WEBVTT

00:00:00.480 --> 00:00:03.330
Zatím, když jsme mluvili 
o skalárním a vektorovém součinu,

00:00:03.330 --> 00:00:05.480
zmínil jsem tuto definici:

00:00:05.480 --> 00:00:08.610
velikost krát kosinus nebo sinus

00:00:08.610 --> 00:00:09.710
úhlu mezi nimi.

00:00:09.710 --> 00:00:12.430
Ale co když tento vektor 
nemáte nakreslený?

00:00:12.430 --> 00:00:14.210
A co když není zadaný 
úhel mezi nimi?

00:00:14.210 --> 00:00:17.240
Jak spočítáte skalární a vektorový součin?

00:00:17.240 --> 00:00:19.980
No, napíšu vám definici z minula.

00:00:20.000 --> 00:00:26.710
Řekněme, že mám skalární součin „a tečka b“.

00:00:26.710 --> 00:00:31.290
To se rovná velikost a krát velikosti b

00:00:31.290 --> 00:00:34.200
krát kosinus úhlu mezi nimi.

00:00:34.200 --> 00:00:38.030
„a X b“ je rovno

00:00:38.030 --> 00:00:44.030
velikosti a krát velikost b 
krát sinus úhlu mezi nimi

00:00:44.030 --> 00:00:48.510
– tj. jejich kolmá projekce –
krát normálový vektor,

00:00:48.510 --> 00:00:51.350
který je kolmý na oba.
Jednotkový normálový vektor.

00:00:51.350 --> 00:00:55.310
Můžete zjistit,
který z dvou kolmých vektorů to je

00:00:55.310 --> 00:00:56.620
pravidlem pravé ruky.

00:00:56.620 --> 00:01:00.170
Ale co když nemáme ty „théty“,

00:01:00.170 --> 00:01:01.320
tj. úhly mezi nimi?

00:01:01.320 --> 00:01:04.300
Co když vám například řeknu,

00:01:04.300 --> 00:01:09.990
že vektor a 
– napíšu to v „inženýrské notaci“.

00:01:09.990 --> 00:01:12.090
V inženýrské notaci v zásadě jen

00:01:12.090 --> 00:01:16.270
rozložíme vektor na jeho složky x, y, z.

00:01:16.270 --> 00:01:23.580
Takže řekněme, že vektor a
je 5 i -- „i“ je jednotkový vektor

00:01:23.580 --> 00:01:33.900
ve směru osy x,
minus 6 j plus 3 k.

00:01:33.900 --> 00:01:38.290
i, j a k jsou prostě jednotkové vektory
podél směrů x, y, z.

00:01:38.290 --> 00:01:40.990
A 5 nám říká, jak velký je 
ve směru x.

00:01:40.990 --> 00:01:43.400
Minus 6 říká, jak velký je
ve směru y.

00:01:43.400 --> 00:01:45.890
A 3 říká, jak velký je
ve směru z.

00:01:45.890 --> 00:01:47.040
Můžete to zkusit nakreslit.

00:01:47.040 --> 00:01:48.960
A já teď opravdu hledám 
grafický nástroj,

00:01:48.960 --> 00:01:51.370
který by to zvládl,
abych vám to ve videu ukázal,

00:01:51.370 --> 00:01:52.360
kvůli názornosti.

00:01:52.360 --> 00:01:53.830
Ale řekněme, že máme jen tohle.

00:01:53.830 --> 00:02:00.100
A řekněme, že b
– já si ta čísla jen vymýšlím –

00:02:00.100 --> 00:02:06.260
řekněme, že je minus 2 i
– a samozřejmě jsme ve třech dimenzích –

00:02:06.260 --> 00:02:14.210
plus 7 j plus 4 k.

00:02:14.210 --> 00:02:15.300
Můžete to nakreslit.

00:02:15.300 --> 00:02:19.030
Ale samozřejmě, pokud byste dostali 
nějakou úlohu

00:02:19.030 --> 00:02:22.270
a snažili se modelovat
vektory v počítačové simulaci,

00:02:22.270 --> 00:02:23.510
dělali byste to takhle.

00:02:23.510 --> 00:02:25.690
Rozdělili byste si to 
na složky x, y a z

00:02:25.690 --> 00:02:26.780
ve smyslu sčítání.

00:02:26.780 --> 00:02:28.600
Musíte jen sečíst příslušné složky.

00:02:28.600 --> 00:02:31.210
Ale jak je navzájem vynásobíte,
ať už skalárně

00:02:31.210 --> 00:02:32.340
nebo vektorově?

00:02:32.340 --> 00:02:35.410
Ukazuje se,
– nebudu to dokazovat, jen ukážu, jak na to –

00:02:35.410 --> 00:02:37.760
že skalární součin je velmi jednoduchý

00:02:37.760 --> 00:02:39.330
v tomto zápisu.

00:02:39.330 --> 00:02:40.880
A vlastně další způsob zápisu

00:02:40.880 --> 00:02:42.360
je zápis pomocí závorek.

00:02:42.360 --> 00:02:46.955
Někdy to napíšete
jako 5, minus 6, 3.

00:02:46.955 --> 00:02:49.775
Nebo jen velikosti ve směrech x, y, z.

00:02:49.775 --> 00:02:52.760
Chci se jen ujistit, že jste se sžili

00:02:52.760 --> 00:02:54.270
s různými zápisy.

00:02:54.270 --> 00:02:57.360
Můžete zapsat vektor b
jako minus 2, 7, 4.

00:02:57.360 --> 00:02:58.380
Vždy jde o to samé.

00:02:58.380 --> 00:03:00.360
Neděste se, 
když vidíte různé zápisy.

00:03:00.360 --> 00:03:08.240
Ale stejně,
jak tedy spočítám „a tečka b“?

00:03:08.240 --> 00:03:10.670
Tohle vám myslím
bude připadat vcelku přijatelné.

00:03:10.670 --> 00:03:14.350
Vše, co musíte udělat,
je vynásobit složky i,

00:03:14.350 --> 00:03:17.080
k tomu přidat vynásobené složky j

00:03:17.080 --> 00:03:20.210
a potom k tomu 
přidat vynásobené složky k.

00:03:20.210 --> 00:03:32.870
Takže to bude 5 krát minus 2
plus minus 6 krát 7

00:03:32.870 --> 00:03:45.260
plus 3 krát 4, takže ve výsledku
minus 10 minus 42 plus 12.

00:03:45.260 --> 00:03:52.000
Takže je to minus 52 plus 12,
takže celkově minus 40.

00:03:52.000 --> 00:03:54.840
A je to. 
Je to prostě jen číslo.

00:03:54.840 --> 00:03:57.090
A vlastně bych to docela 
chtěl vidět nakreslené

00:03:57.090 --> 00:04:00.980
ve třech rozměrech
– proč je to minus 40.

00:04:00.980 --> 00:04:03.600
Musí mířit opačnými směry.

00:04:03.600 --> 00:04:06.060
A jejich vzájemné projekce
mají opačný směr.

00:04:06.060 --> 00:04:10.690
A proto dostaneme záporné číslo.

00:04:10.690 --> 00:04:13.030
Účel toho všeho
– nechci jít moc do hloubky –

00:04:13.030 --> 00:04:15.050
je ukázat, jak se to počítá,

00:04:15.050 --> 00:04:15.900
není to těžké.

00:04:15.900 --> 00:04:18.930
Jen vynásobíte složky x,

00:04:18.930 --> 00:04:21.309
přičtete to k vynásobeným složkám y

00:04:21.309 --> 00:04:23.450
a pak přičtete vynásobené složky z.

00:04:23.450 --> 00:04:25.710
Takže kdykoli dostanu úlohu
v inženýrském zápisu

00:04:25.710 --> 00:04:28.470
nebo závorkovém zápisu,
a mám spočítat skalární produkt,

00:04:28.470 --> 00:04:33.680
je to až téměř uklidňující
a ne moc náchylné k chybám.

00:04:33.680 --> 00:04:36.490
Ale, jak uvidíte,
počítat vektorový součin

00:04:36.490 --> 00:04:39.190
těchto dvou vektorů a v tomto zápisu

00:04:39.190 --> 00:04:41.490
není tak jednoduché.

00:04:41.490 --> 00:04:43.020
A chci, abyste si pamatovali,

00:04:43.020 --> 00:04:44.590
že dalším způsobem, jak to dělat,

00:04:44.590 --> 00:04:50.140
je určit velikost každého vektoru
a pak použít „fajnovou“ trigonometrii

00:04:50.140 --> 00:04:52.390
pro určení thét (úhlů)
a využít tuto definici.

00:04:52.390 --> 00:04:56.230
Ale myslím, že už chápete,
že dělat to takhle

00:04:56.230 --> 00:04:57.350
je mnohem jednodušší.

00:04:57.350 --> 00:04:59.140
Takže skalární součin
je vcelku zábavný.

00:04:59.140 --> 00:05:02.570
Teď se podívejme,
jestli zvládneme spočítat vektorový součin

00:05:02.570 --> 00:05:04.450
A znovu to nebudu dokazovat.

00:05:04.450 --> 00:05:06.230
Jen vám ukážu, jak na to.

00:05:06.230 --> 00:05:09.870
V nějakém budoucím videu
– jsem si jistý, že mě o to někdo požádá –

00:05:09.870 --> 00:05:11.710
ten důkaz předvedu.

00:05:11.710 --> 00:05:15.270
Ale vektorový součin, 
to je něco náročnějšího.

00:05:15.270 --> 00:05:18.210
A nikdy se netěším na počítání
vektorového součinu

00:05:18.210 --> 00:05:20.290
dvou vektorů v inženýrském zápisu

00:05:20.290 --> 00:05:23.780
a X b se rovná...

00:05:23.780 --> 00:05:27.530
Takže tady se používají matice.

00:05:27.530 --> 00:05:32.710
Spočítáme determinant.
Nakreslím velkou čáru determinantu.

00:05:33.080 --> 00:05:35.190
Tohle je vlastně jen způsob,

00:05:35.190 --> 00:05:37.090
kterým si to lépe zapamatujete.

00:05:37.090 --> 00:05:38.760
Nedá vám to do toho příliš vhled,

00:05:38.760 --> 00:05:41.690
ale vhled je skrytý v samotné definici.

00:05:41.690 --> 00:05:44.010
Jak moc jsou vektory navzájem kolmé,

00:05:44.010 --> 00:05:45.050
vynásobíte velikosti,

00:05:45.050 --> 00:05:47.210
pravidlo pravé ruky vám udá směr,

00:05:47.210 --> 00:05:48.360
ve kterém směřuje.

00:05:48.360 --> 00:05:51.380
Ale způsob, jak to dělat,
když používáte inženýrský zápis,

00:05:51.380 --> 00:05:55.383
napíšete na první řádek
jednotkové vektory i, j, k.

00:05:55.383 --> 00:05:59.840
i, j, k

00:05:59.840 --> 00:06:02.230
Pak zapíšete první vektor 
ve vektorovém součinu,

00:06:02.230 --> 00:06:03.560
protože na pořadí záleží.

00:06:03.560 --> 00:06:09.550
Takže je to 5, minus 6, 3.

00:06:09.550 --> 00:06:12.140
Pak vezmete druhý vektor,
který je b,

00:06:12.140 --> 00:06:16.970
který je minus 2, 7, 4.

00:06:16.970 --> 00:06:19.880
Takže vezmete determinant
téhle matice 3 na 3.

00:06:19.880 --> 00:06:21.350
A jak to udělat?

00:06:21.350 --> 00:06:26.000
No, tohle je rovno 
subdeterminantu pro i.

00:06:26.000 --> 00:06:28.910
Takže subdeterminant pro i,
zbavme se tohoto sloupce a tohoto řádku,

00:06:28.910 --> 00:06:30.880
determinant je to, co zbude,

00:06:30.880 --> 00:06:40.760
takže minus 6, 3, 7, 4 krát i
– možná si budete chtít zopakovat determinanty,

00:06:40.760 --> 00:06:42.430
pokud si nepamatujete, jak na to,

00:06:42.430 --> 00:06:47.770
ale možná si to vybavíte, 
zatímco to teď budu řešit.

00:06:47.770 --> 00:06:50.590
A pamatujte, je to plus, minus, plus.

00:06:50.590 --> 00:06:53.550
Takže minus subdeterminant pro j.

00:06:53.550 --> 00:06:55.500
Co je subdeterminant pro j?

00:06:55.500 --> 00:06:57.580
Můžete přeškrtnout řádky a sloupce pro j.

00:06:57.580 --> 00:07:05.055
Máte 5, 3, minus 2, 4.

00:07:05.055 --> 00:07:07.650
Právě jsme vyškrtli řádek a sloupec pro j.

00:07:07.650 --> 00:07:09.770
A cokoli zbude, půjde o čísla

00:07:09.770 --> 00:07:11.470
subdeterminantu.

00:07:11.470 --> 00:07:13.420
Tak tomu říkám.

00:07:13.420 --> 00:07:17.826
j plus 
– chtěl to udělat vše na jedné řádce,

00:07:17.826 --> 00:07:19.570
protože by to bylo elegantnější –

00:07:19.570 --> 00:07:20.840
plus subdeterminant pro k.

00:07:20.840 --> 00:07:23.290
Vyškrtnu řádek a sloupec pro k.

00:07:23.290 --> 00:07:35.010
Zbude nám 5, minus 6, minus 2 a 7 krát k.

00:07:35.010 --> 00:07:36.980
A teď je vypočítejme.

00:07:36.980 --> 00:07:39.290
Udělám si tu nějaký prostor,

00:07:39.290 --> 00:07:41.130
napsal jsem to moc velkým písmem.

00:07:41.130 --> 00:07:43.790
Nemyslím, že tohle 
ještě budeme potřebovat.

00:07:43.790 --> 00:07:46.460
Tak co dostaneme?

00:07:46.460 --> 00:07:49.400
Pojďme se přesunout sem nahoru.

00:07:49.400 --> 00:07:51.090
Tyhle determinanty 2 na 2
jsou snadné.

00:07:51.090 --> 00:07:58.690
Tohle je minus 6 krát 4,
minus 7 krát 3.

00:07:58.690 --> 00:08:00.180
Tady vždycky dělám hloupé chyby.

00:08:00.180 --> 00:08:09.820
Minus 24 minus 21 krát i
minus 5 krát 4 je 20,

00:08:09.820 --> 00:08:23.270
minus minus 2 krát 3, tedy minus minus 6 j,
plus 5 krát 7, 35

00:08:23.270 --> 00:08:25.640
minus minus 2 krát minus 6.

00:08:25.640 --> 00:08:29.930
Takže je to minus plus 12 k.

00:08:29.930 --> 00:08:34.330
Můžeme to zjednodušit, 
takže dostaneme minus 24 minus 21.

00:08:34.330 --> 00:08:40.830
To je minus 35 (SPRÁVNĚ 45)
– nemusel jsem to dávat do závorek – i

00:08:40.830 --> 00:08:43.720
a potom kolik je 20 minus minus 6?

00:08:43.720 --> 00:08:46.600
No, to je 20 plus 6, takže 26.

00:08:46.600 --> 00:08:47.590
A teď je tady minus.

00:08:47.590 --> 00:08:51.640
Takže minus 26 j.

00:08:51.640 --> 00:08:54.340
A tohle bylo 35 minus 12,
to je 23.

00:08:54.340 --> 00:08:57.190
Plus 23 k.

00:08:57.190 --> 00:08:58.690
Tak tohle je vektorový součin.

00:08:58.690 --> 00:09:00.880
A pokud byste to zakreslili
ve třech rozměrech,

00:09:00.880 --> 00:09:03.710
uvidíte 
– a to je to zajímavé –

00:09:03.710 --> 00:09:09.410
že vektor – pokud jsem to správně spočítal –
minus 35 i (45 i), minus 26 j,

00:09:09.410 --> 00:09:14.810
plus 23 k, je kolmý na oba tyto vektory.

00:09:14.810 --> 00:09:19.660
Myslím, že tady už skončím 
a uvidíme se v dalším videu.

00:09:19.660 --> 00:09:22.140
A snad najdu nějaký program
na vektorovou grafiku.

00:09:22.140 --> 00:09:25.880
Protože myslím, že to bude zábavné,
počítat jak skalární součin,

00:09:25.880 --> 00:09:29.130
tak vektorový součin pomocí metod,
které jsem vám právě ukázal,

00:09:29.130 --> 00:09:31.340
a zakreslit je, abych ukázal,
že to funguje.

00:09:31.340 --> 00:09:36.930
Že tenhle vektor je opravdu kolmý
na oba vektory

00:09:36.930 --> 00:09:40.420
a ukazuje ve směru,
který byste předpověděli

00:09:40.420 --> 00:09:41.980
pravidlem pravé ruky.

00:09:41.980 --> 00:09:43.990
Uvidíme se v příštím videu.