再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题
它的书很好 而且是开源的
这应该是我们用的第三题了
你们可以自行到其网站上去下载书
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克
这里应该是千克 我10个月大的儿子
都有20磅重 大概是9千克 9.5克相当于没有
我看小老鼠还差不多 所以应该是千克
均值是9.5千克 标准差大约是1.1千克
写一下 均值应该是9.5千克
标准差等于1.1千克
不使用计算器 这是有趣之处
估计美国1岁大女孩满足下列条件的百分比
不用计算器 也就是暗示使用经验法则
经验法则又称作68-95-99.7法则
记住这个名字也就基本上记住了法则
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚
首先画一个正态分布
像这样 这是我的正态分布
大致是那个意思就行了 它是对称的
这是均值
这是高于均值一个标准差处 这是低于均值一个标准差处
这是均值加一个标准差
这是均值减一个标准差
完美的正态分布中
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处
也就是这个区域的面积 大概是68%
68%的概率落在均值左右一个标准差范围内
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处
再看两个标准差的情况
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%
包括中间这部分
68%这部分是95%这部分的子集
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%
这就是68-95-99.7法则的意思
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率
下面将68-95-99.7经验法则用于解题
题设中均值和标准差已经给出 我画一下
首先画好坐标轴
这是坐标轴 再画钟形曲线
徒手画出这样的钟形曲线也蛮令人满意了
均值是9.5 两侧是对称的
这个高等于这个高 你们应该是懂的
我毕竟不是电脑 9.5是均值 单位我就不写了 全是千克
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6
这里我画一些虚线 低于均值一个标准差
此时是9.5-1.1 也就是8.4
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差
10.6后再一个标准差就到11.7了
再往外到第三个标准差处 需要再加1.1 得到12.8
另一侧进行相同处理 低于均值一个标准差得到8.4
低于均值两个标准差 再减1.1 得到7.3
然后低于均值三个标准差
再减1.1 得到6.2千克 这是初始情况
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢
这个概率也就是这个面积
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢
我们现在知道的是
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%
也就是说不在中间这个区域内的面积是32%
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1
概率和面积是一样的 所有概率加起来也是1
绝对不可能超过100%
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%
32%是左右两个尾部的面积的和
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积
我用粉色标一下 这一个尾部的面积
结果像紫色 是16%
这一侧也是16%
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率
小于8.4千克也就是这个面积
即16% 这是a部分的答案
再看b部分 7.3到11.7千克之间的概率
7.3在这里
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率
这是均值 这里少两个标准差
这里多两个标准差 很简单
经验法则告诉我们
均值左右两个标准差之间的概率是95%
答案直接从经验法则中得到
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率
12.8千克比均值大三个标准差
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率
也就是这个面积 我用橙色表示
也许我该换个对比更强烈的颜色
也就是尾部这段狭长的面积
这个概率是多少
还是看经验法则
这个面积我们知道
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%
绝大部分面积都在这个范围内
除了两个尾部
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%
由于两个尾部对称
所以两侧的概率都是0.15%
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积
该概率等于0.15%
但愿这一节对大家有用