Еван от Норвегия ме помоли да реша още една задача със заместване.
Обичам такива задачи, защото ме мотивират
да се подготвям малко по-добре.
Задачата, която ми изпрати, (и се надявам, че произнасям правилно името му)
е за неопределен интеграл от синус от x
върху косинус от x на квадрат, dx
Това може да се напише и по друг начин – той ми го изпрати в имейл,
така че не съм сигурен точно как си го представя, но може да се запише
като синус от x върху косинус на квадрат от x.
Понякога се записва така.
При всички случаи това ми харесва малко повече.
Така изглежда по-малко двусмислено.
В общи линии знаеш как да приложиш интегриране чрез заместване,
когато видиш нещо и неговата производна е ето тук.
Добре.
Сигурно си казваш: ако този косинус от x беше просто x или u,
това щеше да е много лесeн интеграл.
Знаем как да го направим.
Нека направя това отстрани.
Тoзи интеграл би бил лесeн.
1 върху x на квадрат dx.
Знаем как да направим това.
Това би била примитивната функция на x на квадрат.
Това е същото като примитивната функция на х на степен минус 2, dx.
Знаем как на намерим примитивната функция на нещо такова.
Увеличаваме степента с 1 и после умножаваме
по новата степен.
Значи, това би била минус x... извинявам се!
Увеличаваме степента с 1 и после ДЕЛИМ
на новата степен.
Така че сега... нека да...
Увеличаваме степента на x на минус втора и
ще получим x на минус първа.
И после, когато разделим това на минус 1, ще получим този минус.
И после, когато разделим това на минус 1, ще получим този минус плюс С.
Ако не ми вярваш, намери производната.
Минус 1 по минус 1,
това е положително.
И после намаляме степента с 1
и получаваме x на минус 2-ра степен.
Ако беше в този вид,
всичко щеше да е лесно.
А и виждаш закономерност тук.
Където това е x, тук имаме косинус и тук
имаме производна на косинус.
Това ни подсказва, че трябва да използваме
интегриране чрез заместване. Нека го направим.
И ето какво ще направим – ще положим
u като косинус от x.
Значи казваме: нека u е равно на косинус от x и нека
намерим производната на u по отношение на x.
На какво ни е равно du или dx ?
Каква е производната на косинус от x ?
Не е просто синус от x, нали ?
А е минус синус от x
И сега можем да умножим двете страни по dx и получаваме
du е равно на минус синус от x, dx.
Току-що умножих двете страни по dx.
И сега тук горе имаме синус от x dx.
Нямаме минус синус от x, dx.
Тук имаме синус от x, dx.
Бихме могли да препишем този интеграл горе по следния начин:
синус от x, dx,
всичко това върху косинус от x на квадрат.
Значи, ако искаме да замеcтим с това, тук ще имаме минус.
Нека умножим двете страни на това по –1
и ще получим минус du е равно на синус от x dx.
И да видим.
Ще препиша първоначалната задача.
Сега ми свършва мястото.
Но нека я препиша.
Знаем, че u е равно на косинус от x, значи да действаме.
Този интеграл става...
В знаменателя вместо косинус от x на квадрат u е косинус от x.
Това ни е u, нали ?
Така го определихме.
Значи това е върху u на квадрат.
Косинус от x става u.
И после синус от x dx тук горе, ще ни е равно на какво ?
Ами, това току-що го решихме.
Това е равно на минус du.
Синус от x dx е равно на минус du.
Значи можем да заменим с това, минус du.
И сега, разбира се, това има същия вид като това ето тук.
Можем да препишем това, това е равно на...
минус 1 върху u на квадрат du.
Просто го пиша по няколко различни начина.
Както ти е по-лесно да го осмислиш.
Това е същото като минус u на минус 2 du.
И сега правим същото като тук горе,
само че сега имаме минус отпред, който всъщност прави
нещата малко по-ясни.
За да намерим примитивната функция, повдигаме u на... беше на минус 2-ра степен,
значи сега ще е с една степен по-високо,
значи –2 плюс 1 става –1.
Значи това е u на минус първа степен и сега трябва да разделим
на минус 1 и тук ще го направя много явно.
Минус 1.
Имахме и един минус тук преди, значи
този минус още ще си е тук.
И, разбира се, ще имаме плюс c.
Можеш да си представиш това като минус 1 или това отрицателно,
делено на отрицателно – значи ще се унищожат взаимно.
Значи остава само u на –1 плюс c или
1/u + c е примитивната функция... о, извинявам се,
още не сме готови.
Това е само примитивната функция на това.
И сега трябва да се заемем със заместването.
Какво заместихме в началото ?
u е равно на косинус от x.
Значи, ако u е равно на косинус от x, това е равно на
1 върху косинус от x плюс с, което е равно на примитивната функция
за първоначалната ни функция, която беше синус от x върху косинус от х на квадрат, dx.
Готово!
Ще се видим в следващия клип.