0:00:00.060,0:00:04.000
再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题

0:00:04.000,0:00:10.010
再来看一个ck12.org网站AP统计书上的正态分布问题

0:00:10.010,0:00:13.090
它的书很好 而且是开源的

0:00:13.090,0:00:19.000
这应该是我们用的第三题了

0:00:19.000,0:00:21.060
你们可以自行到其网站上去下载书

0:00:21.060,0:00:26.010
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克

0:00:26.010,0:00:32.030
假设美国一岁大的女孩体重服从正态分布 均值为9.5克

0:00:32.030,0:00:35.090
这里应该是千克 我10个月大的儿子

0:00:35.090,0:00:41.000
都有20磅重 大概是9千克 9.5克相当于没有

0:00:41.000,0:00:44.090
我看小老鼠还差不多 所以应该是千克

0:00:44.090,0:00:51.000
均值是9.5千克 标准差大约是1.1千克

0:00:51.000,0:00:56.030
写一下 均值应该是9.5千克

0:00:56.030,0:01:01.010
标准差等于1.1千克

0:01:01.010,0:01:04.080
不使用计算器 这是有趣之处

0:01:04.080,0:01:09.090
估计美国1岁大女孩满足下列条件的百分比

0:01:09.090,0:01:12.090
不用计算器 也就是暗示使用经验法则

0:01:12.090,0:01:16.030
不用计算器 也就是暗示使用经验法则

0:01:20.000,0:01:27.040
经验法则又称作68-95-99.7法则

0:01:27.040,0:01:31.050
记住这个名字也就基本上记住了法则

0:01:31.050,0:01:33.050
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚

0:01:33.050,0:01:36.070
在开始讲解问题之前 我先把这个法则讲清楚

0:01:36.070,0:01:40.040
首先画一个正态分布

0:01:40.040,0:01:44.020
像这样 这是我的正态分布

0:01:44.020,0:01:47.050
大致是那个意思就行了 它是对称的

0:01:47.050,0:01:50.080
这是均值

0:01:50.080,0:01:56.470
这是高于均值一个标准差处 这是低于均值一个标准差处

0:01:56.470,0:02:01.070
这是均值加一个标准差

0:02:01.070,0:02:05.070
这是均值减一个标准差

0:02:05.070,0:02:08.070
完美的正态分布中

0:02:08.070,0:02:12.000
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

0:02:12.000,0:02:14.060
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

0:02:14.060,0:02:23.000
也就是这个区域的面积 大概是68%

0:02:23.000,0:02:27.070
68%的概率落在均值左右一个标准差范围内

0:02:27.070,0:02:31.040
低于均值一个标准差处到高于均值一个标准差处

0:02:31.040,0:02:34.050
再看两个标准差的情况

0:02:34.050,0:02:37.010
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处

0:02:37.010,0:02:40.400
低于均值两个标准差处到高于均值两个标准差处

0:02:40.400,0:02:43.010
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%

0:02:43.010,0:02:50.070
也就是落在两个标准差范围内的概率 大概是95%

0:02:50.070,0:02:53.000
包括中间这部分

0:02:53.000,0:02:58.010
68%这部分是95%这部分的子集

0:02:58.010,0:03:01.030
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

0:03:01.030,0:03:06.080
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

0:03:06.080,0:03:15.070
而均值三个标准差范围内的经验概率则是99.7%

0:03:15.070,0:03:20.010
这就是68-95-99.7法则的意思

0:03:20.010,0:03:23.020
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率

0:03:23.020,0:03:26.000
99.7%也就是三个标准差范围内的经验概率

0:03:26.000,0:03:30.090
下面将68-95-99.7经验法则用于解题

0:03:30.090,0:03:34.050
题设中均值和标准差已经给出 我画一下

0:03:34.050,0:03:38.050
首先画好坐标轴

0:03:38.050,0:03:41.040
这是坐标轴 再画钟形曲线

0:03:45.090,0:03:50.090
徒手画出这样的钟形曲线也蛮令人满意了

0:03:50.090,0:03:54.010
均值是9.5 两侧是对称的

0:03:54.010,0:03:57.050
这个高等于这个高 你们应该是懂的

0:03:57.050,0:04:04.050
我毕竟不是电脑 9.5是均值 单位我就不写了 全是千克

0:04:04.050,0:04:11.030
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6

0:04:11.030,0:04:16.080
标准差是1.1 均值加一个标准差是10.6

0:04:16.080,0:04:22.660
这里我画一些虚线 低于均值一个标准差

0:04:22.660,0:04:34.010
此时是9.5-1.1 也就是8.4

0:04:34.010,0:04:37.060
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差

0:04:37.060,0:04:40.030
再看高于均值两个标准差 又要加一个标准差

0:04:40.030,0:04:44.040
10.6后再一个标准差就到11.7了

0:04:44.040,0:04:50.070
再往外到第三个标准差处 需要再加1.1 得到12.8

0:04:50.070,0:04:55.030
另一侧进行相同处理 低于均值一个标准差得到8.4

0:04:55.030,0:05:00.090
低于均值两个标准差 再减1.1 得到7.3

0:05:00.090,0:05:03.030
然后低于均值三个标准差

0:05:03.030,0:05:08.080
再减1.1 得到6.2千克 这是初始情况

0:05:08.080,0:05:12.000
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

0:05:12.000,0:05:17.070
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

0:05:17.070,0:05:21.060
那么美国1岁女孩体重轻于8.4千克的概率是多少呢

0:05:21.060,0:05:25.010
这个概率也就是这个面积

0:05:25.010,0:05:28.000
这个概率也就是这个面积

0:05:28.000,0:05:31.060
这个概率也就是这个面积

0:05:31.060,0:05:35.000
这个概率也就是这个面积

0:05:35.000,0:05:38.040
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢

0:05:38.040,0:05:43.080
那么 用经验法则如何求正态分布下这一区域的面积呢

0:05:43.080,0:05:47.020
我们现在知道的是

0:05:47.020,0:05:52.030
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%

0:05:52.030,0:05:55.090
从均值左侧一个标准差处到均值右侧一个标准差处的面积 即68%

0:05:58.040,0:06:04.030
也就是说不在中间这个区域内的面积是32%

0:06:04.030,0:06:07.010
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1

0:06:07.010,0:06:11.030
因为正态分布曲线下整个面积是100%或者说1

0:06:11.030,0:06:17.080
概率和面积是一样的 所有概率加起来也是1

0:06:17.080,0:06:21.040
绝对不可能超过100%

0:06:21.040,0:06:29.040
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%

0:06:29.040,0:06:33.090
所以这两个尾部加起来的值就是100%-68%剩下的32%

0:06:33.090,0:06:39.020
32%是左右两个尾部的面积的和

0:06:39.020,0:06:42.050
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称

0:06:42.050,0:06:44.070
由于这是完美的正态分布 所以两边完全对称

0:06:44.070,0:06:48.070
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积

0:06:48.070,0:06:51.080
也就是说左侧的尾部和右侧的尾部均有相同面积

0:06:51.080,0:06:56.040
我用粉色标一下 这一个尾部的面积

0:06:56.040,0:07:00.000
结果像紫色 是16%

0:07:00.000,0:07:02.060
这一侧也是16%

0:07:02.060,0:07:05.080
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%

0:07:05.080,0:07:09.070
也就是说 高于均值右侧一个标准差处的概率是16%

0:07:09.070,0:07:13.000
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%

0:07:13.000,0:07:17.000
低于均值左侧一个标准差处的概率也是16%

0:07:17.000,0:07:19.000
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率

0:07:19.000,0:07:23.010
这里要求1岁女婴小于8.4千克的概率

0:07:23.010,0:07:27.090
小于8.4千克也就是这个面积

0:07:27.090,0:07:33.020
即16% 这是a部分的答案

0:07:33.020,0:07:38.020
再看b部分 7.3到11.7千克之间的概率

0:07:38.020,0:07:41.010
7.3在这里

0:07:41.010,0:07:47.010
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处

0:07:47.010,0:07:49.010
低于均值两个标准差处 而11.7在高于均值两个标准差处

0:07:49.010,0:07:51.020
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率

0:07:51.020,0:07:55.020
这也就是问在均值两个标准差范围内的概率

0:07:55.020,0:08:00.020
这是均值 这里少两个标准差

0:08:00.020,0:08:04.010
这里多两个标准差 很简单

0:08:04.010,0:08:07.040
经验法则告诉我们

0:08:07.040,0:08:15.010
均值左右两个标准差之间的概率是95%

0:08:15.010,0:08:17.070
答案直接从经验法则中得到

0:08:17.070,0:08:21.040
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率

0:08:21.040,0:08:25.050
最后c部分 美国1岁女婴体重大于12.8千克的概率

0:08:25.050,0:08:29.070
12.8千克比均值大三个标准差

0:08:29.070,0:08:34.010
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率

0:08:34.010,0:08:36.020
所以这里也就是求大于均值右侧三个标准差处的概率

0:08:36.020,0:08:42.010
也就是这个面积 我用橙色表示

0:08:42.010,0:08:45.020
也许我该换个对比更强烈的颜色

0:08:45.020,0:08:48.050
也就是尾部这段狭长的面积

0:08:48.050,0:08:51.000
这个概率是多少

0:08:51.000,0:08:53.040
还是看经验法则

0:08:53.040,0:08:56.020
这个面积我们知道

0:08:56.020,0:09:01.090
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

0:09:01.090,0:09:05.970
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

0:09:05.970,0:09:14.020
-3标准差处到+3标准差处之间的概率是99.7%

0:09:14.020,0:09:17.090
绝大部分面积都在这个范围内

0:09:17.090,0:09:20.030
除了两个尾部

0:09:20.030,0:09:22.030
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉

0:09:22.030,0:09:25.070
我们要求一个尾部的概率 小于三个标准差处的尾部要去掉

0:09:25.070,0:09:32.010
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

0:09:32.010,0:09:35.020
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

0:09:35.020,0:09:39.010
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

0:09:39.010,0:09:46.050
这个尾部概率同另一侧尾部的概率共同构成剩下的0.3%

0:09:46.050,0:09:49.060
由于两个尾部对称

0:09:49.060,0:09:54.080
所以两侧的概率都是0.15%

0:09:54.080,0:09:59.010
所以两侧的概率都是0.15%

0:09:59.010,0:10:03.060
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率

0:10:03.060,0:10:07.020
也就是说 美国1岁女婴体重超过12.8千克的概率

0:10:07.020,0:10:10.040
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积

0:10:10.040,0:10:14.020
也就是正态分布曲线下方大于均值右侧三个标准差处的面积

0:10:14.020,0:10:21.070
该概率等于0.15%

0:10:21.070,0:10:24.040
但愿这一节对大家有用