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[RKA22] Olá, tudo bem com você? 

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Você vai assistir agora à mais uma aula de matemática 

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e, nessa aula, vamos resolver um exercício 
sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio. 

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Então, vamos ver o que o exercício está falando. 

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Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛,
vezes x ao cubo, menos x ao quadrado.

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Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função 
que tem uma taxa de variação média positiva. 

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Como sempre, faça uma pausa nesse vídeo e tente fazer isso.

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Okay. Já tentou? Vamos fazer isso juntos agora? 

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Para começar, vamos nos lembrar sobre o que é a taxa de variação média.

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Uma taxa de variação média pode ser vista como a variação 

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que ocorre em uma função para uma dada variação 
na variável, que, em nosso caso, é o x. 

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Ou seja, qual é a variação que ocorre em h 
para uma dada variação em x.

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Como nosso objetivo é descobrir o intervalo, podemos descobrir 
qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte. 

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No denominador, podemos colocar nosso x final menos o x inicial,

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e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função 
no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial. 

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Agora, uma coisa interessante é que a questão não está querendo 
Calcular isso para todos os diferentes intervalos.

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Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos 
em que a nossa taxa de variação média é positiva. 

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Se você olhar aqui, contando que o nosso x final 
seja maior que o x inicial, 

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a fim de ter uma taxa de variação média positiva, 

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nós só precisamos descobrir se h em x final 
é maior que h em x inicial. 

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Se o valor da função no ponto final é maior que o valor 
da função no ponto inicial em um determinado intervalo, 

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então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo. 

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Sabendo isso, vamos avaliar cada uma das opções 
que temos nessas alternativas. 

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Na letra A, temos x sendo maior ou igual a zero 
e menor ou igual a 2. 

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Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial, 
nem precisamos calcular, afinal, 

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já teremos isso sendo igual a zero,  já que ⅛, vezes zero, 
menos zero é igual a zero.

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Agora em nosso ponto inicial, temos h(2), 
que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência, 

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que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1.
Isso menos 2 ao quadrado, que é 4.

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Então, isso aqui vai ser 1 menos 4, que é igual a -3. 

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Repare que não temos uma situação onde h 
no nosso ponto final é realmente maior.

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Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação média negativa, 
então vou descartar essa opção. 

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Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar
essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado, 

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que é o gráfico de nossa função h. 

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Podemos observar visualmente que realmente temos 
uma taxa de variação média negativa 

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quando vamos de x igual a zero até x igual a 2. 

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Em x igual a zero, a nossa função está aqui 
e em x igual a 2, a nossa função está aqui. 

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Como você pode perceber, em x igual a 2, 
nossa função tem um valor inferior. 

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Você também pode pensar na taxa de variação média 
como a inclinação da reta 

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que conecta os dois pontos da função nesse intervalo. 

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Repare que essa reta possui uma inclinação negativa, 

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sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa 
entre esses dois pontos. 

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E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0) 
e isso é igual a zero. E quanto é h(8)? 

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Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência
é igual a quanto? 

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Se eu fizer 8 elevando a terceira potência e dividir por 8, 
teremos a mesma coisa que 8 elevado a segunda potência. 

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Então, isso vai ser 64. Então, -8 elevado a segunda potência, 
que é 64. Logo, teremos aqui 64 menos 64, que é zero. 

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Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero, 
já que o numerador vai ser zero, 

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logo, podemos descartar essa opção também. 

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Você pode ver isso aqui, quando o x é igual ao zero, 
nossa função está aqui, 

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quando o x é igual a 8, a nossa função está aqui. 

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Repare que a reta que liga esses dois pontos 
possui uma inclinação igual a zero. 

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Ou seja, temos uma taxa de variação média sendo igual a zero 
entre esses dois pontos.

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Agora, e a alternativa c? Vamos ver: 
h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado a terceira potência. 

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6 vezes 6 é 36, e 36 vezes 6 é 216, 
então teremos aqui ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado, que é 36. 

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Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então, 
teremos aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36. 

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¾  de 36 é 27, assim, teremos 27 menos 36, que é igual a -9. 

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Poderíamos ter feito isso com uma calculadora,
 
mas é bom fazer isso para explorar outras formas 
de resolver expressões como essa.

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Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido.
Afinal, só fizemos um pouco de aritmética.

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Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9 
e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero, 

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portanto, nossa função nesse ponto final 
é superior ao valor da nossa função no ponto inicial. 

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Sendo assim, temos uma taxa de variação média positiva. 

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Logo, essa alternativa está correta. 
Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive. 

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Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6, 
o valor de nossa função é -9 e quando x é igual a 8,

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o valor de nossa função é igual a zero.

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Assim, a reta que conecta esses dois pontos 
tem uma inclinação positiva. 

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Portanto, temos uma taxa de variação média positiva 
durante esse intervalo. 

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Já chegamos à alternativa correta, 
mas vamos verificar essa última aqui também. 

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Já sabemos que h(0) é igual a zero e que h(6) é igual a -9.

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Portanto, temos aqui uma taxa de variação média negativa, 

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porque no ponto final temos uma função menor 
que no ponto inicial, 

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então podemos descartar essa alternativa. 

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Você pode conferir isso aqui. 

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Se formos de x igual a zero até x igual a 6,
temos a nossa reta se parecendo com isso aqui. 

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Perceba que a inclinação dessa reta é negativa, 
portanto, temos uma taxa de variação média negativa. 

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Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho 
o que vimos aqui 

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e, mais uma vez, eu quero deixar para você 
um grande abraço e até a próxima!