我们已经求出了任意量下的总收入
我们求出了代数表达式
我现在要考虑 每一点处的边际收入
边际收入也就是考虑 给定量的变化量
总收入会如何变化
后面 我们要用这来最优化垄断时的利润
这里我将不用微积分来推演
其实 这用微积分会很简单
我们要求的是曲线上每一点处的斜率
我将尝试用代数方式推演
这或许能让你们对微积分之下的原理有一些直观认识
首先 我要求这里的斜率
斜率最好是这样求 首先看总收入的变化量
如果量上有很小变化 总收入会有多少变化
我们这样考虑
其它的我将会更简单地进行近似
我们这样考虑
量为0时 总收入为0 这很简单
当我让量增加很少很少一点 比如0.001
总收入会如何变化
我们可以用这条曲线进行考虑
我们也可以用之前推导出的公式 价格乘以量
用计算器算一下
量是0.001 总收入是-0.001^2+6×0.001
这将是总收入
它等于0.005999
0.00599
这是这一点处边际收入的良好近似
量的变化量是0.001 也就是说ΔQ=0.001
而收入变化量是0.00599
我们用总收入变化量0.005999除以量的变化量0.001
得到5.999
如果使用更小的数字 比如0.0000001
小数点后得到的9将更多
变化量越小 就越接近
这正是微积分中我们所做的
我们要找到一个超级小的变化量
最后这个将趋近于6
这一点的边际收入等于6
这里 我将会把边际收入同需求曲线绘制在一张图上
当量为0时 我们让量增加很小一点
增加的总收入除以增加的磅数将是6
我把它画到这里
这很好理解 边际收入在这一点处是6
如果我们卖百万分之一磅橙子
我们的收入会是6美元/磅乘以百万分之一磅
因为第一个极小增量下 橙子的边际收入是6美元/磅
下面考虑其它这些点的斜率
我可以按之前那样算
但这些 我还是采用近似方法来求
首先求量=1时的斜率
斜率是这样的
我将通过求这两点之间的斜率来得到近似值
其实 这个近似很不错
后面 我将用微积分证明的
这里我将用两点之间的斜率进行近似
这两点间 量的变化量是2
总收入的变化量是8
生产2000磅时 总收入是8000美元
所以收入的变化量是8000
用这个除以2000
这一点的边际收入是8000/2000 也就是4美元/磅
当我们的量为1时 边际收入是4美元/磅
下面考虑量为2时的边际收入
这需要求这两点之间的斜率
我们要求这条线的斜率
但这两点之间的斜率是很好的近似
在这条抛物线上 这几乎正好是我们要求的数字
我们来算一下
这很简单 量的变化量还是2
总收入变化量 从5到9 是4
这里是9 上一节我们就知道
这里是4000美元/2000磅 也就是2美元/磅
量为2时 边际收入是2美元/磅
这一点处 增加百万分之一磅橙子销售量时
增加的总收入是2美元/磅乘以这百万分之一磅
我再来算一点 你们会知道我为什么要这样
到上面这里 我们想求这里的边际收入
或者说这里的斜率
量增加少许时 收入会如何增加
这很容易看 这是极大值点
用微积分的话讲 此处斜率为0
我们仍然可以通过这两点之间的斜率近似
量上有一些变化 但总收入上没有变化
在这之前 斜率为正
这一点上 斜率为0
然后这之后 斜率由正转负
但在这一点 边际收入是0
当量是3000磅时 边际收入是0
在这之后 边际收入变为负值
这之后 边际收入负得越来越多
不过这里很有趣
当我们绘制边际收入时 这里也就是一条直线
我们得到的直线斜率正好是需求曲线的2倍
这是可以推广的
如果我们有这样的线性需求曲线
边际收入曲线 对于垄断者而言 将是一条斜率向下的直线
其斜率是需求曲线的2倍 这里斜率是-1
那么这里斜率就是-2
量每增加1 价格下降2
量增加1 价格下降2
这是边际收入
回顾一下 我们做了很多数学计算
边际收入告诉我们什么
这是需求曲线
它告诉我们 对于任意价格 需求量是多少
或者对于任意量 增量边际效益是多少
或者这个量下 价格是多少
由此 我们能求出总收入作为量的函数
由总收入 我们能对每个量求出
量增加一点 收入会如何增加
显然 我们希望持续增加量
只要边际收入大于边际成本 我们会持续增加
下一节再接着讲