ચાલો ગુણાકાર કરતા શીખીએ.
ગુણાકાર.અને કઇપણ કરવા માટેની સૌથી સારી રીત મને લાગે છે કે
તે દાખલા કરવા એ છે. અને પછી
દાખલાઓ પર ચર્ચા કરવી
અને તેનો મતલબ શુ થાય તે શોધવાનો પ્રયત્ન કરવો. મારા પ્રથમ દાખલામા મારી પાસે ૨ ગુણ્યા ૩ છે.
હવે તમે કદાચ જાણતા હશો કે ૨ વત્તા ૩ એટલે કેટલા થાય.
૨ વત્તા ૩.
તે ૫ બરાબર થાય.અને જો
તમને થોડી નિરીક્ષણ ની જરૂર હોય તો, તમે વિચારી શકો છો કે
જો મારી પાસે બે-- ધારો કે -- ૨ કિરમજી--
-- ચેરી.
અને હુ તેમા ૩ જામફળ ઉમેરવા માગુ છુ.
તો હવે મારી પાસે કેટલા ફળ હોય?
અને તમે કેહશો, અરે, એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ.
અથવા તે રીતે, જો મારી પાસે આપણી સંખ્યા રેખા હોય,અને તમને કદાચ આ નિરીક્ષણ ની જરુર ના હોય, પણ તે કઈ નુકશાન નહિ કરે.
જ્ઞાન ને પાકું કરવામાં કઈ વાંધો નથી.
અને આ શુન્ય, એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ છે.
જો તમે ૦ થી બે અંતર દુર બેઠા છો.અને સામાન્ય રીતે જ્યારે આપણે સરવાળો કરીયે ત્યારે આપણે જમણી બાજુ જઇએ છીએ.
અને જો તમે તેમા ત્રણ ઉમેરો તો,
તો તમે જમણી બાજુ ત્રણ સ્થાન જશો.
તેથી જો હુ કહુ, જો હુ ફક્ત ત્રણ સ્થાન જમણી બાજુ ખસ્યો.
તો હું ક્યાં પહોંચું?
એક, બે, ત્રણ.- હું પાંચ પર પહોંચું.
તેથી બે માથી કોઇ રીતે, તમને સમજ પડી કે બે વત્તા ત્રણ એ પાચ બરાબર થાય.
તો ૨ ગુણ્યા ૩ કેટલા થાય?
કોઇ ગુણાકાર માટેની સરળ રીત
સરવાળા ઉપર સરવાળા કરવાની છે.
તેથી તમારો મતલબ, અને તે થોડુ મુશ્કેલ છે.
તમારે ૨ ને ૩ મા ઉમેરવાના નથી.તમારે ઉમેરવાના છે કે --
અને તે વિચારવા માટેની બે રીત છે.
તમે ૨ માં ૨ ને ૩ વાર ઉમેરશો.
હવે તેનો મતલબ શુ થાય?
સારુ, તેનો મતલબ તમે કહેશો ૨ વત્તા ૨ વત્તા ૨.
હવે ત્રણ ક્યા ગયા?
સારુ, આપણી પાસે ત્યા કેટલા બે છે?
ચલો જોઇએ, મારી પાસે-- આ એક બે, મારી પાસે બે બે,
મારી પાસે ત્રણ બે છે.
હુ અહિ સંખ્યા ગણી રહ્યો છુ.
જે રીતે મે ઉપર જામફળની ગણતરી કરેલી.- મારી પાસે એક, બે, ત્રણ જામફળ છે.
મારી પાસે એક, બે, ત્રણ બે છે.
તેથી આ ત્રણ એટલે મારી પાસે કેટલા બે છે તે છે.
તો ૨ ગુણ્યા ૩ શુ થાય?
સારુ, મે બે લિધા અને તેને તેમા જ ત્રણ વખત ઉમેર્યા.
તેથી બે વત્ત્તા બે એ ચાર.
ચાર વત્તા બે બરાબર છ થાય.
તો આને વિચારવાની આ એક રીત થયી.
બીજી રીત જે આપણે વિચારી શક્ય હોત તે એ છે કે,
બે ને તેમા જ ત્રણ વખત ઉમેરવાને બદલે,
આપણે ત્રણ ને જ તેમા બે વખત ઉમેરી શકીએ.અને મને ખબર છે કે આ કદાચ થોડુ મુંઝવણ ભરેલુ હશે.
પરંતુ તમે વધારે મહવરો કરશો તો તમને સમજ પડ્શે.
તેથી અહિ ઉપરનુ વાક્ય, મને અહિ ફરીથી લખવા દો.બે ગુણ્યા ૩.
તેને આ રીતે પણ લખી શકાય કે બે વખત ત્રણ.
તેથી ૩ વત્તા ૩.
અને ફરી એક વાર, તમને એમ થતું હશે કે , આ બે ક્યા ગયા?
તમે જાણો છો, મારી પાસે બે ગુણ્યા ત્રણ હતા.
અને જ્યારે તમે સરવાળો કરો છો, તમે જોશો મારી પાસે-- અરે હુ તે નથી જણતો--સારુ, મે ચેરી કહેલ, પરંતુ તેઓ રાસબરી કે બિજુ કઇ બી હોઇ શકે છે.
અને પછી મારી પાસે બે વસ્તુ છે, મારી પાસે ત્રણ વસ્તુ છે.અને બે અને ત્રણ ક્યરેય અદ્ર્શ્ય નહિ થાય..
અને મે તે બધાને ઉમેર્યા, મને પાચ મળ્યા.
પરંતુ હુ અહિ કહી રહ્યો છુકે બે ગુણ્યા ત્રણ
એ ૩ વત્તા ૩ ની સમાન જ છે.
૨ ક્યા જતાં રહ્યા?
અહિ, આ કિસ્સા મા, ૨ એ
એવુ કહે છે કે હુ ત્રણને કેટલી વખત ત્રણ માં જ ઉમેરીશ.
પરંતુ રસપ્રદ છે કે, હુ તેને બે ગુણ્યા ૩ ને કેવી રીતે દર્શાવવુ.
હુ તેને ૨ વત્તા ૨ વત્તા ૨ વત્તા ,
એટલે કે ૨ ને ૨ માં જ ૩ વખત ઉમેરવા એમ કહી શકું.
હુ તેનો અર્થ એ રીતે કરી શકુ અથવા હુ તેને
૩ ને ૩ માં ૨ વાર ઉમેરવાના એમ પણ કરી શકુ.
પરંતુ ધ્યાન રાખો, મને બંને વખત સમાન જ જવાબ મળ્યો.૩ વત્તા ૩ શુ થાય?
તે ૬ બરાબર થાય.
અને કદાચ ગણિત મા આ પહેલી જ વાર છે કે
તમને કઇક પાક્કો જવાબ મળ્યો!
કેટલીક વાર, તમે કોઈ પણ રીતે દાખલો ગણો,
તમને સરખો જ જવાબ મળે, જો તમે સાચી રીતે દાખલો ગણો તો.
તેથી બે વ્યક્તિ એક વસ્તુ ને બે જુદી જુદી
રીતે જુએ , પરંતુ તેઓનો જવાબ સમાન જ આવે છે.
અને તેથી તમે કદાચ કહી રહ્યા હશો કે ,
ગુણાકાર ક્યારે ઉપયોગી હોય છે?
તોએનો જવાબ છે કે, ઘણી વાર તે ગણતરી ને સરળ બનાવે છે.
તેથી ચલો ધારો કે મારી પાસે--
ચલો આપણી ફળ ની રીત ને જ વળ્ગ્યા રહીએ.
સામ્યતા એ માત્ર જ્યારે તમે ઘણી વાર ઉપયોગ કરો છો તે--
સારુ, હુ તેમા બહુ નહી જાઉ.
પરંતુ આપણો ફળનો દાખલો લઈએ.ચલો ધારો કે મારી પાસે લીંબુ છે.
ચલો મને થોડા લીંબુ દોરવા દો.
હુ તેમને ત્રણ હાર મા દોરીશ.તેથી મારી પાસે એક, બે, ત્રણ-- સારુ, હુ તેમને નથી ગણતો
કારણ કે તે આપણને દાખલા નો જવાબ આપી દેશે.
હુ ફક્ત થોડા લીંબુ દોરુ છુ.
હવે, જો હુ કહુ, તમે મને કહો કે અહિ કેટલા લીંબુ છે.
અને જો મે તે પૂછ્યું હોય તો,તમે બધા લીંબુ ગણવા માંડશો.
અને તે એવુ કેહવામા બહુ સમય નહિ લે, કે
તે એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાચ, છ, સાત, આઠ, નવ, દસ, અગીઆર, બાર લીંબુ છે.
મે તમને ખરેખર જવાબ આપી દીધો છે.આપણે જાણીએ છીએ કે તે ૧૨ લીંબુ છે.
પરંતુ લીંબુ ગણવા માટેની એક બીજી સરળ અને ઝડપી રીત છે.
જુઓ અહીં દરેક હાર મા કેટલા લીંબુ છે?
અને હાર(હરોળ) એટલે બાજુ થી બાજુ.
મારા ખ્યાલથી તમે જાણે છો કે હાર (હરોળ) શુ છે.
તે વિષે હું તમારી સથે ચર્ચા કરવા નથી માંગતો.
તો હરોળ માં કેટલા લીંબુ છે?
સારું, હરોળમાં ત્રણ લીંબુ છે.
અને ચાલો હું તમને બીજો પ્રશ્ન પૂછું.
અહીં કેટલી હરોળ છે?
સારું, આ રીતે એક હરોળ હતી અને આ બીજી હરોળ છે.
આ ત્રીજી હરોળ છે અને આ ચોથી હરોળ છે.
તો તે ગણવા માટેની સરળ રીત જોઈએ તો , મારી પાસે દરેક હરોળમાં ત્રણ લીંબુ છે.
અને તેવી મારી પાસે ચાર છે.તો ચાલો કહીએ કે મારી પાસે હરોળ દીઠ ત્રણ લીંબુ છે.
આશા રાખું છું કે હું તમને ગુચવતો નથી, પણ મને લાગે છે કે તમને મજા આવશે.
અને મારી પાસે ચાર હરોળ છે.તેથી મારી પાસે ચાર વખત ત્રણ લીંબુ છે.
ચાર વખત ત્રણ લીંબુ.
અને તે મારી પાસેના કુલ લીંબુ બરાબર થાય-- બાર
અને અત્યાર સુધી સરવાળા માટે મેં જે કર્યું તેની સાથે વધારે સમજાવું તો,
ચાલો આપણે આના વિષે વિચારીએ.
ચાર ગુણ્યા ત્રણ, જેને ચાર વખત ત્રણ એમ પણ સમજી શકાય.
હું આવું વિચારું.
હું ચાર વખત ત્રણ વિચારું.
તેથી ત્રણ, ચાર વખત.
ત્રણ વત્તા,ત્રણ વત્તા,ત્રણ વત્તા,ત્રણ.
આપણે તેમ કરીએ તો આપણને આવું મળશે:
ત્રણ વત્તા ત્રણ છ.
છ વત્તા ત્રણ તે નવ.
નવ વત્તા ત્રણ તે બાર છે.
અને આ વીડિઓના ભાગમાં આપણે અહી શીખ્યા,
આપણે શીખ્યા કે આ જ ગુણાકારને ત્રણ ગુણ્યા ચાર એમ પણ વિચારી શકાય.
તમે ક્રમ બદલી શકો.
અને આ ગુણાકારનો એક ઉપયોગી, રસપ્રદ અને ખરેખર ખાસ ગુણધર્મ છે.
પણ તે ચાર ત્રણ વખત એ રીતે પણ લખી શકાય.
ચાર વત્તા, ચાર વત્તા ચાર.
તમે ચારને તેમાં જ ત્રણ વખત ઉમેરો.
ચાર વત્તા ચાર તે આઠ થાય.
આઠ વત્તા ચાર તે બાર થશે.
અને આને આપણે ચાર ગુણ્યા ત્રણ એમ કહીએ છીએ,
પણ હું એવા લોકો ને પણ મળ્યો છું,
અને મારા કુટુંબના ઘણા લોકો
આને બીજી રીતે કહે છે
અને તેઓ ઘણી વાર આને ત્રણ ચાર વખત અથવા ચાર ત્રણ વખત એમ પણ કહે છે.
અને તે ઘણું સાહજિક છે.
તમે પહેલી વખત સાંભળો ત્યારે તે તમને તે જાણીતું ના લાગે,
પણ તે આ ગુણાકારનો દાખલો આ રીતે લખશે,
અથવા તેઓ આને એમ કહેશે કે .
તેઓ એમ કહેશે કે ચાર વાર ત્રણ શું થાય?
અને તેઓ જયારે ચાર વાર ત્રણ કહે,તેઓ ચોખ્ખું કહે છે કે,ચાર વાર ત્રણ શું થાય?
તો આ એક ત્રણ, બે ત્રણ, ત્રણ ત્રણ, ચાર ત્રણ.
જયારે તમે તેનો સરવાળો કરો તો ચાર વાર ત્રણ કેટલા થાય?
તે બાર થશે.
અને તમે એમ પણ કહી શકો,ત્રણ વાર ચાર કેટલા થાય? તો મને તે લખી લેવા દો.
હું તેને અલગ રંગ થી કરું.તે ચાર વાર ત્રણ છે.
મારો મતલબ ચોક્કસ તે ચાર વાર ત્રણ છે.
જો મેં તમને કીધું હોત કે ચાર વાર ત્રણ લખો અને તેને ઉમેરી દો,
તેનો મતલબ એ જ છે.
અને તે ચાર ગુણ્યા ત્રણ છે.
કે ત્રણ ગુણ્યા ચાર છે.
અને આ--ચાલો હું તેને અલગ રંગ થી કરું.
તે ત્રણ ચાર છે.
અને તે ત્રણ ગુણ્યા ચાર પણ લખી શકાય.
અને તે બધાના બરાબર બાર થાય.હવે કદાચ તમે કહો છો કે
અને તે બધાના બરાબર બાર થાય. હવે કદાચ તમે કહો કે
સારું,તે સરસ છે,તે ટૂંકી સરસ રીત છે,જે તમે મને શીખવી,
પણ ગુણાકાર કરવા કરતા આ લીંબુ ગણવામાં ઓછો સમય લાગ્યો.
સારું,સૌથી પહેલા તો તે અત્યારે એવું લાગે છે, કારણ કે તમારા માટે ગુણાકાર નવી વાત છે.
પણ તમે ઘણી વખત એવું જોશો કે
અને ખરેખર તો ઘણી બધી વખત--
હું વખત શબ્દ આ ગુણાકારના વીડિઓમાં વધારે વાપરવા નથી માંગતો,
જ્યાં લીંબુની દરેક હરોળ માં,
ત્રણના બદલે,
ત્યાં સો લીંબુ પણ હોઈ શકે!
તે સો હરોળ પણ હોઈ શકે! અને તમે કાયમ માટે બધા લીંબુ ગણતા જ રહેશો,
અને તે કિસ્સા માં ગુણાકાર ઉપયોગ માં આવે છે.
જોકે આપણે અત્યારે સો વખત સોનો ગુણાકાર નથી શીખવાના.
હવે એક વસ્તુ જે હું તમને આપવા માંગું છું,તે એક પ્રકારની યુક્તિ છે,
મને યાદ છે મારી બહેન મારા કરતા કેટલી ચાલાક છે તે બતાવવા,
જયારે હું બાલમંદિર માં હતો અને તે ત્રીજા ધોરણ માં હતી,
તે કહેતી,"ભાઈ ત્રણ વખત એક કેટલા થાય?"અને હું કહેતો, કારણ કે મારું દિમાગ કહેતું,
અરે! તે ત્રણ વત્તા એક જેવું છે,
અને હું કહેતો ત્રણ વત્તા એક બરાબર ચાર છે.
અને તેથી હું કહેત,
અરે! ત્રણ ગુણ્યા એક તે પણ ચાર થવું જોઈએ.
અને તે કહેતી,"ના બુદ્ધુ! તે ત્રણ થાય".
અને મને થતું કે તે કઈ રીતે બની શકે?
તને કઈ રીતે ખબર કે ત્રણ વખત કોઈ સંખ્યા તે ત્રણ જ થાય ?
અને આનો મતલબ શું છે તે વિચારો.
તમે તેને ત્રણ વાર એક ની જેમ જોઈ શકો.અને ત્રણ વાર એક કેટલા છે?
તે એક એક વત્તા બીજા એક વત્તા બીજા એક.
તે ત્રણ થાય.
અથવા તમે તેને ત્રણ એક વખત તેમ પણ લઇ શકો.
તો એક વખત ત્રણ કેટલા થાય?
તે તો કેટલું સહેલું છે!
તે માત્ર ત્રણ છે.
તે એક ત્રણ છે.
તમે તેને એક ત્રણ એમ લખી શકો.
એટલે જ તો કઈ પણ ગુણ્યા એક,કે એક ગુણ્યા કઈ પણ,
તે તે જ સંખ્યા થાય.
એટલે તેથી જ ત્રણ ગુણ્યા એક તે ત્રણ છે.
એક ગુણ્યા ત્રણ તે ત્રણ છે.
અને તમે જાણો છો હું કહી શકું કે સો વખત એક,
તે સો બરાબર છે.
હું કહી શકું કે એક ગુણ્યા ઓગણચાલીસ
તે ઓગણચાલીસ બરાબર થાય.
અને હું માનું છું કે તમે એટલી મોટી સંખ્યાઓ થી જાણીતા છો.
એટલે તે રસપ્રદ છે.
હવે ગુણાકાર વિષે એક મહત્વની રસપ્રદ વાત જોઈએ.
અને તે એ છે કે તમે શૂન્ય સાથે ગુણાકાર કરો.
હવે હું શૂન્યના સરવાળા સાથે શરુ કરીશ.
ત્રણ વત્તા શૂન્ય તે તો તમે શીખ્યા છો.
તે ત્રણ છે.
કારણ કે હું ત્રણમાં કઈ ઉમેરતો નથી.
જો તમારી પાસે ત્રણ સફરજન હોય,
અને હું તમને શૂન્ય સફરજન આપું,
તો હજી પણ તમારી પાસે ત્રણ સફરજન રહેશે,
પણ ત્રણ શું છે--
અને કદાચ મેં ત્રણ અંક પર વધારે ભાર મુક્યો છે,
સારું તો ચાલો હું બદલું,
ચાર ગુણ્યા શૂન્ય કેટલા થાય?
તે શૂન્ય ચાર વખત તેમ કહી શકાય.
તો શૂન્ય વત્તા,શૂન્ય વત્તા, શૂન્ય વત્તા, શૂન્ય કેટલા થાય?
તે શૂન્ય થાય!
બરાબર?મારી પાસે કઈ નહિ,વત્તા કઈ નહિ, વત્તા કઈ નહિ, વત્તા કઈ નહિ છે.
તેથી મારી પાસે કઈ નથી!
બીજી રીતે વિચારીએ તો
હું કહી શકું કે ચાર શૂન્ય વખત.
તો હું ચાર શૂન્ય વખત કઈ રીતે લખું?
સારું, હું કઈ નહિ લખું બરાબર ને ?કારણ કે જો હું કઈ લખું,
જો હું એક ચાર લખું તો મારી પાસે "શૂન્ય વાર ચાર" નહિ રહે.
એટલે કે તેનો મતલબ--
આ ચાર--
હું લખી લઉં--
આ ચાર શૂન્ય છે.
પણ હું શૂન્ય વાર ચાર પણ લખી શકું.અને શૂન્ય વાર ચાર શું થાય?
સારું,હું અહી ખાલી જગ્યા જ રાખીશ.
તે અહી મેં કર્યું!અહી એક પણ ચાર નથી!
એટલે તે એક મોટી ખાલી જગ્યા છે.
તે એક રમુજી વાત છે.
એટલે કઈ પણ ગુણ્યા શૂન્ય તે શૂન્ય છે!
હું કોઈ મોટી રકમ લખી શકું.
તમે જાણો છો ચૂમ્માળીશ લાખ ત્રાણું હજાર છસ્સો બાણું ગુણ્યા શૂન્ય
બરાબર શું?
તે શૂન્ય થશે.
અને કોઈ સંખ્યા ગુણ્યા એક કેટલા થાય
તે સંખ્યા પોતે જ થાય.
શૂન્ય વખત સત્તર કેટલા?
ફરીથી, તે શૂન્ય થશે.
સારું, મને લાગે છે કે હું ઘણા સમયથી સમજાવી રહ્યો છું. આવતા વીડિઓમાં મળીશું.
સારું, મને લાગે છે કે હું ઘણા સમયથી સમજાવી રહ્યો છું.આવતા વીડિઓમાં મળીશું.