வரலாற்றுக்கு முந்தைய காலத்தில் நாம் வசிப்பதாகக் கற்பனை செய்துகொள்.

இப்பொழுது இதை எண்ணிப்பார்.

கடிகாரம் இல்லாமல் எப்படி நாம் நேரத்தைக் கணக்கிட்டிருப்போம்.

எல்லா கடிகாரங்களும் ஒரே அமைப்பில்தான் கால

ஓட்டத்தை சமஅளவு பாகங்களாகப் பிரிக்கும்படி உள்ளன.

மீண்டும் மீண்டும் வரும் இந்த முறையைப் பார்க்க

மேலே சொர்க்கத்தைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.

இருந்தபோதிலும் ஒவ்வொரு நாளும் சூரியன் உதிப்பதும்

அஸ்தமிப்பதும் தெளிவான வகை.

நீண்ட காலத்தைக் கணக்கிட நீண்ட

காலச்சுழற்சியை வைத்துக் கொள்கிறோம்.

இதற்காக நாம் நிலவைப் பார்க்கிறோம்.

அது சிறிதுசிறிதாக வளர்ந்து தேய்வதுபோல் தெரிகிறது.

இதற்குப் பல நாட்கள் ஆகின்றன.

இரண்டு முழுநிலவுகளுக்கு இடையே உள்ள

நாட்களை எண்ணினால்

29 நாட்கள் வரும்.

இதுதான் மாதத்தின் தோற்றம்.

29ஐ நாம் சமபங்காகப் பிரிக்கப்போனால் அது நமக்கு

பிரச்சனையாகத்தான் முடியும். அது முடியாது.

29ஐ சமபாகங்களாகப் பிரிக்க அதை 29

தனிஅளவுகளாகப் பிரிக்கவேண்டியதுதான்.

ஏனெனில் 29 பகா எண்.

அதைப் பிரிக்கமுடியாது.

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒரு எண்ணை

சமபாகங்களாகப் பிரிக்க முடிந்தால்

அந்த எண்" கூட்டு எண்."

நாம் மிக ஆர்வமாக இருந்தால் பகாஎண்கள்

எவ்வளவு? என்று ஆச்சர்யப்படுவோம்.

பெரிய எண் இதில் எது?

இங்கு எல்லா எண்களையும் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிப்போம்.

பகாஎண்களை இடதுபக்கம் வைப்போம்.

கூட்டு எண்களை வலது பக்கம் வைப்போம்.

இவை முன்னும் பின்னும் நடனம் ஆடுவதுபோல் இந்த அமைப்பில் உள்ளது.

இதில் தெளிவான அமைப்பு இல்லை.

ஆகவே,நவீன உத்தியை பெரிய அளவில் .

பார்ப்பதற்கு இதில் மேற்கொள்வோம்

இங்கு என்ன யுக்தி என்றால் 'யுலாம் சுழல்' இதைப் பயன்படுத்துதல்.

முதலில் எண்களை வரிசைப்படி பெரிதாகிக்கொண்டே

போகும் அந்தச் சுழலில் பட்டியலிட வேண்டும்.

பிறகு,அதில் உள்ள பகாஎண்களுக்கு ஊதா வண்ணத்தில் நிறம் கொடுக்க வேண்டும்.

பிறகு நாம் அதைப் பெரிது செய்யும்போது பல மில்லியன் கணக்கில்

பகாஎண்களைப் பார்க்க முடியும்.இவை பகாஎண்களின் வகைகள்.

இதில் இவை போய்க்கொண்டே இருக்கும்.

நம்பமுடியாத அளவுக்கு,இதுவரை அந்த

முழுஅமைப்பு பற்றிய வகையை தீர்க்க முடியவில்லை.

இப்பொழுது ஒன்றைப் பார்ப்போம்.

வேகமாக கி.மு 300க்குச் செல்வோம். பண்டைய

கிரேக்கத்தில்,தத்துவவாதி,அலெக்ஸாண்டிரியா

யூக்ளிட் என்பவர் எல்லா எண்களையும் இரண்டு

வேறுபட்ட வகைகளாகப் பிரிக்க முடியும்

எனப் புரிந்திருந்தார்.

எந்த எண்ணை எடுத்துக்கொண்டாலும் அதை சிறிய எண்ணாக

பிரித்துக் கொண்டே போகலாம்.இறுதியில் அது

அதற்குச் சமமான சிறிய எண்களாக மாறுகிறது.

வரையறைப்படி அந்தச் சிறிய எண்கள்.

எப்பொழுதும் பகாஎண்கள்.

எல்லா எண்களும் பகாஎண்கள் சேர்ந்துதான்

அமைந்துள்ளது என்பதை தெரிந்து வைத்திருந்தார்.

பிரபஞ்சத்தின் அனைத்து எண்களையும்

எடுத்துக்கொண்டு பகாஎண்களை விட்டுவிடு.

இதில் ஏதோ ஒரு கூட்டு எண்ணை தேர்வு செய்.

இதை இப்பொழுது பிரி.

கடைசியில் வருவது பகாஎண்ணில்தான் முடியும்.

எந்த கூட்டு எண்ணையும் பகாஎண்களை வைத்து வெளிப்படுத்தலாம்

என யூகிளிட் தெரிந்து வைத்திருந்தார்.

கட்டிடத் தொகுதிகளை நினைத்துக் கொள்.

எந்த எண்ணை வேண்டுமானாலும் தேர்வு செய்துகொள் கவலையில்லை.

பகாஎண்களின் கூட்டலில்தான் அவை அமைந்திருக்கும்.

அவருடைய கண்டுபிடிப்பின் வேர் இது.

இதுதான்" எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்".

அது பின்வருவது

ஏதாவது ஒரு எண்ணை எடுத்துக்கொள்.30ஐ எடுத்துக்கொள்.

அதற்குச் சமமான எல்லா

பகாஎண்களையும் கண்டுபிடி.

அப்படியென்றால் அந்த எண்ணுக்குக் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இந்த முறையில் பகாஎண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

இங்கு2 ,5 , 6 இவை 30ன் பகாஎண்கள்.

ஒரு எண்ணின் பகாஎண்களையெல்லாம் பெருக்கும்பொழுது

அந்தக் குறிப்பிட்ட எண் வந்துவிடுகிறது என்பதை

யூகிளிட் உணர்ந்திருந்தார்.

இங்கு,இந்தப் பகாஎண்களை ஒருமுறை

பெருக்கும்பொழுது 30 வருகிறது.

2 x 3 x 5 என்பது 30ன் பகாஎண்கள்.

30என்ற எண்ணுக்கு இந்தப் பகா எண்கள் ஒரு

சிறப்பான திறவுகோல் அல்லது ஒரு பிணைப்பு.

30ஐ உண்டாக்க வேறு எந்தப் பகாஎண்களை

வைத்துப் பெருக்கினாலும் வராது.

ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால் அதற்கு ஒரே

மாதிரியான பகாஎண்கள்தான் இருக்கும்.

இதை எப்படி கற்பனை செய்யலாம் என்றால் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும்

ஒவ்வொரு மாதிரியான பூட்டு உள்ளது.

ஒவ்வொரு எண்ணின் தனிப்பட்ட சாவி

எதுவென்றால் அதன் பகாஎண்கள்.

இங்கு,இரண்டு பூட்டுகள் ஒரே சாவியைப் பங்கிட்டுக் கொள்ளாது.

அதேபோல் இரண்டு எண்கள் ஒரே மாதிரியான பகாஎண்களை பங்கிட்டுக் கொள்ளாது.