Tasavvur qiling, milodan avvalgi yillar.
Endi o'ylab ko'ring:
Qanday qilib soatsiz vaqtni aniqlashgan?
Barcha soatlar vaqt oqimini teng bo'laklarga bo'luvchi
qandaydir takroriy shaklga asoslangan.
Bunday takroriy shakillarni topish uchun
samolarga yuzlanamiz.
Har kuni, quyoshning chiqishi va botishi
bunday shakllarning eng oddiysidir.
Lekin uzoqroq vaqt bo'lagini kuzatish uchun
uzoqroq takrorlanishlarga e'tibor beramiz.
Buning uchun esa oyga yuzlanamiz.
E'tibor bergan bo'lsangiz,
oy kunlar osha to'lishadi va kichrayadi.
To'lin oylar orasidagi kunlar sonini
sanaydigan bo'lsak,
u 29 kunga teng.
Bir oydagi kunlar soni shundan kelib chiqqan bo'lsa kerak.
Ammo 29 ni teng bo'laklarga bo'lishga harakat qilsak,
bir muammoga duch kelamiz: buning iloji yo'q.
29 ni teng bo'laklarga bo'lishning yagona yo'li
uni 29 ta teng bo'lakka bo'lishdan iborat.
29 soni tub son hisoblanadi.
Uni bo'linmas deb tasavvur qiling.
Agar son birdan boshqa
teng bo'laklarga bo'linsa,
biz uni 'murakkab son' deb ataymiz.
Endi biz qiziqishimiz mumkin,
"Dunyoda nechta tub son bo'lishi mumkin?
Va ularning eng kattasi nechaga teng ekan?"
Keling, barcha sonlarni ikkita guruhga bo'lamiz.
Tub sonlar chap tomonda
va murakkab sonlar o'ng tomonda.
Boshida, u tomondan bu tomonga raqs tushayotganga o'xshaydilar.
Ammo ularning joylashuvida aniq bir shakl mavjud emas.
Keling, bunday shaklni ko'rish uchun
zamonaviy usuldan foydalanamiz.
Bu usul "Ulam spirali" deb nomlanadi.
Boshida, barcha raqamlarni tartib bilan o'sayotgan spiral
ichiga joylab chiqamiz.
Keyin, barcha tub sonlarni ko'k ranga bo'yab chiqamiz.
Nihoyat, biz millionlab raqamlarni ko'rish uchun uzoqlashamiz.
Mana bu tugalmas tub sonlarning
shakli hisoblanadi.
Hayratlanarlisi shuki, bu shaklning tuliq strukturasi
haligacha topilmagan.
Nimanidir kashf etish arafasida turganga o'xshaymiz...
Keling, m.a. 300 yillarga,
Qadimgi Gretsiyaga sayr qilamiz.
Buyuk faylasuf, Aleksandryalik Evklid,
barcha sonlarni
bu ikki guruhga ajralishini anglab yetadi.
Dastlab, u istalgan sonni
kichik bo'linmas teng sonlar guruhlarigacha
bo'lish mumkinligini anglab yetadi.
Va bu eng kichik sonlar esa, har doim
tub sonlardir.
Shunday qilib, u barcha sonlar
tub sonlardan qurilganini tushunib yetadi.
Aniqrog'i, barcha sonlar olamini tasavvur qiling,
tub sonlar haqida unuting.
Endi istalgan murakkab sonni olamiz
va bo'laklarga ajratamiz
va bu bo'laklar, har doim tub sonlardir.
Demak, Evklid istalgan raqam
kichikroq tub sonlar guruhi orqali ifodalanishi mumkinligin tushunib yetgan.
Ularni g'ishtlar deb tasavvur qiling.
Qaysi son bo'lishidan qat'iy nazar,
uni kichiroq tub sonlarni qo'shish bilan yasash mumkin.
Mana shu Evklid kashfiyotining asosi bo'lib,
"Arifmetikaning asosiy nazariyasi" deb nomlanadi.
Unga ko'ra,
istalgan raqamni, aytaylik, 30 ni olamiz
va uning tub ko'paytuvchilarini topamiz.
30 teng bo'linadi.
Buni biz "ko'paytuvchilarga ajratish" deb ataymiz.
Bu bizga tub ko'paytuvchilarni topish imkonini beradi.
Bizning holatda 2,3 va 5 30 ning tub kupaytuvchilaridir.
Evklid yana shuni tushunib yetdiki, sonning tub ko'paytuvchilarini
bir necha bor ko'paytirish orqali
dastlabki sonni keltirib chiqarish mumkin ekan.
30 sonini yasash uchun esa uning tub ko'paytuvchilarini
bir martadan ko'paytirish kifoya.
2 x 3 x 5 30 soning tub kupaytuvchilaridir.
Bularni o'ziga hos kalit yoki kombinatsiya deyish mumkin.
30 sonini boshqa tub son guruhlari
ko'paytmasi orqali yasashning
imkoni yo'q.
Shunday qilib, istalgan son faqat va faqat
bitta yo'l bilan tub ko'paytuvchilarga ajraladi.
Misol uchun, har bir sonni
alohida qulf deb tasavvur qiling.
Har bir qulfning (sonning) kaliti
uning tub ko'paytuvchilari bo'ladi.
Hech bir qulf bir xil kalitga ega emas.
Hech bir son bir xil tub ko'paytuvchilardan tashkil topmaydi.