Yo recibí una sugerencia de que hago viejos problemas del exámen AP,
y busqué en el Internet y he aquí, en el
sitio de la comisión de colegios, si van a collegeboard.com, ustedes pueden
tener-- yo no pude encontrar las preguntas de opción múltiple,
pero ustedes pueden encontrar las preguntas de respuesta libre, y pues
esta pregunta es, de hecho, la primera pregunta de respuesta libre
que ellos tienen en el exámen de cálculo BC que fue administrado
recientemente en el 2008.
Así que hagamos este problema.
Francamente, si ustedes entienden cómo hacer todas las
preguntas de respuesta libre, probablemente les irá bien en
el exámen de opción múltiple, porque el de respuesta libre tiende a ser
un poco más difícil, especialmente las últimas partes
de ese exámen.
Como sea, hagamos este problema.
Solamente lo leeré, ya que no quiero escribirlo
todo aquí, pero este es el diagrama.
De hecho, yo copié y pegué esto del PDF que ellos
tienen en collegeboard.com
Dice, sea R --esta es R-- la región encerrada por las
gráfica de y=sen(pi*x).
Déjenme escribirlo.
Esta gráfica de arriba es y=sen(pi*x).
Y la gráfica de abajo es y=x al cubo - 4x.
Y, cómo supe que esta era la de abajo?
Bueno, yo
Porque este aspecto sinusoidal.
¿No se ve así, derecho?
Cuando vayas seno de pi es 0, el seno de 0 es
0, seno de 2pi es 0.
Así que hacemos esto como seno de pi x.
Bien de todas formas, ellos quieren--así que esto es la región entre
Estas dos funciones y la parte a del este--y esto es una especie de
la cuestión de Softbol, sólo para asegurarse de que usted sepa cómo
no integrales definidas--y dice, hallar el área de r.
Entonces, ¿cómo lo hacemos?
Creo que ustedes saben que vamos a hacer un poco definida
integración, así que vamos a hacer eso.
Entonces vamos a tomar la integral definida, así que vamos a
sólo el área es igual a--no sé si eso tiene--espero
Estoy escribiendo lo suficientemente grande como para usted--la zona va a ser
igual a la integral definida de.
¿Cuáles son los valores de x?
Vamos a estar yendo de x es igual a 0
a x es igual a 2.
Y ¿qué es esto?
En un dado valor de punto de x, tipo de lo que va a ser el
alta--cuando estamos tomando el área, estamos tomando un montón de
¿rectángulos de anchura dx, correcto?
Así que eso de que no es lo suficientemente oscuro, no creo que
se puede ver que--por lo es uno de mis rectángulos.
Hurras.
Vamos a decir que es uno de mis rectángulos justo aquí
Voy a estar resumiendo.
Su anchura es dx.
¿Cuál es su altura?
Su altura va a ser esta función superior menos
Esta función de la parte inferior.
Así que, básicamente, vamos a tomar la suma de todos estos
rectángulos, por lo que su altura va a ser--permiten cambiar
colores arbitrariamente--la altura va a ser la función superior
menos la función de la parte inferior.
Así seno de pi x--paréntesis aquí--menos el
función de la parte inferior.
Por lo tanto menos x cubed plus x 4.
Ya estoy restando, cambié dos de estos signos.
Y todo eso veces el ancho de cada uno de estos poco
rectángulos--que es infinitamente pequeño--dx.
Y estamos yendo a la suma de todo hasta de x es igual
0 x es igual a 2.
Esto debe ser bastante sencillo para usted.
Entonces, ¿cómo evaluamos esto?
Bien, esencialmente tomamos la primitiva de esto y
luego evalúan en 2 y luego evaluar en 0.
¿Qué es la primitiva de seno de pi x?
Bien, lo que derivado de las funciones es seno de x.
Coseno de x--vamos a ver.
Si tuviera que tomar la derivada del coseno--vamos a
decir que llevó a la derivada de pi de coseno x.
Esto debería ser razonablemente familiar para usted.
Coseno de pi x, si tuviera que tomar la derivada
de la misma, ¿qué puedo obtener?
Es igual a pi.
¿Tomar la derivada de la interior, derecha?
Por la regla de la cadena.
Así es pi veces la derivada de la cosa entera.
La derivada del coseno de x es menos seno de x, por lo que
derivado a esto va a ser a veces menos seno de pi x, o
se podría decir que es igual a menos seno de pi pi x.
Así que la derivada del coseno de pi x es casi, ello sólo
¿tiene menos pi, derecho?
Así que vamos a ver si nos podemos reescribir por lo que se ve como el
derivados de pi de coseno x.
Y te cambio a magenta.
Quiero para asegurarse de que tengo suficiente espacio para hacer
todo este problema.
Así que vamos a escribir un 1 menos veces pi pi negativo.
Todo que lo hice, al evaluar esta, esta es igual a 1, por lo que pueda
ello veces sine pi x, y, a continuación, que es menos x a la
terceros plus x 4 y luego todos de ese momento el dx de ancho.
Bien ahora lo tenemos.
¿Sabemos que la primitiva esto es coseno pi x, a la derecha?
Y esto es sólo un término constante.
¿Qué es la primitiva de todo esto?
Y arbitrariamente a cambiar colores nuevamente.
La primitiva es coseno pi x.
Así que tenemos menos 1 sobre pi pi coseno x--Recuerde, he podido
simplemente llevarlo encima, esto es sólo una constante término--
antiderivative es este derecho aquí.
Y, a continuación, estos son un poco más sencillos.
Por lo tanto menos la primitiva de x a la tercera es x a la
en cuarto lugar sobre 4 plus la primitiva de esta es 4 x
cuadrado más de 2 años, o simplemente podría ver como 2 x al cuadrado,
y, a continuación, vamos a evaluar en 2 y en
0 y vamos a hacerlo.
Esto es igual al coseno de 2pi, y tendremos un signo menos
firmar aquí, así que menos coseno de 2pi sobre pi, menos lo que de
¿2 a la cuarta potencia?
Vamos a ver.
2 para el tercero es de 8, 2 el cuarto es de 16, 16 sobre 4 es 4,
por eso es menos de 4, 2 al cuadrado es 4 veces 2 es 8, por lo tanto más 8, tan
que es la primitiva evaluada en 2 y ahora vamos a
Réstelo evaluado en 0.
Para que esto sea menos el coseno de 0 sobre pi--todos los derechos, que
que evalúan en 0--menos 0, más 0.
Por lo que estos términos no aportan nada al
para evaluarlos en 0.
Y entonces ¿qué hacemos?
¿Qué es el coseno de 2pi?
Coseno de 2pi es lo mismo que el coseno
de 0, y es igual a 1.
¿Cuál es el valor de x del círculo unidad en 2pi o a 0?
Es igual a 1.
Así que esto equivale a menos 1 sobre pi menos 4 plus 8 y por eso, este
menos menos, los dos se convierten en ventajas, coseno de 0 es 1,
así plus 1 sobre pi y por lo tanto esto menos 1 sobre pi y esto más 1
sobre pi se cancelan, y todos estamos salimos con es menos 4
Plus 8 y es igual a 4.
Eso es parte uno, parte a del número uno, en el DC 2008
preguntas de respuesta libre.
Realmente me tomó un video completo para hacer esa parte.
En el siguiente vídeo, lo haré, parte B, y sólo te mantenga haciendo
Esto y yo voy a intentar hacer un par de ellas cada día.
Nos vemos luego.