1
00:00:00,060 --> 00:00:04,000
再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题

2
00:00:04,000 --> 00:00:10,010
再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题

3
00:00:10,010 --> 00:00:13,090
它的书很好 而且是开源的

4
00:00:13,090 --> 00:00:19,000
这应该是我们用的第三题了

5
00:00:19,000 --> 00:00:21,060
你们可以自行到其网站上去下载书

6
00:00:21,060 --> 00:00:26,010
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克

7
00:00:26,010 --> 00:00:32,030
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克

8
00:00:32,030 --> 00:00:35,090
这里应该是千克 我10个月大的儿子

9
00:00:35,090 --> 00:00:41,000
都有20磅重 大概是9千克 9.5克相当于没有

10
00:00:41,000 --> 00:00:44,090
我看小老鼠还差不多 所以应该是千克

11
00:00:44,090 --> 00:00:51,000
均值是9.5千克 标准差大约是1.1千克

12
00:00:51,000 --> 00:00:56,030
写一下 均值应该是9.5千克

13
00:00:56,030 --> 00:01:01,010
标准差等于1.1千克

14
00:01:01,010 --> 00:01:04,080
不使用计算器 这是有趣之处

15
00:01:04,080 --> 00:01:09,090
估计美国1岁大女孩满足下列条件的百分比

16
00:01:09,090 --> 00:01:12,090
不用计算器 也就是暗示使用经验法则

17
00:01:12,090 --> 00:01:16,030
不用计算器 也就是暗示使用经验法则

18
00:01:20,000 --> 00:01:27,040
经验法则又称作68-95-99.7法则

19
00:01:27,040 --> 00:01:31,050
记住这个名字也就基本上记住了法则

20
00:01:31,050 --> 00:01:33,050
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚

21
00:01:33,050 --> 00:01:36,070
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚

22
00:01:36,070 --> 00:01:40,040
首先画一个正态分布

23
00:01:40,040 --> 00:01:44,020
像这样 这是我的正态分布

24
00:01:44,020 --> 00:01:47,050
大致是那个意思就行了 它是对称的

25
00:01:47,050 --> 00:01:50,080
这是均值

26
00:01:50,080 --> 00:01:56,470
这是高于均值一个标准差处 这是低于均值一个标准差处

27
00:01:56,470 --> 00:02:01,070
这是均值加一个标准差

28
00:02:01,070 --> 00:02:05,070
这是均值减一个标准差

29
00:02:05,070 --> 00:02:08,070
完美的正态分布中

30
00:02:08,070 --> 00:02:12,000
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

31
00:02:12,000 --> 00:02:14,060
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

32
00:02:14,060 --> 00:02:23,000
也就是这个区域的面积 大概是68%

33
00:02:23,000 --> 00:02:27,070
68%的概率落在均值左右一个标准差范围内

34
00:02:27,070 --> 00:02:31,040
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

35
00:02:31,040 --> 00:02:34,050
再看两个标准差的情况

36
00:02:34,050 --> 00:02:37,010
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处

37
00:02:37,010 --> 00:02:40,400
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处

38
00:02:40,400 --> 00:02:43,010
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%

39
00:02:43,010 --> 00:02:50,070
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%

40
00:02:50,070 --> 00:02:53,000
包括中间这部分

41
00:02:53,000 --> 00:02:58,010
68%这部分是95%这部分的子集

42
00:02:58,010 --> 00:03:01,030
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

43
00:03:01,030 --> 00:03:06,080
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

44
00:03:06,080 --> 00:03:15,070
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

45
00:03:15,070 --> 00:03:20,010
这就是68-95-99.7法则的意思

46
00:03:20,010 --> 00:03:23,020
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率

47
00:03:23,020 --> 00:03:26,000
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率

48
00:03:26,000 --> 00:03:30,090
下面将68-95-99.7经验法则用于解题

49
00:03:30,090 --> 00:03:34,050
题设中均值和标准差已经给出 我画一下

50
00:03:34,050 --> 00:03:38,050
首先画好坐标轴

51
00:03:38,050 --> 00:03:41,040
这是坐标轴 再画钟形曲线

52
00:03:45,090 --> 00:03:50,090
徒手画出这样的钟形曲线也蛮令人满意了

53
00:03:50,090 --> 00:03:54,010
均值是9.5 两侧是对称的

54
00:03:54,010 --> 00:03:57,050
这个高等于这个高 你们应该是懂的

55
00:03:57,050 --> 00:04:04,050
我毕竟不是电脑 9.5是均值 单位我就不写了 全是千克

56
00:04:04,050 --> 00:04:11,030
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6

57
00:04:11,030 --> 00:04:16,080
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6

58
00:04:16,080 --> 00:04:22,660
这里我画一些虚线 低于均值一个标准差

59
00:04:22,660 --> 00:04:34,010
此时是9.5-1.1 也就是8.4

60
00:04:34,010 --> 00:04:37,060
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差

61
00:04:37,060 --> 00:04:40,030
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差

62
00:04:40,030 --> 00:04:44,040
10.6后再一个标准差就到11.7了

63
00:04:44,040 --> 00:04:50,070
再往外到第三个标准差处 需要再加1.1 得到12.8

64
00:04:50,070 --> 00:04:55,030
另一侧进行相同处理 低于均值一个标准差得到8.4

65
00:04:55,030 --> 00:05:00,090
低于均值两个标准差 再减1.1 得到7.3

66
00:05:00,090 --> 00:05:03,030
然后低于均值三个标准差

67
00:05:03,030 --> 00:05:08,080
再减1.1 得到6.2千克 这是初始情况

68
00:05:08,080 --> 00:05:12,000
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

69
00:05:12,000 --> 00:05:17,070
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

70
00:05:17,070 --> 00:05:21,060
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

71
00:05:21,060 --> 00:05:25,010
这个概率也就是这个面积

72
00:05:25,010 --> 00:05:28,000
这个概率也就是这个面积

73
00:05:28,000 --> 00:05:31,060
这个概率也就是这个面积

74
00:05:31,060 --> 00:05:35,000
这个概率也就是这个面积

75
00:05:35,000 --> 00:05:38,040
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢

76
00:05:38,040 --> 00:05:43,080
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢

77
00:05:43,080 --> 00:05:47,020
我们现在知道的是

78
00:05:47,020 --> 00:05:52,030
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%

79
00:05:52,030 --> 00:05:55,090
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%

80
00:05:58,040 --> 00:06:04,030
也就是说不在中间这个区域内的面积是32%

81
00:06:04,030 --> 00:06:07,010
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1

82
00:06:07,010 --> 00:06:11,030
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1

83
00:06:11,030 --> 00:06:17,080
概率和面积是一样的 所有概率加起来也是1

84
00:06:17,080 --> 00:06:21,040
绝对不可能超过100%

85
00:06:21,040 --> 00:06:29,040
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%

86
00:06:29,040 --> 00:06:33,090
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%

87
00:06:33,090 --> 00:06:39,020
32%是左右两个尾部的面积的和

88
00:06:39,020 --> 00:06:42,050
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称

89
00:06:42,050 --> 00:06:44,070
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称

90
00:06:44,070 --> 00:06:48,070
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积

91
00:06:48,070 --> 00:06:51,080
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积

92
00:06:51,080 --> 00:06:56,040
我用粉色标一下 这一个尾部的面积

93
00:06:56,040 --> 00:07:00,000
结果像紫色 是16%

94
00:07:00,000 --> 00:07:02,060
这一侧也是16%

95
00:07:02,060 --> 00:07:05,080
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%

96
00:07:05,080 --> 00:07:09,070
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%

97
00:07:09,070 --> 00:07:13,000
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%

98
00:07:13,000 --> 00:07:17,000
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%

99
00:07:17,000 --> 00:07:19,000
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率

100
00:07:19,000 --> 00:07:23,010
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率

101
00:07:23,010 --> 00:07:27,090
小于8.4千克也就是这个面积

102
00:07:27,090 --> 00:07:33,020
即16% 这是a部分的答案

103
00:07:33,020 --> 00:07:38,020
再看b部分 7.3到11.7千克之间的概率

104
00:07:38,020 --> 00:07:41,010
7.3在这里

105
00:07:41,010 --> 00:07:47,010
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处

106
00:07:47,010 --> 00:07:49,010
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处

107
00:07:49,010 --> 00:07:51,020
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率

108
00:07:51,020 --> 00:07:55,020
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率

109
00:07:55,020 --> 00:08:00,020
这是均值 这里少两个标准差

110
00:08:00,020 --> 00:08:04,010
这里多两个标准差 很简单

111
00:08:04,010 --> 00:08:07,040
经验法则告诉我们

112
00:08:07,040 --> 00:08:15,010
均值左右两个标准差之间的概率是95%

113
00:08:15,010 --> 00:08:17,070
答案直接从经验法则中得到

114
00:08:17,070 --> 00:08:21,040
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率

115
00:08:21,040 --> 00:08:25,050
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率

116
00:08:25,050 --> 00:08:29,070
12.8千克比均值大三个标准差

117
00:08:29,070 --> 00:08:34,010
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率

118
00:08:34,010 --> 00:08:36,020
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率

119
00:08:36,020 --> 00:08:42,010
也就是这个面积 我用橙色表示

120
00:08:42,010 --> 00:08:45,020
也许我该换个对比更强烈的颜色

121
00:08:45,020 --> 00:08:48,050
也就是尾部这段狭长的面积

122
00:08:48,050 --> 00:08:51,000
这个概率是多少

123
00:08:51,000 --> 00:08:53,040
还是看经验法则

124
00:08:53,040 --> 00:08:56,020
这个面积我们知道

125
00:08:56,020 --> 00:09:01,090
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

126
00:09:01,090 --> 00:09:05,970
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

127
00:09:05,970 --> 00:09:14,020
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

128
00:09:14,020 --> 00:09:17,090
绝大部分面积都在这个范围内

129
00:09:17,090 --> 00:09:20,030
除了两个尾部

130
00:09:20,030 --> 00:09:22,030
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉

131
00:09:22,030 --> 00:09:25,070
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉

132
00:09:25,070 --> 00:09:32,010
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

133
00:09:32,010 --> 00:09:35,020
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

134
00:09:35,020 --> 00:09:39,010
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

135
00:09:39,010 --> 00:09:46,050
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

136
00:09:46,050 --> 00:09:49,060
由于两个尾部对称

137
00:09:49,060 --> 00:09:54,080
所以两侧的概率都是0.15%

138
00:09:54,080 --> 00:09:59,010
所以两侧的概率都是0.15%

139
00:09:59,010 --> 00:10:03,060
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率

140
00:10:03,060 --> 00:10:07,020
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率

141
00:10:07,020 --> 00:10:10,040
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积

142
00:10:10,040 --> 00:10:14,020
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积

143
00:10:14,020 --> 00:10:21,070
该概率等于0.15%

144
00:10:21,070 --> 00:10:24,040
但愿这一节对大家有用