-
Şimdiye kadar skaler çarpım ve vektörel çarpımdan bahsettim
ve tanımlarını büyüklük
çarpı aralarındaki açının ya sinüsü ya kosinüsü olarak vermiştim.
-
Ama diyelim ki vektörler görsel olarak verilmemiş.
Ve aralarındaki açıyı da bilmediğinizi farz edin.
O zaman skaler ve vektörel çarpımı nasıl hesaplayabiliriz?
Daha önce verdiğim tanımı tekrar söyleyeyim.
-
a ile b'nin skaler çarpımı isteniyor.
Bu a'nın büyüklüğü çarpı b'nin büyüklüğü çarpı
aralarındaki açının kosinüsüdür.
a ve b'nin vektörel çarpımı a'nın boyu çarpı
b'nin boyu çarpı aralarındaki açının sinüsüne eşittir
yani onların dik izdüşümleri çarpı her ikisine dik olan normal vektörü.
-
Her iki vektöre dik olan birim normal vektörü
sağ el kuralıyla bulabilirsiniz.
-
Ama tetayı bilmiyorsak
yani aralarındaki açıyı bilmiyorsak ne yaparız
Diyelim ki elimde vektör a var,
a yı teknik simgesiyle yazıyorum.
Teknik notasyonda, sadece
vektörü x,y,z bileşenlerine ayırıyoruz.
a vektörü şöyle olsun 5i-- i sadece x yönündeki birim vektördür
eksi 6j artı 3k.
-
i,j,k sadece x,y,z yönündeki birim vektörlerdir.
-
Ve 5, x yönündeki uzunluk miktarıdır.
-6, y yönündeki değeridir.
Ve 3, z yönündeki uzunluğudur.
Grafiğini çizebilirsiniz.
Grafik programı araştırıyorum
onu bütün videolarda kullanabilirim
daha iyi anlamanız için.
Bunların hepsi verilenler.
Diyelim ki b de şöyle olsun,bu sayıları tamamen uyduruyorum
b eşittir -2i ,şuan 3. boyutta çalışıyoruz,
artı 7j artı 4k
Bunu da çizebilirsiniz.
Elinizdeki problemi
bilgisayar simülasyonunda modellemek istiyorsanız
yapabileceğiniz yol budur.
Vektör toplamı için,onu x,y ve z bileşenlerine ayırın
-
Onları sadece sırasıyla toplamalısınız.
Peki skaler çarpımı ya da vektörel çarpımı nasıl buluruz?
-
Bunun kanıtını yapmayacağım
yalnızca nasıl yapıldığını göstereceğim.
Skaler çarpım gayet basit eğer
notasyon bu şekilde verilmişse
Bu gösterimi diğer bir şekilde yazmanın yolu
paranteze almaktır.
Bazen (5,-6,3) olarak da yazılır.
Ya da sadece x,y,z yönündeki değerleri.
Bütün gösterim çeşitlerini tanıdığınızdan emin olmak istiyorum.
-
b yi (-2,7,4) olarak yazabilirsiniz.
Bunların hepsi aynı şey.
Bunların herhangi birini gördüğünüzde şaşırmayın.
Sonuç olarak a ve b'nin skaler çarpımı nedir?
-
Kolayca bulacağınızı düşünüyorum.
Bütün yapacağınız i bileşenlerini çarpıp onu
j bileşenleri çarpımına eklemek ve bunu da
k bileşenlerini çarpımına eklemek.
Sonuç 5 çarpı -2 artı -6 çarpı 7 artı 3 çarpı
4 bu da -10 artı -42 artı 12 dir.
-52 artı 12 den cevap -40 olur.
Sonuç bu.
Sadece bir sayı.
Grafiği 3 boyutlu grafikerimizde çizmek ve
nasıl - 40 olduğunu görmek için meraklanıyorum.
Onlar zıt yönlerde olmalı.
Ve onların birbiri üzerine izdüşümleri de zıt yöndeler.
-
Eksi bir sayı bulmamızın nedeni budur.
-
Bunu yapmamızın amacı kanıtlarla uğraşmak yerine
sadece nasıl hesaplandığını görmek ve bu
gayet açık.
Sadece x bileşenlerini çarptınız.
Sonra onu y bileşenleri çarpımına eklediniz
ve bunu da z bileşenleri çarpımına eklediniz.
Vektörler teknik gösterimde ya da
parantez içinde verilip skaler çarpımı bulmam istendiğinde
hatasız ve kolayca yapılabilir
Ama göreceksiniz ki vektörel çarpımı almak
o kadar açık ve kolay değil
-
Bunları aklınızda tutmanızı istiyorum,bunu hesaplamanın diğer yolu,
ayrı ayrı büyüklüklerini hesaplayabilir
ve tetayı hesaplamak için biraz trigonometriyi kullanır
bunu tanımda yerine koyarsınız.
-
Bence bu kolay yolu daha çok seversiniz.
-
Skaler çarpım eğlencelidir.
Şimdi vektörel çarpıma bakalım.
Kanıtı yine yapmayacağım.
Sadece nasıl hesaplandığını gösterecağim.
Gelecek videolarda,eminim kanıtları yapmam istenir
ben de kanıtı o zaman yaparım.
Vektörel çarpım biraz daha karışık.
a ve b'nin vektörel çarpımı için
teknik gösterimi kullanmayacağım.
a ile b'nin vektörel çarpımı.
Bu şuna eşittir.
Bir matris uygulaması.
Yapacağınız determinantı bulmak; büyük bir
determinant çizgisi çizeceğim.
Bu sadece
nasıl ezberleyeceğinizin bir yolu.
Size pek fazla bilgi vermez ama
bilgiler tanımın içinde saklı.
Vektörlerin ne kadarı birbirine diktir?
Uzunluklarını çarp.
Sonra yönünü bulmak için sağ el kuralını kullan.
-
Teknik gösterimde verildeyse bunu yapmanın yolu,
i,j,k birim vektörlerini en üste yaz.
i,j,k.
Sonra ilk vektörü vektörel çarpıma yaz
çünkü sıra önemli.
-5 ,6 ve 3.
Sonra 2.vektör b'yi al
-2,7,4.
3 e 3 matrisin determinantını bul,
peki bunu nasıl hesaplarız?
Determinant i'nin alt determinantına eşit.
i'nin alt determinantını bulmak için bu sütun ve
satırdan kurtulun,geriye kalan
-6,3,7,4 ün determinantını bulun, determinantın
nasıl bulunduğunu hatırlamıyorsanız
şimdi hafızanıza kazıyalım.
Bunun artı bunun eksi bunun artı olduğunu hatırlayın.
Sonra eksi j için alt determinantı bulalım.
j için alt determinant neydi?
j'nin olduğu satırı ve sütunu kapatın.
Elimizde 5,3,-2 ve 4 var.
-
Sadece j'nin satır ve sütununu kapattım.
Geriye kalan her şey alt determinantın içinde.
-
Söylediğim bu.
j artı..Bunların hepsini tek seferde yapmak istiyorum çünkü
böyle daha düzgün olacak..artı
k'nin alt determinantı.
k'nın satır ve sütununu kapatalım.
Geriye 5,-6,-2 ve 7 çarpı k kaldı
Şimdi onları hesaplayalım.
Bunları siliyorum çünkü çok
büyük yazmışım.
Bunlara artık ihtiyacım yok.
Peki bakalım elimde ne var?
Bunu yukarı yazayım.
Bunlar 2 ye 2 determinant ve hesaplaması gayet basit.
Bu 6 çarpı 4 eksi 7 çarpı 3.
Burada hep dikkatsiz hatalar yaparım.
-24 -21 çarpı i eksi 5 çarpı 4 eşittir 20,
eksi 2 çarpı 3 böylece eksi eksi 6 ,artı 5 çarpı 7,
eksi eksi 2 çarpı 6.
Bu eksi 12k.
-24 -21 i kolaylaştıralım.
Bu -45 tir...Paranteze yazmak zorunda değilim..çarpı i,
sonra 20 eksi eksi 6 nedir?
Bu 26 olur.
Ve dışarıda da bir eksi var.
Bu yüzden -26 olur.
35-12=23.
Artı 23k.
Evet vektörel çarpım bu.
Bunu 3 boyutlu grafik olarak çizersek
ilginç olan şu ki,
matematiksel işlemlerim doğruysa -45i ,-26j ve
artı 23k her iki vektöre de diktir.
Videonun sonuna geldik,
diğer sunumda görüşürüz.
Umarım vektör grafik programı bulabilirim.
Çünkü bu program hem skaler
hem vektörel çarpımıbu metodlarla hesaplamak
sonra grafiğini çizmek eğlenceli olacak.
Ve bunun işe yaradığını göstermek.
Bu vektör her iki vektöre dik
ve yönü sağ el kuralında tahmin ettiğiniz yön.
-
Sonraki videoda görüşürüz.
-