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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.07,0:00:02.08,Default,,0000,0000,0000,,到现在为止
Dialogue: 0,0:00:02.08,0:00:03.53,Default,,0000,0000,0000,,我告诉大家的关于点乘和叉乘的
Dialogue: 0,0:00:03.53,0:00:06.44,Default,,0000,0000,0000,,只是作为定义 用向量长度乘以
Dialogue: 0,0:00:06.44,0:00:07.96,Default,,0000,0000,0000,,夹角余弦
Dialogue: 0,0:00:07.96,0:00:09.90,Default,,0000,0000,0000,,或者正弦
Dialogue: 0,0:00:09.90,0:00:12.60,Default,,0000,0000,0000,,但是如果题目给条件不是直观的向量呢？
Dialogue: 0,0:00:12.60,0:00:14.40,Default,,0000,0000,0000,,如果题目件没有给出夹角θ呢？
Dialogue: 0,0:00:14.40,0:00:17.20,Default,,0000,0000,0000,,这时应该怎样计算点乘和叉乘呢？
Dialogue: 0,0:00:17.20,0:00:19.20,Default,,0000,0000,0000,,好吧 我先给出
Dialogue: 0,0:00:19.20,0:00:20.06,Default,,0000,0000,0000,,之前介绍过的各自的定义式
Dialogue: 0,0:00:20.06,0:00:26.86,Default,,0000,0000,0000,,假设a点乘b
Dialogue: 0,0:00:26.86,0:00:31.27,Default,,0000,0000,0000,,要用a的模乘b的模再
Dialogue: 0,0:00:31.27,0:00:33.40,Default,,0000,0000,0000,,乘以夹角余弦
Dialogue: 0,0:00:33.40,0:00:37.83,Default,,0000,0000,0000,,a x b将等于
Dialogue: 0,0:00:37.83,0:00:41.71,Default,,0000,0000,0000,,a的模乘以b的模再
Dialogue: 0,0:00:41.71,0:00:44.15,Default,,0000,0000,0000,,乘以夹角正弦
Dialogue: 0,0:00:44.15,0:00:47.11,Default,,0000,0000,0000,,所以它们的垂直投影-
Dialogue: 0,0:00:47.11,0:00:48.81,Default,,0000,0000,0000,,再乘以
Dialogue: 0,0:00:48.81,0:00:51.10,Default,,0000,0000,0000,,跟两向量都正交的单位法向量
Dialogue: 0,0:00:51.10,0:00:52.93,Default,,0000,0000,0000,,至于这个
Dialogue: 0,0:00:52.93,0:00:55.30,Default,,0000,0000,0000,,单位法向量的方向
Dialogue: 0,0:00:55.30,0:00:56.36,Default,,0000,0000,0000,,你可以用右手定则知道
Dialogue: 0,0:00:56.36,0:00:59.92,Default,,0000,0000,0000,,但如果我们没有θ值
Dialogue: 0,0:00:59.92,0:01:01.58,Default,,0000,0000,0000,,没有向量夹角怎么办呢？
Dialogue: 0,0:01:01.58,0:01:07.59,Default,,0000,0000,0000,,如果只告诉你向量a
Dialogue: 0,0:01:07.59,0:01:10.45,Default,,0000,0000,0000,,而且是向量a的工程表示符号 要怎么办呢？
Dialogue: 0,0:01:10.45,0:01:11.61,Default,,0000,0000,0000,,工程表示符号就是
Dialogue: 0,0:01:11.61,0:01:13.54,Default,,0000,0000,0000,,把向量 用其在x y z方向
Dialogue: 0,0:01:13.54,0:01:16.07,Default,,0000,0000,0000,,分解以后得到的三个分量大小来表示
Dialogue: 0,0:01:16.07,0:01:22.02,Default,,0000,0000,0000,,假设a是5i（式子未完）--
Dialogue: 0,0:01:22.02,0:01:25.31,Default,,0000,0000,0000,,i就是在x方向的单位向量
Dialogue: 0,0:01:25.31,0:01:33.40,Default,,0000,0000,0000,,a是5i-6j+3k
Dialogue: 0,0:01:34.07,0:01:36.72,Default,,0000,0000,0000,,i j k是x y z方向上的
Dialogue: 0,0:01:36.72,0:01:38.43,Default,,0000,0000,0000,,单位向量
Dialogue: 0,0:01:38.43,0:01:41.45,Default,,0000,0000,0000,,5是x方向上a的长度
Dialogue: 0,0:01:41.45,0:01:43.36,Default,,0000,0000,0000,,-6是y方向的分量
Dialogue: 0,0:01:43.36,0:01:46.04,Default,,0000,0000,0000,,3是z方向的分量
Dialogue: 0,0:01:46.04,0:01:47.34,Default,,0000,0000,0000,,其实可以画图表示
Dialogue: 0,0:01:47.34,0:01:49.47,Default,,0000,0000,0000,,实际上我正在找一个图形计算器
Dialogue: 0,0:01:49.47,0:01:51.20,Default,,0000,0000,0000,,借助它我就可以给大家在视频里展示各种图形了
Dialogue: 0,0:01:51.20,0:01:52.35,Default,,0000,0000,0000,,让大家有更直观的感觉
Dialogue: 0,0:01:52.35,0:01:53.66,Default,,0000,0000,0000,,好 假设这就是大家得到的所有的有用条件
Dialogue: 0,0:01:53.66,0:02:00.50,Default,,0000,0000,0000,,至于b 我再编几个数
Dialogue: 0,0:02:00.50,0:02:03.04,Default,,0000,0000,0000,,b是-2i（未完）
Dialogue: 0,0:02:03.04,0:02:05.66,Default,,0000,0000,0000,,当然现在这些都是在三维空间内讨论的
Dialogue: 0,0:02:14.40,0:02:15.51,Default,,0000,0000,0000,,你可以自己画图看一下
Dialogue: 0,0:02:15.51,0:02:18.15,Default,,0000,0000,0000,,显然 如果这就是你得到的问题
Dialogue: 0,0:02:18.15,0:02:21.59,Default,,0000,0000,0000,,并且你要是在电脑仿真中
Dialogue: 0,0:02:21.59,0:02:22.74,Default,,0000,0000,0000,,模拟这些向量
Dialogue: 0,0:02:22.74,0:02:23.60,Default,,0000,0000,0000,,你应该会这么做：
Dialogue: 0,0:02:23.60,0:02:25.40,Default,,0000,0000,0000,,你会把向量分解成x y z三个分量
Dialogue: 0,0:02:25.40,0:02:27.00,Default,,0000,0000,0000,,因为如果要是做向量相加运算
Dialogue: 0,0:02:27.00,0:02:28.80,Default,,0000,0000,0000,,只需要分别把各分量相加即可
Dialogue: 0,0:02:28.80,0:02:29.98,Default,,0000,0000,0000,,但如果要做叉乘或点乘的话
Dialogue: 0,0:02:29.98,0:02:32.09,Default,,0000,0000,0000,,要怎么相乘呢？
Dialogue: 0,0:02:32.09,0:02:34.54,Default,,0000,0000,0000,,在这里我不给大家证明原理
Dialogue: 0,0:02:34.54,0:02:35.70,Default,,0000,0000,0000,,只是告诉大家怎么做
Dialogue: 0,0:02:35.70,0:02:37.70,Default,,0000,0000,0000,,点乘非常简单
Dialogue: 0,0:02:37.70,0:02:39.43,Default,,0000,0000,0000,,如果向量是用这种方式给的
Dialogue: 0,0:02:39.43,0:02:41.14,Default,,0000,0000,0000,,其实还有另一种书写方法
Dialogue: 0,0:02:41.14,0:02:42.70,Default,,0000,0000,0000,,还可以写在括号里
Dialogue: 0,0:02:42.70,0:02:47.49,Default,,0000,0000,0000,,有时候可以把这写成（5，-6，3）
Dialogue: 0,0:02:47.49,0:02:50.09,Default,,0000,0000,0000,,只是在x y z方向内分量的长度
Dialogue: 0,0:02:50.09,0:02:50.60,Default,,0000,0000,0000,,只是想让大家
Dialogue: 0,0:02:50.60,0:02:54.31,Default,,0000,0000,0000,,熟悉所有这些表示方法
Dialogue: 0,0:02:54.31,0:02:57.56,Default,,0000,0000,0000,,你可以把b写成（-2，7，4）
Dialogue: 0,0:02:57.56,0:02:58.45,Default,,0000,0000,0000,,表示的向量都是一样的
Dialogue: 0,0:02:58.45,0:03:00.45,Default,,0000,0000,0000,,看到其中任何一种你都不应该不认识
Dialogue: 0,0:03:00.45,0:03:05.82,Default,,0000,0000,0000,,好吧 a点乘b到底要怎么做呢？
Dialogue: 0,0:03:08.01,0:03:10.70,Default,,0000,0000,0000,,这个方法我相信大家肯定会喜欢的
Dialogue: 0,0:03:10.70,0:03:14.54,Default,,0000,0000,0000,,你需要做的就是 把两者i分量长度相乘
Dialogue: 0,0:03:14.54,0:03:17.13,Default,,0000,0000,0000,,加上两者j分量相乘
Dialogue: 0,0:03:17.13,0:03:20.30,Default,,0000,0000,0000,,再加两者k分量相乘
Dialogue: 0,0:03:20.30,0:03:25.58,Default,,0000,0000,0000,,所以应该是5乘以-2
Dialogue: 0,0:03:25.58,0:03:37.93,Default,,0000,0000,0000,,加上-6乘以7加上3乘以4
Dialogue: 0,0:03:37.93,0:03:45.21,Default,,0000,0000,0000,,等于-10-42+12
Dialogue: 0,0:03:45.21,0:03:52.10,Default,,0000,0000,0000,,等于-52+12 即-40
Dialogue: 0,0:03:52.10,0:03:53.58,Default,,0000,0000,0000,,这就是结果 只是一个数字而已
Dialogue: 0,0:03:53.58,0:03:57.00,Default,,0000,0000,0000,,其实我很想在三维画图器上画画
Dialogue: 0,0:03:57.00,0:04:01.20,Default,,0000,0000,0000,,看看为什么最后等于-40
Dialogue: 0,0:04:01.20,0:04:03.35,Default,,0000,0000,0000,,a b一定是反向的
Dialogue: 0,0:04:03.35,0:04:05.15,Default,,0000,0000,0000,,它们各自在对方上的射影
Dialogue: 0,0:04:05.15,0:04:06.25,Default,,0000,0000,0000,,是相反的
Dialogue: 0,0:04:06.25,0:04:09.61,Default,,0000,0000,0000,,所以我们最后得到一个负数
Dialogue: 0,0:04:09.61,0:04:12.10,Default,,0000,0000,0000,,我们这么做
Dialogue: 0,0:04:12.10,0:04:13.68,Default,,0000,0000,0000,,是因为我也不想太直观
Dialogue: 0,0:04:13.68,0:04:14.52,Default,,0000,0000,0000,,这就是点乘的计算方法
Dialogue: 0,0:04:14.52,0:04:16.12,Default,,0000,0000,0000,,非常简单
Dialogue: 0,0:04:16.12,0:04:18.00,Default,,0000,0000,0000,,仅仅把x方向分量乘起来
Dialogue: 0,0:04:18.00,0:04:21.36,Default,,0000,0000,0000,,加上y分量乘积
Dialogue: 0,0:04:21.36,0:04:23.65,Default,,0000,0000,0000,,再加上所有z分量乘积
Dialogue: 0,0:04:23.65,0:04:25.95,Default,,0000,0000,0000,,所以每当题给条件是工程表示符号
Dialogue: 0,0:04:25.95,0:04:28.27,Default,,0000,0000,0000,,而我要做点乘时
Dialogue: 0,0:04:28.27,0:04:33.75,Default,,0000,0000,0000,,这个方法非常好用 而且不容易犯错
Dialogue: 0,0:04:33.75,0:04:34.98,Default,,0000,0000,0000,,但是 接下来你会看到
Dialogue: 0,0:04:34.98,0:04:38.05,Default,,0000,0000,0000,,求这种形式的向量的叉乘积
Dialogue: 0,0:04:38.05,0:04:41.27,Default,,0000,0000,0000,,将比较麻烦
Dialogue: 0,0:04:41.27,0:04:42.50,Default,,0000,0000,0000,,当然了 对于点乘
Dialogue: 0,0:04:42.50,0:04:43.33,Default,,0000,0000,0000,,还有其他做法
Dialogue: 0,0:04:43.33,0:04:44.05,Default,,0000,0000,0000,,你可以求出
Dialogue: 0,0:04:44.05,0:04:45.86,Default,,0000,0000,0000,,每个向量的模
Dialogue: 0,0:04:45.86,0:04:50.37,Default,,0000,0000,0000,,然后用三角学的知识
Dialogue: 0,0:04:50.37,0:04:52.50,Default,,0000,0000,0000,,求出θ 使用点乘定义式来计算
Dialogue: 0,0:04:52.50,0:04:55.54,Default,,0000,0000,0000,,说到这我相信你会认为
Dialogue: 0,0:04:55.54,0:04:57.50,Default,,0000,0000,0000,,第一种方法是相对更简单的
Dialogue: 0,0:04:57.50,0:04:59.21,Default,,0000,0000,0000,,所以做点乘是没什么难的
Dialogue: 0,0:04:59.21,0:05:01.35,Default,,0000,0000,0000,,现在来看如何做叉乘
Dialogue: 0,0:05:01.35,0:05:04.80,Default,,0000,0000,0000,,重申一下 这里我不进行证明
Dialogue: 0,0:05:04.80,0:05:06.39,Default,,0000,0000,0000,,只是向大家介绍方法
Dialogue: 0,0:05:06.39,0:05:07.45,Default,,0000,0000,0000,,在以后的视频里
Dialogue: 0,0:05:07.45,0:05:10.15,Default,,0000,0000,0000,,我相信大家总会让我证明的
Dialogue: 0,0:05:10.15,0:05:11.07,Default,,0000,0000,0000,,那时候我会给出证明
Dialogue: 0,0:05:11.07,0:05:15.33,Default,,0000,0000,0000,,但是叉乘确实是更复杂一些
Dialogue: 0,0:05:15.33,0:05:18.11,Default,,0000,0000,0000,,并且我也从不希望用这种工程符号表示
Dialogue: 0,0:05:18.11,0:05:20.24,Default,,0000,0000,0000,,来做叉乘（太麻烦了）
Dialogue: 0,0:05:20.24,0:05:23.78,Default,,0000,0000,0000,,a x b就等于
Dialogue: 0,0:05:23.78,0:05:26.91,Default,,0000,0000,0000,,这时候要用到矩阵的知识了
Dialogue: 0,0:05:26.91,0:05:30.81,Default,,0000,0000,0000,,你需要取行列式
Dialogue: 0,0:05:30.81,0:05:33.03,Default,,0000,0000,0000,,先画一条长行列式线
Dialogue: 0,0:05:33.03,0:05:34.26,Default,,0000,0000,0000,,在行列式的顶端-
Dialogue: 0,0:05:34.26,0:05:36.94,Default,,0000,0000,0000,,介绍这种方法只是让你记住怎么做
Dialogue: 0,0:05:36.94,0:05:38.74,Default,,0000,0000,0000,,没有给很出直观的解释为什么要这么做
Dialogue: 0,0:05:38.74,0:05:41.38,Default,,0000,0000,0000,,不过在叉乘的实际定义中直观概念已经给出了
Dialogue: 0,0:05:41.38,0:05:44.03,Default,,0000,0000,0000,,那就是向量的哪部分是跟另一个正交的
Dialogue: 0,0:05:44.03,0:05:45.15,Default,,0000,0000,0000,,将这两部分相乘
Dialogue: 0,0:05:45.15,0:05:46.77,Default,,0000,0000,0000,,这时右手定则来决定
Dialogue: 0,0:05:46.77,0:05:48.49,Default,,0000,0000,0000,,向量指向的方向
Dialogue: 0,0:05:48.49,0:05:51.59,Default,,0000,0000,0000,,如果给出的是工程表示
Dialogue: 0,0:05:51.59,0:05:55.48,Default,,0000,0000,0000,,在行列式第一行写 i j k这三个单位向量
Dialogue: 0,0:05:58.41,0:06:02.34,Default,,0000,0000,0000,,然后写叉乘中第一个向量
Dialogue: 0,0:06:02.34,0:06:03.63,Default,,0000,0000,0000,,因为对叉乘来说向量顺序是不能变的
Dialogue: 0,0:06:03.63,0:06:09.03,Default,,0000,0000,0000,,所以第二行是 5 -6 3
Dialogue: 0,0:06:09.03,0:06:11.90,Default,,0000,0000,0000,,然后写第二个向量b
Dialogue: 0,0:06:11.90,0:06:17.18,Default,,0000,0000,0000,,所以第三行是 -2 7 4
Dialogue: 0,0:06:17.18,0:06:20.00,Default,,0000,0000,0000,,接下来要对这个3x3矩阵取行列式
Dialogue: 0,0:06:20.00,0:06:21.27,Default,,0000,0000,0000,,应该怎么做呢？
Dialogue: 0,0:06:21.27,0:06:26.24,Default,,0000,0000,0000,,等于i的子行列式（即余子式）（未完）
Dialogue: 0,0:06:26.24,0:06:27.10,Default,,0000,0000,0000,,要求i的余子式
Dialogue: 0,0:06:27.10,0:06:29.04,Default,,0000,0000,0000,,去掉i所在的行和列
Dialogue: 0,0:06:29.04,0:06:30.58,Default,,0000,0000,0000,,行列式剩下的部分就是i的余子式
Dialogue: 0,0:06:30.58,0:06:38.78,Default,,0000,0000,0000,,-6 3 7 4（如视频所示）行列式乘i
Dialogue: 0,0:06:38.78,0:06:41.45,Default,,0000,0000,0000,,说到这如果你记不清如何做行列式运算
Dialogue: 0,0:06:41.45,0:06:42.74,Default,,0000,0000,0000,,最好复习一下行列式部分的知识
Dialogue: 0,0:06:42.74,0:06:47.58,Default,,0000,0000,0000,,看接下来的运算应该可以唤起你的学习记忆
Dialogue: 0,0:06:47.58,0:06:50.80,Default,,0000,0000,0000,,三个子行列式前的符号 是+ - +
Dialogue: 0,0:06:50.80,0:06:53.80,Default,,0000,0000,0000,,所以j的余子式符号是-
Dialogue: 0,0:06:53.80,0:06:55.48,Default,,0000,0000,0000,,那j的余子式是什么呢
Dialogue: 0,0:06:55.48,0:06:57.55,Default,,0000,0000,0000,,去掉j所在的行和列
Dialogue: 0,0:06:57.55,0:07:01.47,Default,,0000,0000,0000,,就得到了5 3 -2 4（如视频所示）
Dialogue: 0,0:07:05.00,0:07:07.94,Default,,0000,0000,0000,,先去掉j所在的行与列
Dialogue: 0,0:07:07.94,0:07:09.00,Default,,0000,0000,0000,,不管剩下什么
Dialogue: 0,0:07:09.00,0:07:11.55,Default,,0000,0000,0000,,这就是j的余子式中的数字
Dialogue: 0,0:07:11.55,0:07:13.22,Default,,0000,0000,0000,,我这么称呼
Dialogue: 0,0:07:13.22,0:07:18.50,Default,,0000,0000,0000,,j 然后+ 我想把这些都写在一行里
Dialogue: 0,0:07:18.50,0:07:19.44,Default,,0000,0000,0000,,看起来会整齐一点
Dialogue: 0,0:07:19.44,0:07:21.00,Default,,0000,0000,0000,,加k的余子式
Dialogue: 0,0:07:21.00,0:07:23.36,Default,,0000,0000,0000,,去掉k所在的行和列
Dialogue: 0,0:07:23.36,0:07:35.06,Default,,0000,0000,0000,,剩下的是5 -6 -2 7（如视频所示） 乘以k
Dialogue: 0,0:07:35.06,0:07:36.69,Default,,0000,0000,0000,,现在来计算一下
Dialogue: 0,0:07:36.69,0:07:39.30,Default,,0000,0000,0000,,先腾一些运算空间出来
Dialogue: 0,0:07:39.30,0:07:41.27,Default,,0000,0000,0000,,这些写的太大了
Dialogue: 0,0:07:41.27,0:07:43.41,Default,,0000,0000,0000,,现在不需要这些了 擦掉
Dialogue: 0,0:07:43.41,0:07:45.36,Default,,0000,0000,0000,,那么运算结果是什么呢？
Dialogue: 0,0:07:45.36,0:07:49.65,Default,,0000,0000,0000,,来上边这里运算吧
Dialogue: 0,0:07:49.65,0:07:51.40,Default,,0000,0000,0000,,这些2x2行列式是蛮简单的
Dialogue: 0,0:07:51.40,0:07:56.65,Default,,0000,0000,0000,,这个是-6x4-7x3
Dialogue: 0,0:07:56.65,0:08:00.51,Default,,0000,0000,0000,,这里我经常粗心算错 也给大家提个醒
Dialogue: 0,0:08:00.51,0:08:08.93,Default,,0000,0000,0000,,-24-21 乘i 减 5x4是20
Dialogue: 0,0:08:08.93,0:08:16.59,Default,,0000,0000,0000,,- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j
Dialogue: 0,0:08:16.59,0:08:26.00,Default,,0000,0000,0000,,+5x7 得35 再减-2x（-6）
Dialogue: 0,0:08:26.00,0:08:29.83,Default,,0000,0000,0000,,所以是减12 得（35-12）k
Dialogue: 0,0:08:29.83,0:08:34.55,Default,,0000,0000,0000,,我们可以化简一下 这里等于-24-21
Dialogue: 0,0:08:34.55,0:08:39.71,Default,,0000,0000,0000,,是-35（算错了 是-45） 其实不用放括号里的
Dialogue: 0,0:08:39.71,0:08:43.84,Default,,0000,0000,0000,,然后是20--6
Dialogue: 0,0:08:43.84,0:08:46.69,Default,,0000,0000,0000,,也就是20+6 得到26
Dialogue: 0,0:08:46.69,0:08:47.97,Default,,0000,0000,0000,,前边还有一个负号
Dialogue: 0,0:08:47.97,0:08:50.64,Default,,0000,0000,0000,,所以是-26j
Dialogue: 0,0:08:50.64,0:08:54.54,Default,,0000,0000,0000,,这里是35-12 得到23
Dialogue: 0,0:08:56.80,0:08:59.05,Default,,0000,0000,0000,,这就是叉乘的结果
Dialogue: 0,0:08:59.05,0:09:00.77,Default,,0000,0000,0000,,如果在三维空间里画图表示
Dialogue: 0,0:09:00.77,0:09:03.17,Default,,0000,0000,0000,,你会看到这个是非常有趣的
Dialogue: 0,0:09:00.77,0:09:06.97,Default,,0000,0000,0000,,如果我没算错的话（其实i分量算错了）
Dialogue: 0,0:09:06.97,0:09:11.10,Default,,0000,0000,0000,,-35i-26j+23k 这个向量
Dialogue: 0,0:09:11.10,0:09:14.95,Default,,0000,0000,0000,,跟向量a和b都是垂直的
Dialogue: 0,0:09:14.95,0:09:18.40,Default,,0000,0000,0000,,现在我就讲到这
Dialogue: 0,0:09:18.40,0:09:20.00,Default,,0000,0000,0000,,下段视频再见了
Dialogue: 0,0:09:20.00,0:09:22.23,Default,,0000,0000,0000,,希望我能找到一个向量画图程序吧
Dialogue: 0,0:09:22.23,0:09:24.36,Default,,0000,0000,0000,,那样的话做点乘和叉乘运算
Dialogue: 0,0:09:24.36,0:09:27.08,Default,,0000,0000,0000,,就有趣多了
Dialogue: 0,0:09:27.08,0:09:30.10,Default,,0000,0000,0000,,用我刚教的方法运算然后画出来看看
Dialogue: 0,0:09:30.10,0:09:31.55,Default,,0000,0000,0000,,看看结果是不是满足我们预期
Dialogue: 0,0:09:31.55,0:09:36.33,Default,,0000,0000,0000,,看看是不是这个向量真的
Dialogue: 0,0:09:36.33,0:09:38.20,Default,,0000,0000,0000,,是像大家用右手定则判断的那个方向一样
Dialogue: 0,0:09:38.20,0:09:41.90,Default,,0000,0000,0000,,跟两个向量都垂直
Dialogue: 0,0:09:41.90,0:09:45.09,Default,,0000,0000,0000,,下段视频见