RKA2 - Vamos utilizar a série de MacLaurin
para colocar o arco tangente de 2x
na série polinomial que seja uma aproximação desta função.
A primeira coisa que nós podemos verificar
é que a derivada do arco tangente de 2x dx
vai ser igual a 2, pela regra da cadeia,
sobre 1 mais o quadrado de 2x, que vai ficar 4x².
Vamos chamar isto de f(x).
Vamos pegar uma função bem mais simples.
g(x) = 1 sobre 1 + x.
Com isso, nós podemos pegar os índices,
uma vez que g(x)
vai ser igual a (1 + x)⁻¹.
Portanto, g'(x)
vai ser igual a -(1 + x)⁻² ,
g''(x) vai ser
-2 vezes -1, vai ser 2 vezes (1 + x),⁻³
e g'''(x) vai ser: -3 vezes 2 = -6,
vezes (1 + x)⁻⁴.
Então, nós temos que a função g(x)
pode ser escrita aproximadamente como sendo, pela série de MacLaurin,
como g(0), que vai dar 1,
menos g'(0), que vai dar -1 vezes "x",
então, -x,
mais g''(0), que vai dar 2 sobre 2 fatorial, vezes x²,
mais g'''(0), que vai dar -6 sobre 3 fatorial,
vezes x³.
Vamos ficar até este grau.
Nós sabemos que f(x) nós chamamos de 2 sobre 1, mais 4x².
Portanto, f(x) vai ser igual a 2 vezes g(4x²).
Portanto, f(x) vai ser aproximadamente igual
a 2 vezes 1, menos...
no lugar de "x", colocamos 4x²,
mais... 2 sobre 2 fatorial é 1,
então, vai ficar (4x²)², que vai dar 16x⁴,
menos... 6 dividido por 3 fatorial vai dar 1,
então, nós ficamos com:
(4x²)³ vai ficar: 4 vezes 4 = 16,
vezes 4 = 64x⁶.
Abrindo este parêntese, nós vamos ter: 2 - 8x²,
mais 32x⁴,
menos 128x⁶.
Mas nós sabemos que a derivada do arco tangente de 2x
é o que nós estamos chamando de f(x).
Portanto, nós temos que a derivada do arco tangente de 2x dx
é igual ao nosso f(x).
Portanto, se integrarmos de ambos os lados, nós vamos ter que o arco tangente de 2x
vai ser igual à integral de f(x) dx.
Portanto, o arco tangente de 2x vai ser a integral deste polinômio,
que vai ficar como sendo 2x, menos (8/3)x³
mais (32/5)x⁵,
menos (128/7)x⁷,
mais uma constante "c".
Nós sabemos que a série de MacLaurin é centrada no zero.
Portanto, esta constante vai cair para zero.
E ficamos, então, com a aproximação que
o arco tangente de 2x
vai ser igual a 2x - (8/3)x³,
mais (32/5)x⁵,
menos (128/7)x⁷, aproximadamente.
Vamos verificar na simulação entre -30 graus e +30 graus.
Aqui nós temos, em roxo, o arco tangente
e, em vermelho, nossa simulação.
Aqui nós temos nosso arco tangente em roxo
e, em vermelho, nós temos a nossa simulação.
Vemos que, de -30 graus a +30 graus, ele é bem próximo.
Na realidade, a partir de -35 radianos até +35 radianos,
ele fica muito próximo, uma curva fica exatamente em cima da outra.
Portanto, é uma boa aproximação.