อเราผ่าน เมื่อเราถึง i
เท่ากับ 9 ค่านี่ตรงนี้
กลายเป็นลบ และมันจะ
ให้พื้นที่ลบ
มันจะหักล้างกัน
พื้นที่บวกกับพื้นที่ลบ
ตรงนี้
มันจึงไม่ใช่ผลบวก
ของสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด
มันจะเป็นพื้นที่นี้
ลบพื้นที่นี้ตรงนี้