இந்தக் காணொளியில் பெருக்கல் என்றால் என்ன என்பதைப் பார்ப்போம்.
முதலில் பெருக்கலின் அடிப்படை என்ன....?
அதை வார்த்தைகளில் விளக்குவதற்குப் பதிலாக
சில எடுத்துக்காட்டுகளின் மூலமாக மட்டுமே
நாம் சரியாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும்.
இந்த முதல் எடுத்துக்காட்டில் மூன்றை இரண்டால் பெருக்குகிறோம்.
உங்களுக்கு 2 கூட்டல் 3 என்றால் தெரியும், இல்லையா...?
2 + 3 என்பது
ஐந்து என்று தெரியும்.
இருந்தாலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பார்த்தால் நல்லது தானே.
நம்மிடம்
இரண்டு செர்ரி பழங்கள் உள்ளன. செர்ரியின் சுவை நாக்கில் நீர் ஊறச் செய்கிறது.......
இரண்டு செர்ரியுடன் மூன்று பெர்ரிகளைக் கூட்டினால்
மொத்தம் எத்தனை பழங்கள் இருக்கும்?
நீங்கள் கூறலாம், 1, 2, 3, 4, 5 என்று
அல்லது நம்மிடம் எண் வரிசை இருந்தால்,
இதனை மீண்டும் சரிபார்க்க வேண்டி இருக்காது.
கணக்கு விதிகளைச் சரிபார்க்கத் தேவையில்லை.
இது 0, 1, 2, 3, 4, 5..
நீங்கள் 0-வின் வலது பக்கம் இரண்டு இடம் தள்ளி இருந்தால்,
நாம் நேர்மறைப் பகுதிக்குச் சென்றிருக்கிறோம் என்று பொருள்.
அதனுடன் மேலும் மூன்றைக் கூட்ட வேண்டுமென்றால்,
வலது பக்கமாக மூன்று நிலைகள் கடந்து செல்ல வேண்டும்.
முன்னர் கூறியது போல, வலது பக்கம் மூன்று நிலை கடந்து சென்றால்
எங்கே முடிவடையும்?
ஒன்று, இரண்டு, மூன்று.
நாம் ஐந்தில் இருப்போம்.
எனவே, எந்த முறையில் கணக்கிட்டாலும் 2 + 3 என்பது 5 தான்.
சரி, இப்போது பெருக்கலைப் பார்ப்போம். 3 பெருக்கல் இரண்டு என்பது எத்தனை?
பெருக்குவதற்கு மற்றொரு எளிய முறை
ஒவ்வொன்றாகக் கூட்டிக் கொண்டே போவது தான்.
இது சற்று குழப்பமாக இருக்கிறதா...?
இரண்டு பெருக்கல் மூன்று என்கிற போது மூன்றுடன் இரண்டைக் கூட்டப்போவதில்லை.
மாறாக..... மூன்று முறை இரண்டைச் சேர்த்துக் கொண்டே போகிறோம்.
உண்மையில் இதற்கு இரண்டு முறைகள் உண்டு.
நாம் இரண்டை மூன்று முறை கூட்டுகிறோம். அவ்வளவு தான்.
அப்படியானால் இதற்குப் பொருள் என்ன..?
அதாவது இரண்டு கூட்டல் இரண்டு, கூட்டல் இரண்டு என்பது தான்.
இப்பொழுது மூன்று என்ன ஆயிற்று...? மூன்றிற்கு எதுவும் ஆகவில்லை.
இரண்டுகள் மூன்று மடங்காகி இருக்கிறது இல்லையா.....
அந்த மடங்கு என்பதற்குள் ஒளிந்திருக்கிறது மூன்று.
நம்மிடம் உள்ள இரண்டுகள், மூன்று.
சரி எண்ணிப் பார்த்து விடுவோம்.
அதாவது இந்த ப்ளுபெர்ரிகளை எண்ணுவதைப் போல.
நம்மிடம் 1, 2, 3 ப்ளுபெர்ரிகள் உள்ளன.
அதேபோல 1, 2, 3 இரண்டுகள் உள்ளன.
இப்போது புரிகிறதா மூன்று என்ன ஆனது என்று.
இதுதான் பெருக்கலுக்குரிய அர்த்தம்.
நாம் இரண்டை மூன்று முறை எடுத்து ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக அடுக்கிக் கொண்டே போகிறோம்.
2 + 2 என்பது 4,
4 + 2 என்பது 6.
பெருக்கலில் இதுவொரு முறை.....
மற்றொரு முறை என்னவென்றால்,
2-ஐ மூன்று முறை கூட்டுவதற்கு பதிலாக
மூன்று எனும் எண்ணை இரண்டு முறை கூட்டுவது.
என்ன குழப்பமாக இருக்கிறதா...?
வெறுமனே சொன்னால் குழப்பம் தான் மிஞ்சும். சற்று பொறுங்கள் கணக்கிட்டுப் பார்த்து புரிந்து கொள்வோம்.
சொன்னதை எழுத்தால் எழுதிக் கொண்டால் நல்லது.
2 பெருக்கல் 3,
இதனை நாம் 3 பெருக்கல் 2 என்றும் எழுதலாம்.
ஆக, மூன்று கூட்டல் மூன்று.
அட்டே இப்போது நம்மிடம் இருந்த இரண்டிற்கு என்ன ஆயிற்று.....? பயப்பட வேண்டாம் இருங்கள் பார்ப்போம்.
மூன்று, மூன்று..... இரண்டு இங்கே மூன்றின் இரண்டு மடங்காக இருக்கிறது.
இங்கே மூன்றின் மடங்கிற்குள் ஒளிந்து கொண்டிருக்கிறது இரண்டு.....
நாம் இதனை செர்ரி என்று வைத்துக் கொண்டோம் இல்லையா...?
நம்மிடம் இந்த இரண்டு செர்ரி உள்ளது. அடுத்து மூன்று செர்ரி உள்ளது
நம்மிடம் இருந்த இரண்டும் மறைந்து போகவில்லை. மூன்றும் மறைந்து போகவில்லை.
அந்த இரண்டையும் கூட்டினால், ஐந்து கிடைக்கும்.
ஆனால், நாம் இங்கே பார்ப்பது பெருக்கல் கணக்கு. அதாவது 2 பெருக்கல் 3
வேறு முறையில் சொன்னால் 3 கூட்டல் 3.
நமக்குத் தெரியும் மூன்றின் மடங்கு அளவில் இருக்கிறது இரண்டு.
மூன்றை கூட்டுகிற முறை இருக்கிறதே அதுதான் இரண்டு.
இதில் சுவாரஸ்யம் என்னவென்றால் எப்படியும் மாற்றிக் கூறலாம்.
இதனை 2 + 2 + 2 என்றும் கூறலாம்
அல்லது மூன்றை இரண்டு முறை பெருக்கலாம்.
எந்த முறையில் கணக்கிட்டாலும் கிடைப்பது ஒரே விடை தான்.
மூன்று கூட்டல் மூன்று என்கிற போது கிடைக்கிற விடை என்ன?
ஆறு ஆகும். இரண்டு பெருக்கல் மூன்று என்பதும் ஆறு தான்.
இது சிக்கலில்லாத கணக்கு.
தெளிவான விடையைக் காண்கிறோம்.
எந்த வழியில் சென்றாலும்,
நாம் அடைகிற விடை, ஒன்று தான்.
இரண்டு பேர் இதனை வேறு வேறு விதமாகக் காட்சி படுத்தினாலும்,
இரண்டுமே சரியானது தான்.
விடை ஒன்றாகவே இருக்கும்.
இந்த முறை எப்படி உதவிகரமாக இருக்கும்....?
எப்படி உதவிகரமாக இருக்கும்...என்றால்,
இது எண்ணிக் கொண்டிருக்கிற வேலையை எளிதாக்கும்.
உதாரணமாக,
நமது பழ எடுத்துக் காட்டையே பார்க்கலாம்.
கணக்கு விசயத்தில் எடுத்துக் காட்டுகள் நல்ல பலனைத் தரும்.
சரி இப்போது பழ எடுத்துக்காட்டினைப் பார்ப்போம். ,
நம்மிடம் எலுமிச்சை இருக்கிறது.
சில எலுமிச்சைகளை வரைந்து கொள்வோம்.
ஒரு வரிசைக்கு மூன்று பழம் என்று வரையலாம்.
மேலும் சில கொத்து எலுமிச்சைகளை வரைந்து கொள்ளலாம்.
சரி, மொத்தம் எத்தனை எலுமிச்சைகள் இருக்கின்றன என்று எண்ணிப் பார்க்கலாம்.
இதில், 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 எலுமிச்சைகள் உள்ளன.
எத்தனை இருக்கின்றன என்பது இப்போது தெரிந்து விட்டது.
இதில் உள்ளது 12 எலுமிச்சைகள்.
ஆனால் இவற்றை ஒவ்வொன்றாக எண்ணிக் கொண்டிருப்பதற்குப் பதிலாக
எளிய வழி ஒன்று இருக்கிறது.
இங்கே ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் எத்தனை எலுமிச்சைகள் உள்ளன.
சொல்ல வேண்டியதில்லை. உங்களுக்கே தெரியும் மூன்று......
ஒரு வரிசைக்கு மூன்று.
அடுத்து ஒரு கேள்வி?
இதில் எத்தனை வரிசைகள் உள்ளன?
இது ஒன்று, இரண்டு,
இது மூன்றாவது, இது நான்காவது மொத்தம் நான்கு வரிசைகள்.
ஒரு வரிசைக்கு மூன்று எலுமிச்சைகள் வீதமாக நான்கு வரிசைகள்.....
மொத்த எலுமிச்சைகளைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்....?
ஆம் சரியாகச் சொன்னீர்கள்.....
வரிசையில் உள்ள பழங்களின் எண்ணிக்கையை
வரிசைகளின் எண்ணிக்கையான நான்கால் பெருக்கினால்
விடை கிடைத்து விடும்.
ஆம்.... நான்கு பெருக்கல் மூன்று எவ்வளவு...?
பன்னிரண்டு...... இதுதான் மொத்த எலுமிச்சம் பழங்களின் எண்ணிக்கை.
நம்முடைய கூட்டல் முறையில் பார்த்தாலும் இதே 12 விடையாகக் கிடைக்க வேண்டும்.
நான்கு பெருக்கல் மூன்று,
நான்கு பெருக்கல் மூன்று என்று வாயால் சொல்வதற்குப் பதிலாக
காட்சிபடுத்தி விடலாம்.
நான்கு முறை மூன்று என்றால்
ஆக, நான்கு பெருக்கல் மூன்று.
மூன்று கூட்டல் மூன்று கூட்டல் மூன்று கூட்டல் மூன்று.
நான் இவ்வாறு கூட்டினால் என்ன கிடைக்கும்,
மூன்று கூட்டல் மூன்று என்பது ஆறு ஆகும்.
6 + 3 என்பது 9,
9 + 3 என்பது 12.
இந்தக் காணொளியில் நாம் பெருக்கலை கற்றுக் கொண்டோம்.
பெருக்கலை நாம் மூன்று பெருக்கல் நான்கு என்று கூறலாம்.
நாம் இந்த வரிசையை மாற்றியும் அமைத்துக் கொள்ளலாம்.
பெருக்கலில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான பண்பு என்னவென்றால்
பெருக்கலின் கூறுகள் தான்.
நாம் இதனை மூன்று முறை நான்கு என்று எழுதலாம்.
நான்கு கூட்டல் நான்கு கூட்டல் நான்கு, என்று
நான்கை மூன்று முறை கூட்டிக் கொள்ளலாம்.
நான்கு கூட்டல் நான்கு என்பது எட்டு.
எட்டு கூட்டல் நான்கு என்பது 12.
பொதுவாக மூன்று பெருக்கல் நான்கு என்பதே எளிதாக இருக்கும்.
ஆனால் சிலர்
அவர்கள் கற்ற ஆங்கில முறைப்படி
இதனை நான்கு மூன்றுகள் அல்லது மூன்று நான்குகள் என்று கூறுவார்கள்.
அவர்களது பெருக்கலின் இயல்பே அதுதான்.
முதல் முறையாக அப்படிக் கேட்கும் பொழுது குழப்பமாகத் தோன்றலாம்,
ஆனால் அவர்கள் இந்த பெருக்கல்
கணக்கை எழுதும் பொழுது,
நான்கு மூன்றுகள் என்று கூறினால்
நேரடியாக இப்படித் தான் பொருள்படும்.
ஒரு மூன்று, இது இரண்டாவது மூன்று, இது மூன்றாவது, இது நான்காவது.
ஆக, நான்கு மூன்றுகளை கூட்டினால் என்னவாகும்?
இது 12 ஆகும்.
நாம் இதனை, மூன்று நான்குகள் என்றும் கூறலாம்.
அதன் மதிப்பு மாறாது.
இதை வேறு நிறத்தில் குறித்துக் கொள்ளலாம்.
இது நான்கு மூன்றுகள்.
நான்கு மூன்றுகள் என்று எழுதி, பிறகு
அதனை கூட்டினால் என்னவாகும்?
அதாவது 4 பெருக்கல் 3,
அல்லது மூன்று, நான்குகள் ஆகும்.
இதனை வேறு வண்ணத்தில் குறிப்போம்.
இது மூன்று நான்குகள்.
இதனை மூன்று முறை நான்கு என்றும் எழுதலாம்.
இவை அனைத்தின் விடையும் 12 தான்.
இங்கே நாம் கற்றுக் கொண்ட பெருக்கல் கணக்கு
மிகவும் அருமையானது இல்லையா...?
இந்த எலுமிச்சைகள் ஒவ்வொன்றாக எண்ணிக் கொண்டிருப்பதை விட
கணக்கை செய்வதற்குக் குறைவான நேரமே ஆகும்.
நாம் பெருக்கலின் சிறப்பான பயிற்சி பெற வேண்டுமென்றால்
வரிசையில் மூன்று எலுமிச்சைக்குப் பதிலாக
நூறு எலுமிச்சைகள் கூட வைத்துக் கொள்ளலாம்.
அல்லது 100 வரிசைகள் இருக்கலாம்.
அப்போது ஒவ்வொன்றாக எண்ணிப் பார்ப்பது கடினமாகத் தோன்றுவதால் பெருக்கல் கணக்கின் வசதி புரியும்.
அதில் பெருக்கல் செய்வது சுலபமானது.
நூறுகளை எப்படிப் பெருக்குவது என்று இப்பொழுது நாம் பார்க்கப் போவதில்லை.
எண்ணிக்கையைப் பார்த்து பயப்படத் தேவையில்லை.
எளிய தந்திரத்தைக் கையாண்டு மிக வேகமாகக் கணக்கிட்டு விடலாம்.
எத்தனை பெரிய எண்ணையும் சிறிய எண் கொண்டு பெருக்குவது சுலபமானது தான்.
உதாரணமாக 100 பெருக்கல் 1
விடை 100 தான்.
1 பெருக்கல் 39
அதுவும் 39 தான்.
இப்பொழுது பெரிய எண்களைப் பார்த்து நாம் அச்சம் கொள்ளத் தேவையில்லை என்பது புரிந்திருக்கும்.
பெருக்கலில் சுவாரஸ்யமான ஒரு விஷயம் என்னவென்றால்,
நாம் ஒரு எண்ணை பூஜ்யத்தால் பெருக்கினால் என்னவாகும்?
இதனை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பார்க்கலாம்.
3 + 0 என்பது
தெரியும் இல்லையா.... மூன்று.
ஏனெனில் நாம் மூன்றை மதிப்பு இல்லாத பூஜ்ஜியத்துடன் பெருக்குகிறோம்.
உங்களிடம் மூன்று ஆப்பிள் இருக்கிறது.
உங்களுக்கு மேலும் 0 ஆப்பிள் கொடுத்தால்,
உங்களிடம் மொத்தம் மூன்று ஆப்பிள்கள் தானே இருக்கும்.
நாம் வேறு எண்ணை பயன்படுத்திப் பார்க்கலாம்.
நான்கு பெருக்கல் பூஜ்யம் என்றால் என்ன?
இது பூஜ்யத்தை நான்கு முறை பெருக்குவதற்குச் சமம் இல்லையா...?
அதாவது 0 + 0 + 0 + 0,
அப்படியென்றால் அதன் விடையும் பூஜ்ஜியம் தான்.
சரியா?
இதனை வேறு முறையில் சொன்னால்....
நான்கு முறை பூஜ்ஜியம் எனலாம்.
நான்கை முறை பூஜ்யத்தை எவ்வாறு எழுதுவது?
நாம் ஏதோ ஒன்றை எழுதி விட முடியாது.
ஏனெனில், நான் எது எழுதினாலும்,
கணக்கு மொழியில் அதற்கு முக்கியத்துவம் இருக்கிறது.
இப்படித் தான் எழுத முடியும்.
இது நான்கு பூஜியங்கள்.
இதனை பூஜ்யம் நான்குகள் என்றும் எழுதலாம்.
ஆனால், பூஜ்யம் நான்குகள் என்றால் என்ன?
இங்கே நான்கு ஏதும் இல்லை.
இது வெறும் வெற்றிடம்.
அடுத்து இன்னொரு சுவாரஸ்யம் இருக்கிறது.
பூஜ்யம் முறை பூஜ்யம் என்றால் என்ன? அதன் மதிப்பும் பூஜ்ஜியம் தான்.
நான் ஒரு பெரிய எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்.
5499692 பெருக்கல் 0
இதன் விடை என்ன?
இது 0 தான்
சரி, அப்படியென்றால்,
இந்த எண் பெருக்கல் ஒன்று என்றால் என்ன?
அது இந்த எண் தான்.
பூஜ்யம் பெருக்கல் 17 என்றால் என்ன?
மீண்டும், நமக்குக் கிடைப்பது பூஜ்யம் தான்.
ஒரு பெருக்கல் கணக்கிற்கு நாம் நீண்ட நேரம் எடுத்துக் கொண்டோம். என்றாலும் பெருக்கலின் அடிப்படை நமக்கு நன்றாகப் புரிந்து விட்டது.
சரி, அடுத்த காணொளியில் பார்க்கலாம்.