Tasavvur qiling, milodan avvalgi yillar.

Endi o'ylab ko'ring:

Qanday qilib soatsiz vaqtni aniqlashgan?

Barcha soatlar vaqt oqimini 
teng bo'laklarga bo'luvchi

qandaydir takroriy shaklga asoslangan.

Bunday takroriy shakillarni topish uchun

samolarga yuzlanamiz.

Har kuni, quyoshning chiqishi va botishi

bunday shakllarning eng oddiysidir.

Lekin uzoqroq vaqt bo'lagini kuzatish uchun

uzoqroq takrorlanishlarga e'tibor beramiz.

Buning uchun esa oyga yuzlanamiz.

E'tibor bergan bo'lsangiz,

oy kunlar osha to'lishadi va kichrayadi.

To'lin oylar orasidagi kunlar sonini

sanaydigan bo'lsak,

u 29 kunga teng.

Bir oydagi kunlar soni shundan 
kelib chiqqan bo'lsa kerak.

Ammo 29 ni teng bo'laklarga 
bo'lishga harakat qilsak,

bir muammoga duch kelamiz: 
buning iloji yo'q.

29 ni teng bo'laklarga bo'lishning 
yagona yo'li

uni 29 ta teng bo'lakka bo'lishdan iborat.

29 soni tub son hisoblanadi.

Uni bo'linmas deb tasavvur qiling.

Agar son birdan boshqa

teng bo'laklarga bo'linsa,

biz uni 'murakkab son' deb ataymiz.

Endi biz qiziqishimiz mumkin,

"Dunyoda nechta tub son bo'lishi mumkin?

Va ularning eng kattasi 
nechaga teng ekan?"

Keling, barcha sonlarni 
ikkita guruhga bo'lamiz.

Tub sonlar chap tomonda

va murakkab sonlar o'ng tomonda.

Boshida, u tomondan bu tomonga raqs 
tushayotganga o'xshaydilar.

Ammo ularning joylashuvida 
aniq bir shakl mavjud emas.

Keling, bunday shaklni ko'rish uchun

zamonaviy usuldan foydalanamiz.

Bu usul "Ulam spirali" deb nomlanadi.

Boshida, barcha raqamlarni tartib bilan
o'sayotgan spiral

ichiga joylab chiqamiz.

Keyin, barcha tub sonlarni 
ko'k ranga bo'yab chiqamiz.

Nihoyat, biz millionlab raqamlarni
ko'rish uchun uzoqlashamiz.

Mana bu tugalmas tub sonlarning

shakli hisoblanadi.

Hayratlanarlisi shuki, bu shaklning 
tuliq strukturasi

haligacha topilmagan.

Nimanidir kashf etish arafasida
turganga o'xshaymiz...

Keling, m.a. 300 yillarga,

Qadimgi Gretsiyaga sayr qilamiz.

Buyuk faylasuf, Aleksandryalik Evklid,

barcha sonlarni

bu ikki guruhga ajralishini anglab yetadi.

Dastlab, u istalgan sonni

kichik bo'linmas teng 
sonlar guruhlarigacha

bo'lish mumkinligini anglab yetadi.

Va bu eng kichik sonlar esa, har doim

tub sonlardir.

Shunday qilib, u barcha sonlar

tub sonlardan qurilganini tushunib yetadi.

Aniqrog'i, barcha sonlar olamini 
tasavvur qiling,

tub sonlar haqida unuting.

Endi istalgan murakkab sonni olamiz

va bo'laklarga ajratamiz

va bu bo'laklar, har doim 
tub sonlardir.

Demak, Evklid istalgan raqam

kichikroq tub sonlar guruhi orqali ifodalanishi 
mumkinligin tushunib yetgan.

Ularni g'ishtlar deb tasavvur qiling.

Qaysi son bo'lishidan qat'iy nazar,

uni kichiroq tub sonlarni qo'shish 
bilan yasash mumkin.

Mana shu Evklid kashfiyotining 
asosi bo'lib,

"Arifmetikaning asosiy nazariyasi" 
deb nomlanadi.

Unga ko'ra,

istalgan raqamni, aytaylik, 30 ni olamiz

va uning tub ko'paytuvchilarini topamiz.

30 teng bo'linadi.

Buni biz "ko'paytuvchilarga ajratish" 
deb ataymiz.

Bu bizga tub ko'paytuvchilarni 
topish imkonini beradi.

Bizning holatda 2,3 va 5
30 ning tub kupaytuvchilaridir.

Evklid yana shuni tushunib yetdiki, 
sonning tub ko'paytuvchilarini

bir necha bor ko'paytirish orqali

dastlabki sonni keltirib chiqarish 
mumkin ekan.

30 sonini yasash uchun esa 
uning tub ko'paytuvchilarini

bir martadan ko'paytirish kifoya.

2 x 3 x 5
30 soning tub kupaytuvchilaridir.

Bularni o'ziga hos kalit yoki 
kombinatsiya deyish mumkin.

30 sonini boshqa tub son guruhlari

ko'paytmasi orqali yasashning

imkoni yo'q.

Shunday qilib, istalgan son 
faqat va faqat

bitta yo'l bilan 
tub ko'paytuvchilarga ajraladi.

Misol uchun, har bir sonni

alohida qulf deb tasavvur qiling.

Har bir qulfning (sonning) kaliti

uning tub ko'paytuvchilari bo'ladi.

Hech bir qulf bir xil kalitga ega emas.

Hech bir son bir xil tub ko'paytuvchilardan 
tashkil topmaydi.