Допустим, у нас есть с вами прямоугольник.
Вот такой прямоугольник.
Внутри него есть две диагонали.
Вот одна из них.
А вот вторая.
Высота данного прямоугольника равна h.
Это расстояние здесь – h.
А ширина прямоугольника - вот здесь.
Обозначим её буквой "w".
Мы докажем в этом видео, что все эти
4 треугольника имеют одинаковую площадь.
Сейчас, когда вы смотрите на них, очевидно,
что нижний треугольник занимает ту же площадь,
что и верхний.
Он такой же, только перевёрнутый.
О том, что они имеют одинаковую площадь,
нетрудно догадаться.
У них одинаковые основания,
это - ширина нашего прямоугольника,
и у них одинаковая высота,
поскольку вот это расстояние здесь
равно в точности половине высоты прямоугольника.
Они симметричны, они идентичны, равны.
У них одинаковые размеры.
Также просто понять, что эти два треугольника,
левый и правый, по площади одинаковы.
Они равны, это очевидно, да?
Что не очевидно, так это то, что эти треугольники,
которые я выделил оранжевым цветом,
по площади одинаковы с сине-зелеными треугольниками.
Вот., что мы сейчас и будем исследовать.
При этом всё, что мы должны сделать, –
это посчитать площадь разных треугольников.
Посчитаем сначала площадь для оранжевых.
Давайте вспомним, что площадь треугольника равна
½ основания треугольника
(обозначим его буквой "b"),
умноженного на высоту.
Это элементарная геометрия.
Вспомнили, теперь посчитаем
площадь оранжевого треугольника.
Она равна ½ от основания,
а основанием оранжевого треугольника
является эта сторона – она равна w.
Запишем: ½ умножить на w.
Я хочу выделить это другим цветом,
возьму цвет, которым я записал w.
А какова высота здесь?
Мы уже упоминали о ней.
Это - как раз половина высоты прямоугольника.
Т.е. умножаем ещё и на ½ высоты прямоугольника.
Итак, чему же будет равна площадь?
У нас получается: ½ умножить на ½,
что в итоге даёт нам ¼.
¼ умножить на высоту и умножить на основание.
Т.е. площадь данного треугольника равна
¼ на основание w и на высоту h.
А этот треугольник имеет такие же вводные данные,
т.е. имеет ту же площадь.
Давайте теперь рассмотрим площадь
этих зелёных треугольников.
Ещё раз запишем зелёным: площадь -
это ½ основания на высоту.
Эти треугольники – зеркальное отражение друг друга.
Основанием для них является:
эта сторона - для этого треугольника,
а для этого треугольника – эта сторона.
И это же высота прямоугольника.
Сейчас мы видим, что прежняя высота
теперь играет роль основания.
Надеюсь, вас это не сильно путает.
А что же теперь будет высотой?
Эти треугольники перевернуты на бок,
так какое же теперь здесь расстояние?
Это - в точности половина длины прямоугольника, так?
Мы проходим как раз половину
этого расстояния здесь.
Эта точка – в точности середина
между этими двумя сторонами,
и между этими двумя сторонами.
Т.е. это расстояние у нас получается ½ от длины.
Или высота этих треугольников –
это половина длины прямоугольника.
Высота равна ½ длины.
Немного сбивает с толку, да?
Если мы всё здесь посчитаем,
то площадь будет равняться ½ на ½ -
это ¼.
¼ на высоту h и на ширину w.
Или вы можете записать это как:
¼ умножить на ширину и на высоту.
Площадь здесь – ¼ ширины на высоту,
и здесь – ¼ ширины на высоту,
что является в точности такой же площадью,
как и площадь оранжевого треугольника.
И это верно,
поскольку каждый из этих треугольников
равен четверти площади прямоугольника.
Надеюсь, вам понравилось.