-

ผมได้รับคำแนะนำว่าผมควรทำโจทย์ข้อสอบ AP เก่าๆ ให้ดู

และผมหาจากในอินเตอร์เน็ต และทันใดนั้นเอง,

ในเว็บไซต์ college board, ถ้าคุณไปที่ collegeboard.com, คุณสามารถ

หาข้อสอบได้ -- ผมหาข้อสอบแบบ

ปรนัยไม่เจอ, แต่คุณหาคำถามแบบอัตนัยได้, และ

คำถามนี้คือคำถามแบบอัตนัยข้อแรก

ที่เขาถามในแคลคูลัส BC ซึ่งจัดสอบ

ไปเมื่อเร็วๆ นี้ ปี 2008

ลองทำโจทย์นี้กัน

และว่ากันตามตรง, ถ้าคุณเข้าใจวิธีตอบคำถาม

อัตนัยทั้งหมด, คุณก็น่าจะทำได้ดี

ในปรนัย, เพราะข้อสอบอัตนัยมัก

ท้าทายกว่า, โดยเฉพาะส่วนท้ายๆ

ของข้อสอบปรนัย

แต่ช่างเถอะ, ลองทำอันนี้กัน

ผมจะอ่านมันออกมานะ, เพราะผมไม่อยากเขียน

มันออกมาตรงนี้, แต่นี่คือรูปจริงที่ให้มา

ผมจะลอกละวางมันลงไปจาก pdf

ที่เขาให้มาใน collegeboard.com

เขาบอกว่า, ให้ r -- นี่คือ r -- แทนพื้นที่ล้อมรอบด้วย

กราฟของ y เท่ากับ ไซน์ ไพ ของ x

ขอผมเขียนมันลงไปนะ

กราฟอันบนนี้คือ y เท่ากับไซน์ ไพ x

-

แล้วกราฟอันล่างคือ y เท่ากับ x กำลังสาม ลบ 4x

-

แล้วผมรู้ได้อย่างไรว่ามันคืออันล่าง?

ตรงนี้ผมรู้ว่ามันคือไซน์ของ ไพ x, จริงไหม?

เพราะไซน์เป็นแบบนี้

มันไม่ดูเป็นแบบนั้น, จริงไหม?

เมื่อคุณหาไซน์ ของ ไพ เป็น 0, ไซน์ของ 0 เป็น

0, ไซน์ของ 2 ไพ เป้น 0

เราทำแบบนี้เป็นไซน์ของ ไพ x

ช่างเถอะ, เขาอยากได้ -- นี่คือพื้นที่ระหว่าง

ฟังก์ชันทั้งสองและข้อ A ของข้อนี้ -- นี่เป็น

เหมือนคำถามทดสอบ, เพื่อให้แน่ใจว่าคุณรู้วิธี

หาอินทิกรัลจำกัดเขต -- เขาบอกว่า, จงหาพื้นที่ของ r

แล้วเราจะทำอย่างไร?

ผมว่าคุณรู้ว่า เราจะต้องทำการหาอินทิกรัล

จำกัดเขต, ลองทำดูกัน

เราก็หาอินทิกรัลจำกัดเขต, ลอง

สมมุติว่าพื้นที่เท่ากับ -- ผมไม่รู้ว่ามันคือ -- ผมหวังว่า

ผมเขียนใหญ่พอจนคุณมองเห็นนะ -- พื้นที่จะ

เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก

ค่า x คืออะไรบ้าง?

เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

ถึง x เท่ากับ 2

-

แล้วนี่คืออะไร?

เมื่อให้ค่า x ใดๆ มา, อะไรคือตัวบน

-- เวลาเราหาพื้นที่, เราก็หาสี่เหลี่ยม

หลายๆ อันที่กว้าง dx, จริงไหม?

นันก็คือ -- มันมืดไม่พอ, ผมไม่คิดว่าคุณ

จะเห็นนะ -- นั่นคือสี่เหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่ง

โอ๊ะ

สมมุติว่านั่นคือสี่เหลี่ยมของผมอันหนึ่งที่ผม

จะรวมมันเข้าด้วยกัน

ความกว้างเป็น dx

ความสูงเป็นเท่าไหร่?

ความสูงจะเท่ากับฟังก์ชันบนนี้ ลบ

ฟังก์ชันล่างนี้

แล้วที่สุดแล้ว, เราจะหาผลบวกของ

สี่เหลี่ยมทั้งหมดนี้, ความสูงจะเเป็น -- ขอผมเปลี่ยน

สีตามใจนะ -- ความสูงจะเท่ากับฟังก์ชันบน

ลบ ฟังก์ชันล่าง

งั้นไซน์ของ ไพ x -- วงเล็บตรงนี้ -- ลบ

ฟังก์ชันล่าง

งั้น ลบ x กำลังสาม บวก 4x

-

เนื่องจากผมลบ, ผมจึงเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองนี้

แล้วทั้งหมดคูณความกว้างของสี่เหลี่ยมเล็กๆ

พวกนี้ -- ซึ่งเล็กจิ๋ว -- เท่ากับ dx

และเราจะบวกมันเข้าด้วกัน จาก x เท่ากับ 0

ถึง x เท่ากับ 2

นี่ควรตรงไปตรงมานะ

แล้วเราจะหาค่านี้อย่างไร?

ทีนี้, เราก็แค่หาแอนติเดริเวทีฟของอันนี้

แล้วหาค่ามันที่ 2 แล้วหาค่ามันที่ 0

แอนติเดริเวทีฟของ ไซน์ของ ไพ x คืออะไร?

ทีนี้, ฟังก์ชันไหนมีอนุพันธ์เท่ากับไซน์ของ x

โคไซน์ของ x -- ลองดู

ถ้าผมหาอนุพันธ์ของโคไซน์ -- สมมุติ

ว่าผมหาอนุพันธ์ของโคไซน์ ไพ x

คุณควรคุ้นเคยกับของแบบนี้นะ

โคไซน์ของ ไพ x, ถ้าผมหาอนุพันธ์

ของมัน, ผมจะได้อะไร?

นั่นเท่ากับ ไพ

คุณหาอนุพันธ์ของตัวใน, จริงไหม?

ด้วยกฎลูกโซ่

มันก็คือ ไพ คูณอนุพันธ์ทั้งหมดนั่น

อนุพันธ์ของโคไซน์ x คือลบไซน์ x, แล้ว

อนุพันธ์ของเจ้านี่ จะเป็น คูณ ลบ ไซน์ของ ไพ x, หรือ

คุณบอกได้ว่ามันเท่ากับ ลบ ไพ ไซน์ของ ไพ x

ดังนั้นอนุพันธ์ของโคไซน์ ไพ x ก็เกือบใช่อันนี้, มัน

แค่มี ลบ ไพ ตรงนี้, จริงไหม?

แล้วลองดูว่าเราจะเขียนอันนี้ใหม่ ให้มันเหมือน

อนุพันธ์ของโคไซน์ ไพ x ได้ไหม

ผมจะเปลี่ยนเป็นสีบานเย็นนะ

-

ผมอยากแน่ใจว่าผมมีที่ว่างพอ

ทำโจทย์ทั้งหมดนี้

-

งั้นลองเขียน ลบ 1 ส่วน ไพ คูณ ลบ ไพ

ที่ผมทำ, ตอนผมหาค่าเจ้านี่, นี่เท่ากับ 1, แล้วผมสามารถ

จับนี่คูณ ไซน์ ไพ x, แล้ว นั่นคือลบ x

กำลัง 3 บวก 4x, แล้วทั้งหมดนั้นคูณ dx

ตอนนี้เรามีมันแล้ว

เรารู้ว่าแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่คือ โคไซน์ ไพ x, จริงไหม?

และนี่ก็แค่เทอมคงที่

แล้วแอนติเดริเวทีฟของทั้งหมดนี้คืออะไร?

ผมจะเลือกสีตามใจอีกครั้งหนึ่ง

แอนติเดริเวทีฟคือ โคไซน์ ไพ x

เราก็มี ล บ 1 ส่วน ไพ โคไซน์ไพ x -- จำไว้, ผม

เก็บพวกนี้มา, นี่ก็แค่เทอมคงที่ --

แอนติเดริเวทีฟคือเจ้านี่ตรงนี้

แล้วพวกนี้ก็ตรงไปตรงมากว่าหน่อย

ลบแอนติเดริเวทีฟของ x กำลังสาม คือ x กำลัง

สี่ส่วน 4 บวกแอนติเดริเวทีฟของเจ้านี่ คือ 4x

กำลังสอง ส่วน 2, หรือคุณอาจมองมันเป็น 2x กำลังสอง,

แล้วเราจะหาค่ามันที่ 2 และ

ที่ 0, ลองทำดูกัน

นี่จึงเท่ากับโคไซน์ของ 2 ไพ, และเรามีเครื่องหมายลบ

ตรงนี้, ได้ ลบโคไซน์ของ 2 ไพ ส่วน ไพ, ลบ --

2 ยกกำลัง 4 ได้อะไร?

ลองดูกัน

2 กำลัง 3 ได้ 8, 2 กำลัง 4 ได้ 16, 16 ส่วน 4 เท่ากับ 4

มันก็คือลบ 4, 2 กำลัง 2 ได้ 4 คูณ 2 เป็น 8, ได้ บวก 8, นั่น

ก็คือแอนติเดริเฟเวทีฟที่ 2, ตอนนี้ลอง

ลบมันจากค่าที่ 0 กัน

นี่ก็จะเป็น ลบ โคไซน์ของ 0 ส่วน ไพ -- เอาล่ะ, นั่น

คือค่าที่ 0 -- ลบ 0, บวก 0

เทอมพวกนี้ไม่ได้ให้อะไร

เวลาคุณแทนค่ามันที่ 0

แล้วเราจะได้อะไร?

โคไซน์ของ 2 ไพ คืออะไร?

โคไซน์ของ 2 ไพ ก็เหมือนกับโคไซน์

ของ 0, และมันเท่ากับ 1

แล้วค่า x ของวงกลมหน่วยที่ 2 ไพ, หรือที่ 0 เป็นเท่าไหร่?

มันเท่ากับ 1

นี่จึงเท่ากับ ลบ 1 ส่วน ไพ ลบ 4 บวก 8, แล้วนี่

ลบ ลบ, ทั้งคู่กลายเป็นบวก, โคไซน์ของ 0 ก็เป็น 1 เหมือนกัน

ได้ บวก 1 ส่วน ไพ, แล้ว ลบ 1 ส่วน ไพนี่ กับบวก 1

ส่วนไพ จะตัดกัน, แล้วเราจะเหลือ ลบ 4

บวก 8 แล้วนั่นเท่ากับ 4

นั่นก็คือตอนที่ 1, ข้อ A ของข้อที่ 1, ในข้อสอบ

อัตนัยปี 2008

มันใช้ทั้งวิดีโอสำหรับตอนนั้นตอนเดียว

และในวิดีโอหน้า, ผมจะทำข้อ B, แล้วเราจะทำ

ต่อไป, ผมพยายามจะทำเจ้าพวกนี้สองสามข้อทุกวัน

แล้วพบกันใหม่ครับ

-