log_3 (27x)를 간단화하는 문제입니다
솔직히 이미 꽤 간단한 형태지만
로그의 몇 가지 성질을 이용해
실제로는 조금 더 복잡해 보이는 형태로
바꾸라는 문제인 것 같습니다
한 번 해 봅시다
로그의 성질이 떠오릅니다
이 식은
3을 몇 번 거듭제곱하면 27x가 되냐는 의미입니다
27x는 27 곱하기 x이므로
처음 적용할 로그의 성질은
log_b (a*c)
이 식을 변형하면
log a 더하기 log c가 된다는 것입니다
이 결과는 지수적 성질에서 바로 유추할 수 있습니다
밑이 같은 지수식 두 개가 있으면
그 두 식을 더할 수 있습니다
좀 더 분명히 설명드리겠습니다
이 부분이 헷갈리신다면
이를 적용하는 게 주요 해결방법일 것입니다
직관적으로 이해한다면 더 좋겠지만 말입니다
log_b (a*c)=x라고 두겠습니다
여기 이 부분이 x이고
이 부분이 y라고 하면
즉 log_b a=y입니다
그리고 이 부분이 z라고 합시다
log_b c는 z입니다
이제 알 수 있는 것은
여기 이 부분이
의미하는 것이
b의 x제곱이 a*c라는 것입니다
이제 이 부분은
b^y=a라는 것을
그리고 이 부분은
b^z=c라는 것을 의미합니다
똑같이 초록색으로 쓰겠습니다
이 식들은 항등식입니다
똑같은 사실을 지수식으로 쓰느냐
즉 지수방정식으로 쓰느냐
로그방정식으로 쓰느냐의 문제입니다
b^z=c입니다
이 두 식은 같은 식이고
이것도 같은 식이며
즉 같은 의미를 다르게 표현한 것입니다
이 두 식 역시 그렇습니다
여기서 우리가
a가 b^y라는 것을 알기 때문에
그리고 c가 b^z라는 것을 알기 때문에
이렇게 쓸 수 있습니다
b^x는 b^y 더하기
즉 a입니다
곱하기 b^z입니다
그리고 지수적 성질로부터
b^y*b^z는
다음 식과 같습니다
b의, 아 다른 색깔로 하겠습니다 b^(y+z)입니다
지수적 성질로부터 말입니다
b^(y+z)가 b^x와 같으므로
x=y+z입니다
만약 헷갈리시더라도 너무 걱정하지 마십시오
중요한 것은, 적어도 첫 번째로 중요한 것은
이걸 적용할 수 있느냐는 것입니다
조금 더 생각해 보면 숫자에도 적용할 수 있을 것입니다
로그가 지수와 같다는 것을 깨달아야 합니다
많은 사람들이 무슨 의미냐고 질문하곤 합니다
로그를 계산하는 것은
b를 얼마나 거듭제곱해야 a*c가 되느냐는 문제입니다
일단 이 성질을 적용해 봅시다
만약 이 성질을 적용하면
log_3 (27*x)는
log 27 + log x와 같습니다
이 값을 계산할 수 있습니다
3을 몇 번 거듭제곱해야 27이 되나요?
3의 ?제곱이 27입니다
3의 세제곱이 27이라는 것을 알 수 있습니다
3곱하기 3은 9, 3을 한 번 더 곱하면 27이 됩니다
즉 이 값은 3이 됩니다
그래서 간단히 하면
이게 간단한 건지는 모르겠지만 말입니다
로그의 성질을 적용해 전개하면
처음에 한 개의 항이었는데 두 개의 항이 되었습니다
만약 이 모습으로 시작했으면 이 문제가 더 간단한 모습인 것 같습니다
다시 써 보면 첫 항은 3이 되고
더하기 log_3 x가 됩니다
처음의 식을 나타내는 다른 방법입니다
log_3 (27x)
다시 말씀드리지만 간단한 식이라기보다는
로그의 성질을 이용한 다른 형태입니다