o Olá tudo bem com você Você vai assistir agora mais uma aula de matemática e nessa aula vamos resolver um exercício sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio Então vamos ver o que o exercício está falando aqui nós temos inicialmente uma função hdx que é igual a um oitavo vezes x Ao Cubo menos x ao quadrado aí é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função que tem uma taxa de variação média positiva bem como sempre faça uma pausa nesse vídeo e tem que fazer isso um ok já tentou vamos fazer isso juntos agora para começar vamos nos lembrar sobre o que é a taxa de variação média uma taxa de variação média pode ser vista como a variação que ocorre em uma função para uma dada variação na variável que é em nosso caso é o x ou seja qual é a variação que ocorre em H para uma dada variação em x como nosso objetivo é descobrir o intervalo podemos descobrir qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte no denominador podemos colocar nossos x penal - 1x Inicial e no numerador podemos calcular o valor da nossa função no X Final menos o valor da nossa função é nosso x Inicial Agora uma coisa interessante é que a questão não está querendo calcular isso para todos os diferentes intervalos está sendo o pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos em que a nossa taxa de variação média é a positiva e se você olhar aqui tá dando que o nosso x final seja maior que o x inicial a fim de ter uma taxa de variação média positiva Nós só precisamos descobrir se HMX final é a maior que HMX Inicial se o valor da função no ponto final é maior que o valor da função do ponto inicial em um determinado intervalo então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo Ok sabendo isso vamos avaliar cada uma das opções que temos aqui nessas alternativas aqui na letra A temos x sendo o maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 repare Quem hd0 que é o nosso. Inicial nem precisamos calcular Afinal Já teremos isso sendo igual a zero já que um oitava vezes 0 - 0 = 0 agora em nosso. Temos hd2 que nesse caso é igual a um oitavo vezes dois à terceira potência que é oito portanto temos um há 18 O que é um aí isso menos 2 ao quadrado que é quatro então isso aqui vai ser um -4 e a igual a -3 repare que não temos uma situação onde agarra o nosso. É realmente maior sendo assim temos uma situação de taxa de variação média negativa Então vou descartar essa opção para nos ajudar a visualizar isso eu podemos representar essa taxa de variação média nesse gráfico aqui é o lado que é o gráfico de nossa função H podemos observar visualmente que realmente temos uma taxa de variação média negativa Quando vamos de x = 0 até o f x = 2sen x igual a zero a nossa função está aqui e em x = 2 a nossa função está aqui como você pode perceber em x = 2 nossa função tem um valor inferior a você também pode pensar na taxa de variação média como a inclinação da reta que conecta os: e são nesse intervalo repare que essa reta possui uma inclinação negativa sendo assim temos uma taxa de variação média negativa entre esses: agorinha Entre esses dois bem hd0 nós já calculamos e isso é igual a zero agora Quanto que é hd8 vamos ver aqui um oitavo vezes oito à terceira potência é igual a quanto se eu fizer 18 a terceira potência e aí dividir por 8 teremos a mesma coisa que oito a segunda potência então isso vai ser 64 aí menos oito a segunda potência aqui é 64 logo teremos aqui 64 - 64 que é zero então aqui temos uma taxa de variação média igual a zero já que o numerador vai ser 0 logo podemos descartar essa opção também a Você pode ver isso aqui quando x = 0 Nossa função está aqui quando X = 8 a nossa função está aqui repare que a ré e esses dois pontos possui uma inclinação igual a zero ou seja temos uma taxa de variação média sendo igual a zero entre esses: agora e alternativa ser vamos ver HD seis vai ser igual a oitava vezes seis à terceira potência 6 vezes 6 é 36 e 36 X6 é 216 então teremos aqui um oitavo vezes 216 - 6 ao quadrado O que é 36 como sabemos 216 = 6 x 36 então teremos aqui seis oitavos de 36 ou três quatro de 36 e isso - 36 34 de 36 a 27 assim teremos 27 -36 Q = - 9 a gente poderia ter feito isso aqui com uma calculadora né mas é bom fazer isso aqui para explorar outras formas de resolver expressões como essa então eu espero que tudo aqui o sentido Afinal só fizemos um pouco de aritmética assim em HD 6 temos Nossa função sendo nove negativo e como já vimos antes HD 8 = 0 portanto Nossa função nesse ponto final é superior ao valor da nossa função no ponto inicial sendo assim temos uma taxa de variação média positiva logo essa alternativa está correta a gente pode ver isso aqui visualmente inclusive quando temos HD 6 ou seja quando X = 6 o nosso valor de nossa função é menos nove e quando X = 8 o valor de nossa função é igual a zero assim a reta que conecta esses dois pontos definitivamente tem uma inclinação positiva portanto temos uma taxa de variação média positiva durante esse intervalo bem Já chegamos a alternativa correta mas vamos verificar essa última aqui também já sabemos que HD zero é igual a zero e que HD 6 os mesmos 9 portanto temos aqui uma taxa de variação média negativa porque no ponto final temos uma função menor que no ponto inicial então podemos descartar essa alternativa você pode conferir isso aqui se a gente for de x = 0 até x = 6 temos a nossa retas e parecendo com isso aqui perceba que a inclinação dessa reta é negativa portanto temos uma taxa de variação média negativa Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima