1 00:00:04,000 --> 00:00:07,000 紀元前に来たと想像しましょう。 2 00:00:07,000 --> 00:00:09,000 さて、以下のこと考えてください。 3 00:00:09,000 --> 00:00:12,000 時計なしでどのように時間をはかればいいでしょうか? 4 00:00:12,000 --> 00:00:15,000 すべての時計は、時間を均等に分けた 5 00:00:15,000 --> 00:00:18,000 パターンの反復によって作られています。 6 00:00:18,000 --> 00:00:20,000 この反復のパターンを見つけるため、 7 00:00:20,000 --> 00:00:22,000 空を見上げてみます。 8 00:00:22,000 --> 00:00:24,000 太陽が毎日 出没するパターンは 9 00:00:24,000 --> 00:00:25,000 とても明白です。 10 00:00:25,000 --> 00:00:28,000 しかし、より長期の時間を計るには 11 00:00:28,000 --> 00:00:30,000 より長い周期が必要です。 12 00:00:30,000 --> 00:00:32,000 そこで月を観察します。 13 00:00:32,000 --> 00:00:34,000 日ごとに少しずつ、大きくなっては 14 00:00:34,000 --> 00:00:36,000 小さくなります。 15 00:00:36,000 --> 00:00:38,000 満月から次の満月までの 16 00:00:38,000 --> 00:00:39,000 日にちを数えると、 17 00:00:39,000 --> 00:00:40,000 29という数字にたどりつきます。 18 00:00:40,000 --> 00:00:42,000 これが「月」の起源です。 19 00:00:42,000 --> 00:00:45,000 しかし、29を等分に分けようとすると 20 00:00:45,000 --> 00:00:48,000 問題が発生します。これは不可能です。 21 00:00:48,000 --> 00:00:51,000 29を等分に分ける唯一の方法は、 22 00:00:51,000 --> 00:00:54,000 1づつに分けることです。 23 00:00:54,000 --> 00:00:56,000 つまり、29は「素数」なのです。 24 00:00:56,000 --> 00:00:58,000 これは、等分に分けられないものです。 25 00:00:58,000 --> 00:01:00,000 1より大きい数で 26 00:01:00,000 --> 00:01:02,000 複数に分割できる数字は、 27 00:01:02,000 --> 00:01:04,000 「合成数」と呼ばれます。 28 00:01:04,000 --> 00:01:06,000 ここで興味深い疑問が生じます。 29 00:01:06,000 --> 00:01:08,000 素数はいくつあるのでしょう? 30 00:01:08,000 --> 00:01:10,000 どのくらい大きな数字になるのでしょう? 31 00:01:10,000 --> 00:01:13,000 ここで、まず数字を二つに分類します。 32 00:01:13,000 --> 00:01:15,000 素数を左に、 33 00:01:15,000 --> 00:01:17,000 合成数を右に置きます。 34 00:01:17,000 --> 00:01:20,000 始めのうちは、行ったり来たりして、 35 00:01:20,000 --> 00:01:23,000 特にパターンはないようです。 36 00:01:23,000 --> 00:01:25,000 では、近代の技術を使用して 37 00:01:25,000 --> 00:01:26,000 より大きい外観を見てみましょう。 38 00:01:26,000 --> 00:01:29,000 ウラムの螺旋と呼ばれるものを描きます。 39 00:01:29,000 --> 00:01:32,000 まず、すべての数字を螺旋状に 40 00:01:32,000 --> 00:01:33,000 書いてきます。 41 00:01:33,000 --> 00:01:37,000 そして、すべての素数を青で示します。 42 00:01:37,000 --> 00:01:41,000 最後に、何百万もの数字を見てみましょう。 43 00:01:41,000 --> 00:01:43,000 これが、素数のパターンで 44 00:01:43,000 --> 00:01:45,000 永遠に続きます。 45 00:01:45,000 --> 00:01:48,000 驚くことに、このパターンの全体像は 46 00:01:48,000 --> 00:01:50,000 未だに解かれていません。 47 00:01:50,000 --> 00:01:51,000 けれど、何かの手がかりはあります。 48 00:01:51,000 --> 00:01:54,000 つぎに、紀元前300年の 49 00:01:54,000 --> 00:01:55,000 古代ギリシャに行ってみましょう。 50 00:01:55,000 --> 00:01:58,000 アレキサンドリアの哲学者 ユークリッドは、 51 00:01:58,000 --> 00:01:59,000 すべての数字が 52 00:01:59,000 --> 00:02:02,000 2つのカテゴリーに分類されることを示しました。 53 00:02:02,000 --> 00:02:04,000 彼は、いかなる数字でも 54 00:02:04,000 --> 00:02:06,000 最小限の等分の数字のグループに至るまで、 55 00:02:06,000 --> 00:02:10,000 繰り返し、分割できることに気がつきました。 56 00:02:10,000 --> 00:02:13,000 そして、これらの最小限の数字が 57 00:02:13,000 --> 00:02:15,000 「素数」です。 58 00:02:15,000 --> 00:02:17,000 つまり、すべての数字は 59 00:02:17,000 --> 00:02:20,000 それより小さい素数からつくられているのです。 60 00:02:20,000 --> 00:02:25,000 簡素に考えるために、素数を除いたすべての数字を考えます。 61 00:02:25,000 --> 00:02:28,000 任意の合成数を選んでみます。 62 00:02:28,000 --> 00:02:29,000 これを分けつづけると 63 00:02:29,000 --> 00:02:33,000 かならず、「素数」に行きつきます。 64 00:02:33,000 --> 00:02:34,000 ユークリッドは、すべての数字は 65 00:02:34,000 --> 00:02:37,000 それより小さな素数を使って表わせることを見つけました。 66 00:02:37,000 --> 00:02:39,000 これを、基本ブロックと考えます。 67 00:02:39,000 --> 00:02:42,000 どの数字を選んでも 68 00:02:42,000 --> 00:02:46,000 それより小さい素数の和で作られています。 69 00:02:46,000 --> 00:02:48,000 これが、この発見の基礎で 70 00:02:48,000 --> 00:02:50,000 算術の基礎定理と呼ばれています。 71 00:02:50,000 --> 00:02:57,000 任意の数字、例えば、30を等分できる素数をすべて見つけてみましょう。 72 00:02:57,000 --> 00:02:59,000 これを因数分解と言います。 73 00:02:59,000 --> 00:03:01,000 これで「素因数」を得られます。 74 00:03:01,000 --> 00:03:05,000 この場合は、2、3、5が30の「素因数」です。 75 00:03:05,000 --> 00:03:09,000 ユークリッドは、素因数を特定の回数任意の数字を 76 00:03:09,000 --> 00:03:10,000 かけ合わせることで 77 00:03:10,000 --> 00:03:12,000 元の数字が得られることを見つけました。 78 00:03:12,000 --> 00:03:16,000 この場合、これらの素因数を一度ずつかければ、30が得られます。 79 00:03:16,000 --> 00:03:20,000 2x3x5 が30の因数分解です。 80 00:03:20,000 --> 00:03:23,000 これは、特定の鍵の組み合わせのようなものです。 81 00:03:23,000 --> 00:03:24,000 これ以外に、他の素数を使って 82 00:03:24,000 --> 00:03:27,000 30を構築する方法は 83 00:03:27,000 --> 00:03:28,000 ありません。 84 00:03:28,000 --> 00:03:31,000 ですから、それぞれの数字に 85 00:03:31,000 --> 00:03:34,000 ただ一つの因数分解が存在します。 86 00:03:34,000 --> 00:03:38,000 各数字は、それぞれ違う鍵のようなものなのです。 87 00:03:38,000 --> 00:03:39,000 それぞれの特定の鍵に 88 00:03:39,000 --> 00:03:42,000 特定のコードである因数分解が存在します。 89 00:03:42,000 --> 00:03:43,000 同一のコードを持つ鍵はありません。 90 00:03:43,000 --> 00:03:47,000 いかなる数字でも、同じ因数分解を持つことはありません。