WEBVTT 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 [RKA22] Olá, tudo bem com você? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Você vai assistir agora à mais uma aula de matemática 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 e, nessa aula, vamos resolver um exercício sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então, vamos ver o que o exercício está falando. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛, vezes x ao cubo, menos x ao quadrado. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função que tem uma taxa de variação média positiva. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Como sempre, faça uma pausa nesse vídeo e tente fazer isso. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Okay. Já tentou? Vamos fazer isso juntos agora? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Para começar, vamos nos lembrar sobre o que é a taxa de variação média. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Uma taxa de variação média pode ser vista como a variação 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 que ocorre em uma função para uma dada variação na variável, que, em nosso caso, é o x. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Ou seja, qual é a variação que ocorre em h para uma dada variação em x. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Como nosso objetivo é descobrir o intervalo, podemos descobrir qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 No denominador, podemos colocar nosso x final menos o x inicial, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Agora, uma coisa interessante é que a questão não está querendo Calcular isso para todos os diferentes intervalos. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos em que a nossa taxa de variação média é positiva. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Se você olhar aqui, contando que o nosso x final seja maior que o x inicial, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 a fim de ter uma taxa de variação média positiva, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 nós só precisamos descobrir se h em x final é maior que h em x inicial. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Se o valor da função no ponto final é maior que o valor da função no ponto inicial em um determinado intervalo, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Sabendo isso, vamos avaliar cada uma das opções que temos nessas alternativas. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Na letra A, temos x sendo maior ou igual a zero e menor ou igual a 2. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial, nem precisamos calcular, afinal, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 já teremos isso sendo igual a zero, já que ⅛, vezes zero, menos zero é igual a zero. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Agora em nosso ponto inicial, temos h(2), que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1. Isso menos 2 ao quadrado, que é 4. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então, isso aqui vai ser 1 menos 4, que é igual a -3. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Repare que não temos uma situação onde h no nosso ponto final é realmente maior. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação média negativa, então vou descartar essa opção. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 que é o gráfico de nossa função h. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Podemos observar visualmente que realmente temos uma taxa de variação média negativa 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 quando vamos de x igual a zero até x igual a 2. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Em x igual a zero, a nossa função está aqui e em x igual a 2, a nossa função está aqui. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Como você pode perceber, em x igual a 2, nossa função tem um valor inferior. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Você também pode pensar na taxa de variação média como a inclinação da reta 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 que conecta os dois pontos da função nesse intervalo. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Repare que essa reta possui uma inclinação negativa, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa entre esses dois pontos. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0) e isso é igual a zero. E quanto é h(8)? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência é igual a quanto? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Se eu fizer 8 elevando a terceira potência e dividir por 8, teremos a mesma coisa que 8 elevado a segunda potência. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então, isso vai ser 64. Então, -8 elevado a segunda potência, que é 64. Logo, teremos aqui 64 menos 64, que é zero. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero, já que o numerador vai ser zero, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 logo, podemos descartar essa opção também. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Você pode ver isso aqui, quando o x é igual ao zero, nossa função está aqui, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 quando o x é igual a 8, a nossa função está aqui. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Repare que a reta que liga esses dois pontos possui uma inclinação igual a zero. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Ou seja, temos uma taxa de variação média sendo igual a zero entre esses dois pontos. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Agora, e a alternativa c? Vamos ver: h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado a terceira potência. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 6 vezes 6 é 36, e 36 vezes 6 é 216, então teremos aqui ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado, que é 36. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então, teremos aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 ¾ de 36 é 27, assim, teremos 27 menos 36, que é igual a -9. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Poderíamos ter feito isso com uma calculadora, mas é bom fazer isso para explorar outras formas de resolver expressões como essa. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido. Afinal, só fizemos um pouco de aritmética. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9 e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 portanto, nossa função nesse ponto final é superior ao valor da nossa função no ponto inicial. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Sendo assim, temos uma taxa de variação média positiva. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Logo, essa alternativa está correta. Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6, o valor de nossa função é -9 e quando x é igual a 8, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 o valor de nossa função é igual a zero. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Assim, a reta que conecta esses dois pontos tem uma inclinação positiva. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Portanto, temos uma taxa de variação média positiva durante esse intervalo. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Já chegamos à alternativa correta, mas vamos verificar essa última aqui também. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Já sabemos que h(0) é igual a zero e que h(6) é igual a -9. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Portanto, temos aqui uma taxa de variação média negativa, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 porque no ponto final temos uma função menor que no ponto inicial, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 então podemos descartar essa alternativa. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Você pode conferir isso aqui. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Se formos de x igual a zero até x igual a 6, temos a nossa reta se parecendo com isso aqui. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Perceba que a inclinação dessa reta é negativa, portanto, temos uma taxa de variação média negativa. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!