WEBVTT

00:00:04.420 --> 00:00:07.221
Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.

00:00:07.221 --> 00:00:09.468
Lad os prøve at tænke over,

00:00:09.468 --> 00:00:12.721
hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.

00:00:12.721 --> 00:00:15.315
Alle ure er baseret på et gentagende mønster,

00:00:15.315 --> 00:00:18.890
der deler hele tiden op i lige store dele.

00:00:18.890 --> 00:00:20.688
For at finde de gentagende mønstre

00:00:20.688 --> 00:00:22.918
kigger vi på himlen.

00:00:22.918 --> 00:00:24.902
Det er klart, at solen står op og ned hver dag,

00:00:26.184 --> 00:00:28.760
men når vi skal holde styr på længere tidsrum,

00:00:28.760 --> 00:00:30.811
skal vi kigge efter længere cyklusser.

00:00:30.811 --> 00:00:32.512
Vi kan kigge på månen,

00:00:32.512 --> 00:00:33.853
der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.

00:00:36.578 --> 00:00:37.894
Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,

00:00:38.978 --> 00:00:40.910
finder vi ud af, at der er 29.

00:00:40.910 --> 00:00:42.833
Det er sådan, man opfandt en måned.

00:00:42.833 --> 00:00:45.873
Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,

00:00:45.873 --> 00:00:49.227
finder vi ud af, at det er umuligt.

00:00:49.227 --> 00:00:51.676
Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele

00:00:51.676 --> 00:00:54.819
er ved at splitte det op i grupper af 1.

00:00:54.819 --> 00:00:57.102
29 er nemlig et primtal.

00:00:57.102 --> 00:00:59.061
Vi kan tænke på det som udeleligt.

00:00:59.061 --> 00:01:00.879
Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,

00:01:02.814 --> 00:01:04.621
kalder vi det et sammensat tal.

00:01:04.621 --> 00:01:06.608
Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,

00:01:06.608 --> 00:01:08.450
hvor mange primtal, der er,

00:01:08.450 --> 00:01:10.398
og hvor store de bliver.

00:01:10.398 --> 00:01:13.744
Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.

00:01:13.744 --> 00:01:15.611
Vi sætter primtallene til venstre

00:01:15.611 --> 00:01:17.648
og de sammensatte tal til højre.

00:01:17.648 --> 00:01:20.379
Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.

00:01:20.379 --> 00:01:23.017
Der ser ikke ud til at være et mønster.

00:01:23.017 --> 00:01:24.439
Lad os bruge en moderne teknik

00:01:24.439 --> 00:01:26.077
til at se det fulde billede.

00:01:26.077 --> 00:01:29.047
Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.

00:01:29.047 --> 00:01:32.011
Først stiller vi alle tal i rækkefølge

00:01:32.011 --> 00:01:34.043
i en voksende spiral.

00:01:34.043 --> 00:01:37.164
Så farver vi alle primtallene blå.

00:01:37.164 --> 00:01:41.290
Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.

00:01:41.290 --> 00:01:42.860
Det her er primtallenes mønster,

00:01:42.860 --> 00:01:45.365
der bliver ved og ved for evigt.

00:01:45.365 --> 00:01:47.967
Utroligt nok er hele det her mønsters struktur

00:01:47.967 --> 00:01:50.314
stadig ikke løst i dag.

00:01:50.314 --> 00:01:51.843
Vi har fundet noget.

00:01:51.843 --> 00:01:52.987
Lad os spole tiden frem

00:01:52.987 --> 00:01:55.526
til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.

00:01:55.526 --> 00:01:58.183
En filosof kendt som Euclid fra Alexandria

00:01:58.183 --> 00:01:59.411
forstod, at alle tal

00:01:59.411 --> 00:02:02.607
kunne blive delt op i de her 2 kategorier.

00:02:02.607 --> 00:02:04.896
Han begyndte ved at finde ud af,

00:02:04.896 --> 00:02:07.078
at alle tal kan blive divideret igen og igen,

00:02:07.078 --> 00:02:10.599
indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.

00:02:10.599 --> 00:02:12.921
Per definition er de her små tal

00:02:12.921 --> 00:02:15.760
altid primtal.

00:02:15.760 --> 00:02:17.148
Han vidste altså,

00:02:17.148 --> 00:02:20.542
at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.

00:02:20.542 --> 00:02:23.317
For at gøre det klart kan vi forestille os et univers

00:02:23.317 --> 00:02:25.674
med alle tal og ignorere primtallene.

00:02:25.674 --> 00:02:28.037
Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal

00:02:30.518 --> 00:02:33.354
og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.

00:02:33.354 --> 00:02:34.774
Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes

00:02:34.774 --> 00:02:37.675
ved at bruge en gruppe af mindre primtal.

00:02:37.675 --> 00:02:40.221
Vi kan tænke på de her som byggeklodser.

00:02:40.221 --> 00:02:41.996
Ligemeget hvilket tal vi vælger,

00:02:41.996 --> 00:02:46.157
kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.

00:02:46.157 --> 00:02:48.032
Det er roden til opdagelsen,

00:02:48.032 --> 00:02:50.759
vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.

00:02:50.759 --> 00:02:52.013
Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.

00:02:53.934 --> 00:02:55.501
Nu kan vi finde alle de primtal,

00:02:55.501 --> 00:02:57.233
der går op i det uden rest.

00:02:57.233 --> 00:02:59.763
Det hedder faktorisering.

00:02:59.763 --> 00:03:01.624
Det vil give os primtallene.

00:03:01.624 --> 00:03:05.811
I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.

00:03:05.811 --> 00:03:07.906
Euclid fandt ud af, at man kan gange

00:03:07.906 --> 00:03:10.714
primfaktorerne et vist antal gange

00:03:10.714 --> 00:03:12.739
og på den måde bygge det oprindelige tal.

00:03:12.739 --> 00:03:13.780
I det her tilfælde ganger vi bare

00:03:13.780 --> 00:03:16.178
hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.

00:03:16.178 --> 00:03:20.158
2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.

00:03:20.158 --> 00:03:23.153
Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.

00:03:23.153 --> 00:03:24.887
Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på

00:03:24.887 --> 00:03:27.110
ved at bruge andre tal

00:03:27.110 --> 00:03:28.792
ganget sammen.

00:03:28.792 --> 00:03:31.276
Ethvert tal har altså 1,

00:03:31.276 --> 00:03:34.046
og kun 1, primfaktorisering.

00:03:34.046 --> 00:03:36.299
Man kan altså forestille sig,

00:03:36.299 --> 00:03:38.017
at alle tal har en forskellig lås.

00:03:38.033 --> 00:03:39.722
Den unikke nøgle til låsen

00:03:39.722 --> 00:03:42.054
er dens primfaktorisering.

00:03:42.054 --> 00:03:43.937
Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.

00:03:43.937 --> 00:03:47.889
Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.