WEBVTT

00:00:00.880 --> 00:00:04.680
Еван от Норвегия ме помоли да реша 
още една задача със заместване.

00:00:04.680 --> 00:00:06.350
Обичам такива задачи, защото ме мотивират

00:00:06.350 --> 00:00:09.800
да се подготвям малко по-добре.

00:00:09.820 --> 00:00:12.740
Задачата, която ми изпрати,
(и се надявам, че произнасям правилно името му)

00:00:12.740 --> 00:00:21.250
е за неопределен интеграл от синус от x

00:00:21.250 --> 00:00:25.850
върху косинус от x на квадрат, dx

00:00:25.850 --> 00:00:28.270
Това може да се напише и по друг начин –
той ми го изпрати в имейл,

00:00:28.270 --> 00:00:31.600
така че не съм сигурен точно как си го представя, 
но може да се запише

00:00:31.600 --> 00:00:36.130
като синус от x върху косинус на квадрат от x.

00:00:36.130 --> 00:00:37.710
Понякога се записва така.

00:00:37.710 --> 00:00:39.270
При всички случаи това ми харесва малко повече.

00:00:39.270 --> 00:00:41.350
Така изглежда по-малко двусмислено.

00:00:41.350 --> 00:00:45.740
В общи линии знаеш как да приложиш интегриране
чрез заместване,

00:00:45.740 --> 00:00:49.560
когато видиш нещо и неговата производна
е ето тук.

00:00:49.580 --> 00:00:49.820
Добре.

00:00:49.820 --> 00:00:54.270
Сигурно си казваш: ако този косинус от x 
беше просто x или u,

00:00:54.270 --> 00:00:56.920
това щеше да е много лесeн интеграл.

00:00:56.920 --> 00:00:58.010
Знаем как да го направим.

00:00:58.010 --> 00:01:00.450
Нека направя това отстрани.

00:01:00.450 --> 00:01:01.680
Тoзи интеграл би бил лесeн.

00:01:01.680 --> 00:01:05.850
1 върху x на квадрат dx.

00:01:05.850 --> 00:01:06.690
Знаем как да направим това.

00:01:06.690 --> 00:01:09.210
Това би била примитивната функция на x на квадрат.

00:01:09.210 --> 00:01:16.510
Това е същото като примитивната функция 
на х на степен минус 2, dx.

00:01:16.510 --> 00:01:17.500
Знаем как на намерим
примитивната функция на нещо такова.

00:01:17.500 --> 00:01:20.810
Увеличаваме степента с 1 и после умножаваме

00:01:20.810 --> 00:01:22.730
по новата степен.

00:01:22.730 --> 00:01:27.510
Значи, това би била минус x... извинявам се!

00:01:27.510 --> 00:01:30.510
Увеличаваме степента с 1 и после ДЕЛИМ

00:01:30.510 --> 00:01:32.040
на новата степен.

00:01:32.040 --> 00:01:34.160
Така че сега... нека да...

00:01:34.160 --> 00:01:36.450
Увеличаваме степента на x на минус втора и

00:01:36.450 --> 00:01:38.420
ще получим x на минус първа.

00:01:38.420 --> 00:01:41.100
И после, когато разделим това на минус 1, 
ще получим този минус.

00:01:41.100 --> 00:01:43.860
И после, когато разделим това на минус 1,
ще получим този минус плюс С.

00:01:43.860 --> 00:01:46.070
Ако не ми вярваш, намери производната.

00:01:46.070 --> 00:01:49.190
Минус 1 по минус 1,

00:01:49.190 --> 00:01:50.340
това е положително.

00:01:50.340 --> 00:01:52.360
И после намаляме степента с 1

00:01:52.360 --> 00:01:53.980
и получаваме x на минус 2-ра степен.

00:01:53.980 --> 00:01:55.700
Ако беше в този вид,

00:01:55.700 --> 00:01:57.530
всичко щеше да е лесно.

00:01:57.530 --> 00:01:59.250
А и виждаш закономерност тук.

00:01:59.250 --> 00:02:02.330
Където това е x, тук имаме косинус и тук

00:02:02.330 --> 00:02:03.650
имаме производна на косинус.

00:02:03.650 --> 00:02:06.950
Това ни подсказва, че трябва да използваме

00:02:06.950 --> 00:02:07.815
интегриране чрез заместване. Нека го направим.

00:02:07.815 --> 00:02:09.920
И ето какво ще направим – ще положим

00:02:09.920 --> 00:02:11.670
u като косинус от x.

00:02:11.670 --> 00:02:20.170
Значи казваме: нека u е равно на косинус от x и нека

00:02:20.170 --> 00:02:22.750
намерим производната на u по отношение на x.

00:02:22.750 --> 00:02:27.740
На какво ни е равно du или dx ?

00:02:27.740 --> 00:02:29.790
Каква е производната на косинус от x ?

00:02:29.790 --> 00:02:31.690
Не е просто синус от x, нали ?

00:02:31.690 --> 00:02:37.842
А е минус синус от x

00:02:37.842 --> 00:02:41.850
И сега можем да умножим двете страни по dx и получаваме

00:02:41.850 --> 00:02:48.720
du е равно на минус синус от x, dx.

00:02:48.720 --> 00:02:51.090
Току-що умножих двете страни по dx.

00:02:51.090 --> 00:02:54.120
И сега тук горе имаме синус от x dx.

00:02:54.120 --> 00:02:57.380
Нямаме минус синус от x, dx.

00:02:57.380 --> 00:02:59.710
Тук имаме синус от x, dx.

00:02:59.710 --> 00:03:03.490
Бихме могли да препишем този интеграл
горе по следния начин:

00:03:03.500 --> 00:03:07.930
синус от x, dx,

00:03:07.930 --> 00:03:12.680
всичко това върху косинус от x на квадрат.

00:03:12.680 --> 00:03:14.780
Значи, ако искаме да замеcтим с това, 
тук ще имаме минус.

00:03:14.780 --> 00:03:17.750
Нека умножим двете страни на това по –1

00:03:17.750 --> 00:03:25.080
и ще получим минус du е равно 
на синус от x dx.

00:03:25.080 --> 00:03:26.370
И да видим.

00:03:26.370 --> 00:03:28.650
Ще препиша първоначалната задача.

00:03:28.650 --> 00:03:30.690
Сега ми свършва мястото.

00:03:30.690 --> 00:03:32.000
Но нека я препиша.

00:03:32.000 --> 00:03:35.780
Знаем, че u е равно на косинус от x, 
значи да действаме.

00:03:35.780 --> 00:03:38.720
Този интеграл става... 


00:03:38.720 --> 00:03:42.170
В знаменателя вместо косинус от x на квадрат
u е косинус от x.

00:03:42.170 --> 00:03:42.930
Това ни е u, нали ?

00:03:42.930 --> 00:03:43.900
Така го определихме.

00:03:43.900 --> 00:03:46.240
Значи това е върху u на квадрат.

00:03:46.240 --> 00:03:48.260
Косинус от x става u.

00:03:48.260 --> 00:03:55.240
И после синус от x dx тук горе, 
ще ни е равно на какво ?

00:03:55.240 --> 00:03:56.490
Ами, това току-що го решихме.

00:03:56.490 --> 00:03:57.930
Това е равно на минус du.

00:03:57.930 --> 00:04:00.120
Синус от x dx е равно на минус du.

00:04:00.120 --> 00:04:03.810
Значи можем да заменим с това, минус du.

00:04:03.810 --> 00:04:06.330
И сега, разбира се, това има същия вид
като това ето тук.

00:04:07.200 --> 00:04:11.420
Можем да препишем това, 
това е равно на...

00:04:11.420 --> 00:04:17.940
минус 1 върху u на квадрат du.

00:04:17.940 --> 00:04:19.280
Просто го пиша по няколко различни начина.

00:04:19.280 --> 00:04:21.455
Както ти е по-лесно да го осмислиш.

00:04:21.455 --> 00:04:27.550
Това е същото като минус u на минус 2 du.

00:04:27.550 --> 00:04:30.180
И сега правим същото като тук горе,

00:04:30.180 --> 00:04:31.870
само че сега имаме минус отпред, 
който всъщност прави

00:04:31.870 --> 00:04:33.300
нещата малко по-ясни.

00:04:33.300 --> 00:04:37.530
За да намерим примитивната функция, 
повдигаме u на... беше на минус 2-ра степен,

00:04:37.530 --> 00:04:41.230
значи сега ще е с една степен по-високо,

00:04:41.230 --> 00:04:43.960
значи –2 плюс 1 става –1.

00:04:43.960 --> 00:04:49.760
Значи това е u на минус първа степен
и сега трябва да разделим

00:04:49.760 --> 00:04:52.810
на минус 1 и тук ще го направя много явно.

00:04:52.810 --> 00:04:53.760
Минус 1.

00:04:53.760 --> 00:04:55.640
Имахме и един минус тук преди, значи

00:04:55.640 --> 00:04:59.200
този минус още ще си е тук.

00:04:59.200 --> 00:05:02.110
И, разбира се, ще имаме плюс c.

00:05:02.110 --> 00:05:05.790
Можеш да си представиш това като минус 1
или това отрицателно,

00:05:05.790 --> 00:05:07.870
делено на отрицателно – 
значи ще се унищожат взаимно.

00:05:07.870 --> 00:05:14.540
Значи остава само u на –1 плюс c или

00:05:14.540 --> 00:05:18.970
1/u + c е примитивната функция...
о, извинявам се,

00:05:18.970 --> 00:05:19.950
още не сме готови.

00:05:19.950 --> 00:05:21.400
Това е само примитивната функция на това.

00:05:21.400 --> 00:05:23.330
И сега трябва да се заемем със заместването.

00:05:23.330 --> 00:05:25.850
Какво заместихме в началото ?

00:05:25.850 --> 00:05:28.780
u е равно на косинус от x.

00:05:28.780 --> 00:05:34.700
Значи, ако u е равно на косинус от x, 
това е равно на

00:05:34.700 --> 00:05:41.830
1 върху косинус от x плюс с, което е равно 
на примитивната функция

00:05:41.830 --> 00:05:53.510
за първоначалната ни функция, която беше
синус от x върху косинус от х на квадрат, dx.

00:05:53.510 --> 00:05:54.502
Готово!

00:05:54.502 --> 00:05:56.340
Ще се видим в следващия клип.