1
00:00:00,480 --> 00:00:03,330
Zatím, když jsme mluvili 
o skalárním a vektorovém součinu,

2
00:00:03,330 --> 00:00:05,480
zmínil jsem tuto definici:

3
00:00:05,480 --> 00:00:08,610
velikost krát kosinus nebo sinus

4
00:00:08,610 --> 00:00:09,710
úhlu mezi nimi.

5
00:00:09,710 --> 00:00:12,430
Ale co když tento vektor 
nemáte nakreslený?

6
00:00:12,430 --> 00:00:14,210
A co když není zadaný 
úhel mezi nimi?

7
00:00:14,210 --> 00:00:17,240
Jak spočítáte skalární a vektorový součin?

8
00:00:17,240 --> 00:00:19,980
No, napíšu vám definici z minula.

9
00:00:20,000 --> 00:00:26,710
Řekněme, že mám skalární součin „a tečka b“.

10
00:00:26,710 --> 00:00:31,290
To se rovná velikost a krát velikosti b

11
00:00:31,290 --> 00:00:34,200
krát kosinus úhlu mezi nimi.

12
00:00:34,200 --> 00:00:38,030
„a X b“ je rovno

13
00:00:38,030 --> 00:00:44,030
velikosti a krát velikost b 
krát sinus úhlu mezi nimi

14
00:00:44,030 --> 00:00:48,510
– tj. jejich kolmá projekce –
krát normálový vektor,

15
00:00:48,510 --> 00:00:51,350
který je kolmý na oba.
Jednotkový normálový vektor.

16
00:00:51,350 --> 00:00:55,310
Můžete zjistit,
který z dvou kolmých vektorů to je

17
00:00:55,310 --> 00:00:56,620
pravidlem pravé ruky.

18
00:00:56,620 --> 00:01:00,170
Ale co když nemáme ty „théty“,

19
00:01:00,170 --> 00:01:01,320
tj. úhly mezi nimi?

20
00:01:01,320 --> 00:01:04,300
Co když vám například řeknu,

21
00:01:04,300 --> 00:01:09,990
že vektor a 
– napíšu to v „inženýrské notaci“.

22
00:01:09,990 --> 00:01:12,090
V inženýrské notaci v zásadě jen

23
00:01:12,090 --> 00:01:16,270
rozložíme vektor na jeho složky x, y, z.

24
00:01:16,270 --> 00:01:23,580
Takže řekněme, že vektor a
je 5 i -- „i“ je jednotkový vektor

25
00:01:23,580 --> 00:01:33,900
ve směru osy x,
minus 6 j plus 3 k.

26
00:01:33,900 --> 00:01:38,290
i, j a k jsou prostě jednotkové vektory
podél směrů x, y, z.

27
00:01:38,290 --> 00:01:40,990
A 5 nám říká, jak velký je 
ve směru x.

28
00:01:40,990 --> 00:01:43,400
Minus 6 říká, jak velký je
ve směru y.

29
00:01:43,400 --> 00:01:45,890
A 3 říká, jak velký je
ve směru z.

30
00:01:45,890 --> 00:01:47,040
Můžete to zkusit nakreslit.

31
00:01:47,040 --> 00:01:48,960
A já teď opravdu hledám 
grafický nástroj,

32
00:01:48,960 --> 00:01:51,370
který by to zvládl,
abych vám to ve videu ukázal,

33
00:01:51,370 --> 00:01:52,360
kvůli názornosti.

34
00:01:52,360 --> 00:01:53,830
Ale řekněme, že máme jen tohle.

35
00:01:53,830 --> 00:02:00,100
A řekněme, že b
– já si ta čísla jen vymýšlím –

36
00:02:00,100 --> 00:02:06,260
řekněme, že je minus 2 i
– a samozřejmě jsme ve třech dimenzích –

37
00:02:06,260 --> 00:02:14,210
plus 7 j plus 4 k.

38
00:02:14,210 --> 00:02:15,300
Můžete to nakreslit.

39
00:02:15,300 --> 00:02:19,030
Ale samozřejmě, pokud byste dostali 
nějakou úlohu

40
00:02:19,030 --> 00:02:22,270
a snažili se modelovat
vektory v počítačové simulaci,

41
00:02:22,270 --> 00:02:23,510
dělali byste to takhle.

42
00:02:23,510 --> 00:02:25,690
Rozdělili byste si to 
na složky x, y a z

43
00:02:25,690 --> 00:02:26,780
ve smyslu sčítání.

44
00:02:26,780 --> 00:02:28,600
Musíte jen sečíst příslušné složky.

45
00:02:28,600 --> 00:02:31,210
Ale jak je navzájem vynásobíte,
ať už skalárně

46
00:02:31,210 --> 00:02:32,340
nebo vektorově?

47
00:02:32,340 --> 00:02:35,410
Ukazuje se,
– nebudu to dokazovat, jen ukážu, jak na to –

48
00:02:35,410 --> 00:02:37,760
že skalární součin je velmi jednoduchý

49
00:02:37,760 --> 00:02:39,330
v tomto zápisu.

50
00:02:39,330 --> 00:02:40,880
A vlastně další způsob zápisu

51
00:02:40,880 --> 00:02:42,360
je zápis pomocí závorek.

52
00:02:42,360 --> 00:02:46,955
Někdy to napíšete
jako 5, minus 6, 3.

53
00:02:46,955 --> 00:02:49,775
Nebo jen velikosti ve směrech x, y, z.

54
00:02:49,775 --> 00:02:52,760
Chci se jen ujistit, že jste se sžili

55
00:02:52,760 --> 00:02:54,270
s různými zápisy.

56
00:02:54,270 --> 00:02:57,360
Můžete zapsat vektor b
jako minus 2, 7, 4.

57
00:02:57,360 --> 00:02:58,380
Vždy jde o to samé.

58
00:02:58,380 --> 00:03:00,360
Neděste se, 
když vidíte různé zápisy.

59
00:03:00,360 --> 00:03:08,240
Ale stejně,
jak tedy spočítám „a tečka b“?

60
00:03:08,240 --> 00:03:10,670
Tohle vám myslím
bude připadat vcelku přijatelné.

61
00:03:10,670 --> 00:03:14,350
Vše, co musíte udělat,
je vynásobit složky i,

62
00:03:14,350 --> 00:03:17,080
k tomu přidat vynásobené složky j

63
00:03:17,080 --> 00:03:20,210
a potom k tomu 
přidat vynásobené složky k.

64
00:03:20,210 --> 00:03:32,870
Takže to bude 5 krát minus 2
plus minus 6 krát 7

65
00:03:32,870 --> 00:03:45,260
plus 3 krát 4, takže ve výsledku
minus 10 minus 42 plus 12.

66
00:03:45,260 --> 00:03:52,000
Takže je to minus 52 plus 12,
takže celkově minus 40.

67
00:03:52,000 --> 00:03:54,840
A je to. 
Je to prostě jen číslo.

68
00:03:54,840 --> 00:03:57,090
A vlastně bych to docela 
chtěl vidět nakreslené

69
00:03:57,090 --> 00:04:00,980
ve třech rozměrech
– proč je to minus 40.

70
00:04:00,980 --> 00:04:03,600
Musí mířit opačnými směry.

71
00:04:03,600 --> 00:04:06,060
A jejich vzájemné projekce
mají opačný směr.

72
00:04:06,060 --> 00:04:10,690
A proto dostaneme záporné číslo.

73
00:04:10,690 --> 00:04:13,030
Účel toho všeho
– nechci jít moc do hloubky –

74
00:04:13,030 --> 00:04:15,050
je ukázat, jak se to počítá,

75
00:04:15,050 --> 00:04:15,900
není to těžké.

76
00:04:15,900 --> 00:04:18,930
Jen vynásobíte složky x,

77
00:04:18,930 --> 00:04:21,309
přičtete to k vynásobeným složkám y

78
00:04:21,309 --> 00:04:23,450
a pak přičtete vynásobené složky z.

79
00:04:23,450 --> 00:04:25,710
Takže kdykoli dostanu úlohu
v inženýrském zápisu

80
00:04:25,710 --> 00:04:28,470
nebo závorkovém zápisu,
a mám spočítat skalární produkt,

81
00:04:28,470 --> 00:04:33,680
je to až téměř uklidňující
a ne moc náchylné k chybám.

82
00:04:33,680 --> 00:04:36,490
Ale, jak uvidíte,
počítat vektorový součin

83
00:04:36,490 --> 00:04:39,190
těchto dvou vektorů a v tomto zápisu

84
00:04:39,190 --> 00:04:41,490
není tak jednoduché.

85
00:04:41,490 --> 00:04:43,020
A chci, abyste si pamatovali,

86
00:04:43,020 --> 00:04:44,590
že dalším způsobem, jak to dělat,

87
00:04:44,590 --> 00:04:50,140
je určit velikost každého vektoru
a pak použít „fajnovou“ trigonometrii

88
00:04:50,140 --> 00:04:52,390
pro určení thét (úhlů)
a využít tuto definici.

89
00:04:52,390 --> 00:04:56,230
Ale myslím, že už chápete,
že dělat to takhle

90
00:04:56,230 --> 00:04:57,350
je mnohem jednodušší.

91
00:04:57,350 --> 00:04:59,140
Takže skalární součin
je vcelku zábavný.

92
00:04:59,140 --> 00:05:02,570
Teď se podívejme,
jestli zvládneme spočítat vektorový součin

93
00:05:02,570 --> 00:05:04,450
A znovu to nebudu dokazovat.

94
00:05:04,450 --> 00:05:06,230
Jen vám ukážu, jak na to.

95
00:05:06,230 --> 00:05:09,870
V nějakém budoucím videu
– jsem si jistý, že mě o to někdo požádá –

96
00:05:09,870 --> 00:05:11,710
ten důkaz předvedu.

97
00:05:11,710 --> 00:05:15,270
Ale vektorový součin, 
to je něco náročnějšího.

98
00:05:15,270 --> 00:05:18,210
A nikdy se netěším na počítání
vektorového součinu

99
00:05:18,210 --> 00:05:20,290
dvou vektorů v inženýrském zápisu

100
00:05:20,290 --> 00:05:23,780
a X b se rovná...

101
00:05:23,780 --> 00:05:27,530
Takže tady se používají matice.

102
00:05:27,530 --> 00:05:32,710
Spočítáme determinant.
Nakreslím velkou čáru determinantu.

103
00:05:33,080 --> 00:05:35,190
Tohle je vlastně jen způsob,

104
00:05:35,190 --> 00:05:37,090
kterým si to lépe zapamatujete.

105
00:05:37,090 --> 00:05:38,760
Nedá vám to do toho příliš vhled,

106
00:05:38,760 --> 00:05:41,690
ale vhled je skrytý v samotné definici.

107
00:05:41,690 --> 00:05:44,010
Jak moc jsou vektory navzájem kolmé,

108
00:05:44,010 --> 00:05:45,050
vynásobíte velikosti,

109
00:05:45,050 --> 00:05:47,210
pravidlo pravé ruky vám udá směr,

110
00:05:47,210 --> 00:05:48,360
ve kterém směřuje.

111
00:05:48,360 --> 00:05:51,380
Ale způsob, jak to dělat,
když používáte inženýrský zápis,

112
00:05:51,380 --> 00:05:55,383
napíšete na první řádek
jednotkové vektory i, j, k.

113
00:05:55,383 --> 00:05:59,840
i, j, k

114
00:05:59,840 --> 00:06:02,230
Pak zapíšete první vektor 
ve vektorovém součinu,

115
00:06:02,230 --> 00:06:03,560
protože na pořadí záleží.

116
00:06:03,560 --> 00:06:09,550
Takže je to 5, minus 6, 3.

117
00:06:09,550 --> 00:06:12,140
Pak vezmete druhý vektor,
který je b,

118
00:06:12,140 --> 00:06:16,970
který je minus 2, 7, 4.

119
00:06:16,970 --> 00:06:19,880
Takže vezmete determinant
téhle matice 3 na 3.

120
00:06:19,880 --> 00:06:21,350
A jak to udělat?

121
00:06:21,350 --> 00:06:26,000
No, tohle je rovno 
subdeterminantu pro i.

122
00:06:26,000 --> 00:06:28,910
Takže subdeterminant pro i,
zbavme se tohoto sloupce a tohoto řádku,

123
00:06:28,910 --> 00:06:30,880
determinant je to, co zbude,

124
00:06:30,880 --> 00:06:40,760
takže minus 6, 3, 7, 4 krát i
– možná si budete chtít zopakovat determinanty,

125
00:06:40,760 --> 00:06:42,430
pokud si nepamatujete, jak na to,

126
00:06:42,430 --> 00:06:47,770
ale možná si to vybavíte, 
zatímco to teď budu řešit.

127
00:06:47,770 --> 00:06:50,590
A pamatujte, je to plus, minus, plus.

128
00:06:50,590 --> 00:06:53,550
Takže minus subdeterminant pro j.

129
00:06:53,550 --> 00:06:55,500
Co je subdeterminant pro j?

130
00:06:55,500 --> 00:06:57,580
Můžete přeškrtnout řádky a sloupce pro j.

131
00:06:57,580 --> 00:07:05,055
Máte 5, 3, minus 2, 4.

132
00:07:05,055 --> 00:07:07,650
Právě jsme vyškrtli řádek a sloupec pro j.

133
00:07:07,650 --> 00:07:09,770
A cokoli zbude, půjde o čísla

134
00:07:09,770 --> 00:07:11,470
subdeterminantu.

135
00:07:11,470 --> 00:07:13,420
Tak tomu říkám.

136
00:07:13,420 --> 00:07:17,826
j plus 
– chtěl to udělat vše na jedné řádce,

137
00:07:17,826 --> 00:07:19,570
protože by to bylo elegantnější –

138
00:07:19,570 --> 00:07:20,840
plus subdeterminant pro k.

139
00:07:20,840 --> 00:07:23,290
Vyškrtnu řádek a sloupec pro k.

140
00:07:23,290 --> 00:07:35,010
Zbude nám 5, minus 6, minus 2 a 7 krát k.

141
00:07:35,010 --> 00:07:36,980
A teď je vypočítejme.

142
00:07:36,980 --> 00:07:39,290
Udělám si tu nějaký prostor,

143
00:07:39,290 --> 00:07:41,130
napsal jsem to moc velkým písmem.

144
00:07:41,130 --> 00:07:43,790
Nemyslím, že tohle 
ještě budeme potřebovat.

145
00:07:43,790 --> 00:07:46,460
Tak co dostaneme?

146
00:07:46,460 --> 00:07:49,400
Pojďme se přesunout sem nahoru.

147
00:07:49,400 --> 00:07:51,090
Tyhle determinanty 2 na 2
jsou snadné.

148
00:07:51,090 --> 00:07:58,690
Tohle je minus 6 krát 4,
minus 7 krát 3.

149
00:07:58,690 --> 00:08:00,180
Tady vždycky dělám hloupé chyby.

150
00:08:00,180 --> 00:08:09,820
Minus 24 minus 21 krát i
minus 5 krát 4 je 20,

151
00:08:09,820 --> 00:08:23,270
minus minus 2 krát 3, tedy minus minus 6 j,
plus 5 krát 7, 35

152
00:08:23,270 --> 00:08:25,640
minus minus 2 krát minus 6.

153
00:08:25,640 --> 00:08:29,930
Takže je to minus plus 12 k.

154
00:08:29,930 --> 00:08:34,330
Můžeme to zjednodušit, 
takže dostaneme minus 24 minus 21.

155
00:08:34,330 --> 00:08:40,830
To je minus 35 (SPRÁVNĚ 45)
– nemusel jsem to dávat do závorek – i

156
00:08:40,830 --> 00:08:43,720
a potom kolik je 20 minus minus 6?

157
00:08:43,720 --> 00:08:46,600
No, to je 20 plus 6, takže 26.

158
00:08:46,600 --> 00:08:47,590
A teď je tady minus.

159
00:08:47,590 --> 00:08:51,640
Takže minus 26 j.

160
00:08:51,640 --> 00:08:54,340
A tohle bylo 35 minus 12,
to je 23.

161
00:08:54,340 --> 00:08:57,190
Plus 23 k.

162
00:08:57,190 --> 00:08:58,690
Tak tohle je vektorový součin.

163
00:08:58,690 --> 00:09:00,880
A pokud byste to zakreslili
ve třech rozměrech,

164
00:09:00,880 --> 00:09:03,710
uvidíte 
– a to je to zajímavé –

165
00:09:03,710 --> 00:09:09,410
že vektor – pokud jsem to správně spočítal –
minus 35 i (45 i), minus 26 j,

166
00:09:09,410 --> 00:09:14,810
plus 23 k, je kolmý na oba tyto vektory.

167
00:09:14,810 --> 00:09:19,660
Myslím, že tady už skončím 
a uvidíme se v dalším videu.

168
00:09:19,660 --> 00:09:22,140
A snad najdu nějaký program
na vektorovou grafiku.

169
00:09:22,140 --> 00:09:25,880
Protože myslím, že to bude zábavné,
počítat jak skalární součin,

170
00:09:25,880 --> 00:09:29,130
tak vektorový součin pomocí metod,
které jsem vám právě ukázal,

171
00:09:29,130 --> 00:09:31,340
a zakreslit je, abych ukázal,
že to funguje.

172
00:09:31,340 --> 00:09:36,930
Že tenhle vektor je opravdu kolmý
na oba vektory

173
00:09:36,930 --> 00:09:40,420
a ukazuje ve směru,
který byste předpověděli

174
00:09:40,420 --> 00:09:41,980
pravidlem pravé ruky.

175
00:09:41,980 --> 00:09:43,990
Uvidíme se v příštím videu.