1
00:00:04,420 --> 00:00:07,221
Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.

2
00:00:07,221 --> 00:00:09,468
Lad os prøve at tænke over,

3
00:00:09,468 --> 00:00:12,721
hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.

4
00:00:12,721 --> 00:00:15,315
Alle ure er baseret på et gentagende mønster,

5
00:00:15,315 --> 00:00:18,890
der deler hele tiden op i lige store dele.

6
00:00:18,890 --> 00:00:20,688
For at finde de gentagende mønstre

7
00:00:20,688 --> 00:00:22,918
kigger vi på himlen.

8
00:00:22,918 --> 00:00:24,902
Det er klart, at solen står op og ned hver dag,

9
00:00:26,184 --> 00:00:28,760
men når vi skal holde styr på længere tidsrum,

10
00:00:28,760 --> 00:00:30,811
skal vi kigge efter længere cyklusser.

11
00:00:30,811 --> 00:00:32,512
Vi kan kigge på månen,

12
00:00:32,512 --> 00:00:33,853
der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.

13
00:00:36,578 --> 00:00:37,894
Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,

14
00:00:38,978 --> 00:00:40,910
finder vi ud af, at der er 29.

15
00:00:40,910 --> 00:00:42,833
Det er sådan, man opfandt en måned.

16
00:00:42,833 --> 00:00:45,873
Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,

17
00:00:45,873 --> 00:00:49,227
finder vi ud af, at det er umuligt.

18
00:00:49,227 --> 00:00:51,676
Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele

19
00:00:51,676 --> 00:00:54,819
er ved at splitte det op i grupper af 1.

20
00:00:54,819 --> 00:00:57,102
29 er nemlig et primtal.

21
00:00:57,102 --> 00:00:59,061
Vi kan tænke på det som udeleligt.

22
00:00:59,061 --> 00:01:00,879
Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,

23
00:01:02,814 --> 00:01:04,621
kalder vi det et sammensat tal.

24
00:01:04,621 --> 00:01:06,608
Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,

25
00:01:06,608 --> 00:01:08,450
hvor mange primtal, der er,

26
00:01:08,450 --> 00:01:10,398
og hvor store de bliver.

27
00:01:10,398 --> 00:01:13,744
Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.

28
00:01:13,744 --> 00:01:15,611
Vi sætter primtallene til venstre

29
00:01:15,611 --> 00:01:17,648
og de sammensatte tal til højre.

30
00:01:17,648 --> 00:01:20,379
Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.

31
00:01:20,379 --> 00:01:23,017
Der ser ikke ud til at være et mønster.

32
00:01:23,017 --> 00:01:24,439
Lad os bruge en moderne teknik

33
00:01:24,439 --> 00:01:26,077
til at se det fulde billede.

34
00:01:26,077 --> 00:01:29,047
Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.

35
00:01:29,047 --> 00:01:32,011
Først stiller vi alle tal i rækkefølge

36
00:01:32,011 --> 00:01:34,043
i en voksende spiral.

37
00:01:34,043 --> 00:01:37,164
Så farver vi alle primtallene blå.

38
00:01:37,164 --> 00:01:41,290
Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.

39
00:01:41,290 --> 00:01:42,860
Det her er primtallenes mønster,

40
00:01:42,860 --> 00:01:45,365
der bliver ved og ved for evigt.

41
00:01:45,365 --> 00:01:47,967
Utroligt nok er hele det her mønsters struktur

42
00:01:47,967 --> 00:01:50,314
stadig ikke løst i dag.

43
00:01:50,314 --> 00:01:51,843
Vi har fundet noget.

44
00:01:51,843 --> 00:01:52,987
Lad os spole tiden frem

45
00:01:52,987 --> 00:01:55,526
til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.

46
00:01:55,526 --> 00:01:58,183
En filosof kendt som Euclid fra Alexandria

47
00:01:58,183 --> 00:01:59,411
forstod, at alle tal

48
00:01:59,411 --> 00:02:02,607
kunne blive delt op i de her 2 kategorier.

49
00:02:02,607 --> 00:02:04,896
Han begyndte ved at finde ud af,

50
00:02:04,896 --> 00:02:07,078
at alle tal kan blive divideret igen og igen,

51
00:02:07,078 --> 00:02:10,599
indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.

52
00:02:10,599 --> 00:02:12,921
Per definition er de her små tal

53
00:02:12,921 --> 00:02:15,760
altid primtal.

54
00:02:15,760 --> 00:02:17,148
Han vidste altså,

55
00:02:17,148 --> 00:02:20,542
at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.

56
00:02:20,542 --> 00:02:23,317
For at gøre det klart kan vi forestille os et univers

57
00:02:23,317 --> 00:02:25,674
med alle tal og ignorere primtallene.

58
00:02:25,674 --> 00:02:28,037
Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal

59
00:02:30,518 --> 00:02:33,354
og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.

60
00:02:33,354 --> 00:02:34,774
Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes

61
00:02:34,774 --> 00:02:37,675
ved at bruge en gruppe af mindre primtal.

62
00:02:37,675 --> 00:02:40,221
Vi kan tænke på de her som byggeklodser.

63
00:02:40,221 --> 00:02:41,996
Ligemeget hvilket tal vi vælger,

64
00:02:41,996 --> 00:02:46,157
kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.

65
00:02:46,157 --> 00:02:48,032
Det er roden til opdagelsen,

66
00:02:48,032 --> 00:02:50,759
vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.

67
00:02:50,759 --> 00:02:52,013
Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.

68
00:02:53,934 --> 00:02:55,501
Nu kan vi finde alle de primtal,

69
00:02:55,501 --> 00:02:57,233
der går op i det uden rest.

70
00:02:57,233 --> 00:02:59,763
Det hedder faktorisering.

71
00:02:59,763 --> 00:03:01,624
Det vil give os primtallene.

72
00:03:01,624 --> 00:03:05,811
I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.

73
00:03:05,811 --> 00:03:07,906
Euclid fandt ud af, at man kan gange

74
00:03:07,906 --> 00:03:10,714
primfaktorerne et vist antal gange

75
00:03:10,714 --> 00:03:12,739
og på den måde bygge det oprindelige tal.

76
00:03:12,739 --> 00:03:13,780
I det her tilfælde ganger vi bare

77
00:03:13,780 --> 00:03:16,178
hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.

78
00:03:16,178 --> 00:03:20,158
2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.

79
00:03:20,158 --> 00:03:23,153
Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.

80
00:03:23,153 --> 00:03:24,887
Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på

81
00:03:24,887 --> 00:03:27,110
ved at bruge andre tal

82
00:03:27,110 --> 00:03:28,792
ganget sammen.

83
00:03:28,792 --> 00:03:31,276
Ethvert tal har altså 1,

84
00:03:31,276 --> 00:03:34,046
og kun 1, primfaktorisering.

85
00:03:34,046 --> 00:03:36,299
Man kan altså forestille sig,

86
00:03:36,299 --> 00:03:38,017
at alle tal har en forskellig lås.

87
00:03:38,033 --> 00:03:39,722
Den unikke nøgle til låsen

88
00:03:39,722 --> 00:03:42,054
er dens primfaktorisering.

89
00:03:42,054 --> 00:03:43,937
Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.

90
00:03:43,937 --> 00:03:47,889
Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.